2017_18学年高中数学第三章3.1.5空间向量的数量积课件苏教版选修.pptx

1、第3章3.1空间向量与立体几何,3.1.5空间向量的数量积,学习目标 1.理解空间向量坐标的概念，会确定一些简单几何体的顶点坐标. 2.掌握空间向量的坐标运算规律，并会判断两个向量是否共线或垂直. 3.掌握空间向量的模、夹角公式和两点间距离公式，并能运用这些知识解决一些相关问题.,题型探究,问题导学,内容索引,当堂训练,问题导学,知识点一空间向量的夹角,1.文字叙述：a，b是空间两个非零向量，过空间任意一点O，作 a， b，则 叫做向量a与向量b的夹角，记作 . 2.图形表示：,AOB,a，b,0,锐角,3.范围： a，b . 4.空间向量的垂直：如果a，b ，那么称a与b互相垂直，记作 .,

2、直角,0,ab,思考,知识点二空间向量的数量积,两个向量的数量积是数量，还是向量？,数量，由数量积的定义ab|a|b|cosa，b，知其为数量而非向量.,答案,梳理,(1)定义： 设a，b是空间两个非零向量，把数量 叫做a，b的数量积. 记作：ab，即ab . (2)运算律：,|a|b|cosa，b,|a|b|cosa，b,ba,(ab),abac,(3)坐标表示： 已知非零向量a，b，a(x1，y1，z1)，b(x2，y2，z2)，则 ab_. ab . |a| . cosa，b .,x1x2y1y2z1z2,ab0,x1x2y1y2z1z20,知识点三空间中两点间的距离公式,思考,空间两点

3、间的距离公式与两点顺序有关吗？,空间两点间的距离是同名坐标的差的平方和的算术平方根，因此空间两点间的距离公式与两点顺序无关.,答案,梳理,在空间直角坐标系中，设A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)， 则AB .,题型探究,类型一空间向量的数量积运算,命题角度1空间向量的数量积基本运算 例1(1)下列命题是否正确？正确的请给出证明，不正确的给予说明. p2q2(pq)2；,解答,此命题不正确. p2q2|p|2|q|2， 而(pq)2(|p|q|cosp，q)2 |p|2|q|2cos2p，q， 当且仅当pq时，p2q2(pq)2.,|pq|pq|p2q2|；,解答,此命题不正确. |

4、p2q2|(pq)(pq)|pq|pq|cospq，pq|， 当且仅当(pq)(pq)时，|p2q2|pq|pq|.,若a与(ab)c(ac)b均不为0，则它们垂直.,解答,此命题正确. a(ab)c(ac)ba(ab)ca(ac)b(ab)(ac)(ab)(ac)0， 且a与(ab)c(ac)b均为非零向量， a与(ab)c(ac)b垂直.,(2)设a，b120，|a|3，|b|4，求： ab；,解答,ab|a|b|cosa，b， ab34cos 1206.,(3a2b)(a2b).,解答,(3a2b)(a2b)3|a|24ab4|b|23|a|24|a|b|cos 1204|b|2， (3

5、a2b)(a2b)39434( )41627246461.,(1)已知a，b的模及a与b的夹角，直接代入数量积的公式计算. (2)如果欲求的是关于a与b的多项式形式的数量积，可以先利用数量积的运算律将多项式展开，再利用aa|a|2及数量积公式进行计算.,反思与感悟,跟踪训练1已知a，b均为单位向量，它们的夹角为60，那么|a3b|_.,|a3b|2(a3b)2a26ab9b2 16cos 60913， |a3b|,答案,解析,命题角度2利用空间向量的数量积解决立体几何中的运算问题 例2已知长方体ABCD-A1B1C1D1中，ABAA12，AD4，E为侧面ABB1A1的中心，F为A1D1的中点.

6、试计算：,则|a|c|2，|b|4， abbcca0.,解答,解答,解答,两向量的数量积，其运算结果是数量，而不是向量.零向量与任意向量的数量积为0.向量的数量积不满足结合律.,反思与感悟,跟踪训练2已知正四面体OABC的棱长为1，求：,解答,解答,类型二利用数量积求夹角或模,命题角度1利用数量积求夹角 例3已知BB1平面ABC，且ABC是B90的等腰直角三角形，ABB1A1、BB1C1C的对角线都分别相互垂直且相等，若ABa，求异面直线BA1与AC所成的角.,解答,ABBC，BB1AB，BB1BC，,又异面直线所成的角是锐角或直角， 异面直线BA1与AC所成的角为60.,反思与感悟,利用向量

7、求异面直线夹角的方法,如图，取直线l的方向向量a，同时取向量,跟踪训练3已知：PO、PA分别是平面的垂线、斜线，AO是PA在平面内的射影，l，且lOA. 求证：lPA.,证明,命题角度2利用数量积求模(或距离) 例4如图所示，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，AB1，AD2，AA13，BAD90，BAA1DAA160，求AC1的长.,解答,因为BAD90，BAA1DAA160，,利用向量的数量积求两点间的距离，可以转化为求向量的模的问题，其基本思路是先选择以两点为端点的向量，将此向量表示为几个已知向量的和的形式，求出这几个已知向量的两两之间的夹角以及它们的模，利用公式|a| 求解即可.

8、,反思与感悟,跟踪训练4如图，已知线段AB平面，BC，CDBC，DF平面，且DCF30，D与A在的同侧，若ABBCCD2，求A，D两点间的距离.,解答,类型三利用空间向量的数量积解决垂直问题,因为OBOC，ABAC，OAOA， 所以OACOAB， 所以AOCAOB.,例5如图，在空间四边形OABC中，OBOC，ABAC，求证：OABC.,证明,反思与感悟,(1)证明线线垂直的方法 证明线线垂直的关键是确定直线的方向向量，看方向向量的数量积是否为0来判断两直线是否垂直. (2)证明与空间向量a，b，c有关的向量m，n垂直的方法： 先用向量a，b，c表示向量m，n，再判断向量m，n的数量积是否为0

9、.,跟踪训练5已知向量a，b满足：|a|2，|b| ，且a与2ba互相垂直，则a与b的夹角为_.,45,答案,解析,a与2ba垂直，a(2ba)0， 即2ab|a|20. 2|a|b|cosa，b|a|20， 又a，b0，180，a与b的夹角为45.,当堂训练,2,3,4,5,1,bc(2,2,5)，a(bc)4653.,1.若a(2，3,1)，b(2,0,3)，c(0,2,2)，则a(bc)的值为_.,答案,解析,3,2.已知向量a(1,1,0)，b(1,0,2)，且kab与2ab互相垂直，则k的 值是_.,依题意得(kab)(2ab)0， 所以2k|a|2kab2ab|b|20， 而|a|22，|b|25，ab1， 所以4kk250，解得k,2,3,4,5,1,答案,解析,2,3,4,5,1,答案,解析,4.已知正四面体ABCD的棱长为2，E，F分别为BC，AD的中点，则EF的长为_.,2,3,4,5,1,1222122(12cos 120021cos 120)2，,答案,解析,5.已知A(2，5,1)，B(2，2,4)，C(1，4,1)，则向量 与 的夹角 为_.,2,3,4,5,1,答案,解析,1.在几何体中求空间向量数量积的步骤 (1)首先将各向量分解成已知模和夹角的向量的组合形式. (2)利用向量的运算律将数量积展开，