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文档简介

1、1,一、定义,第一类曲面积分 （对面积的曲面积分）,二、计算方法,2,概念的引入,所谓曲面光滑，即曲面上各点处都有切平面,且当点在曲面上连续移动时,切平面也连续转动.,3,引例: 设曲面形构件具有连续面密度,类似求平面薄板质量的思想, 采用,可得,求质,“分割、求和、取极限”,的方法,量 M.,其中, 表示 n 小块曲面的直径的,最大值 (曲面的直径为其上任意两点间距离的最大者).,4,一、第一类曲面积分的定义、性质,1.定义,5,2.对面积的曲面积分的性质,对面积的曲面积分与对弧长的曲线积分性质类似.,据此定义, 曲面形构件的质量为,曲面面积为,6,则对面积的曲面积分存在.,(2)对积分域的

2、可加性.,则有,(3) 线性性质.,在光滑曲面 上连续,(1) 积分的存在性.,若 是分片光滑的,例如分成两,片光滑曲面,(4)与曲面的侧的选择无关,7,定理: 设有光滑曲面,f (x, y, z) 在 上连续,存在, 且有,二、对面积的曲面积分的计算法,则曲面积分,证明: 由定义知,8,而,(光滑),9,则,说明:,如果曲面方程为以下三种：,则,10,则,计算的关键是看所给曲面方程的形式！,曲面方程以哪两个变量为自变量，就向这两个变量所确定的坐标平面投影，得到积分区域。,11,例1,解,12,13,例2. 计算曲面积分,其中是球面,被平面,截出的顶部.,解:,14,思考:,若 是球面,被平行

3、平面 z =h 截,出的上下两部分,则,15,例3. 计算,其中 是由平面,坐标面所围成的四面体的表面.,解: 设,上的部分, 则,与,原式 =,分别表示 在平面,16,例4.,设,计算,解: 锥面,与上半球面,交线为,为上半球面夹于锥面间的部分,它在 xoy 面上的,投影域为,则,17,思考: 若例4 中被积函数改为,计算结果如何 ?,18,例5. 求半径为R 的均匀半球壳 的重心.,解: 设 的方程为,利用对称性可知重心的坐标,而,19,例6. 计算,其中 是球面,利用对称性可知,解: 显然球心为,半径为,利用重心公式,20,例7. 计算,其中 是介于平面,之间的圆柱面,分析: 若将曲面分为前后(或左右),则,解: 取曲面面积元素,两片,则计算较繁.,21,向yoz面投影，,22,例8. 求椭圆柱面,位于 xoy 面上方及平面,z = y 下方那部分柱面 的侧面

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