《经济数学微积分》PPT课件.ppt

1、,一、定积分的元素法,二、平面图形的面积,第七节 定积分的几何应用,三、旋转体的体积,四、平行截面面积已知的 立体的体积,五、小结,回顾,曲边梯形求面积的问题,一、定积分的元素法,面积表示为定积分的步骤如下,（3）求和，得A的近似值,（4）求极限，得A的精确值,提示,面积元素,元素法的一般步骤：,这个方法通常叫做元素法,应用方向：,平面图形的面积，体积。,经济应用。其他应用。,二、平面图形的面积,如何用元素法分析？,如何用元素法分析？,如何用元素法分析？,第二步：写出面积 表达式。,如何用元素法分析？,如何用元素法分析？,如何用元素法分析？,第二步：写出面积 表达式。,如何用元素法分析？,解,

2、两曲线的交点,面积元素,选 为积分变量,解,两曲线的交点,选 为积分变量,于是所求面积,积分变量只能选 x 吗？,说明：注意各积分区间上被积函数的形式,问题：,1.基本型,X-型区域,Y-型区域,2.组合型,用元素法分析：,考虑选择x为积分变量，如何分析面积表达式？,选择合适的积分变量：,考虑选择y为积分变量，如何分析面积表达式？,解,两曲线的交点,选 为积分变量,解,椭圆的参数方程,由对称性知总面积等于4倍第一象限部分面积,旋转体就是由一个平面图形绕这平面内一条直线旋转一周而成的立体这直线叫做旋转轴,圆柱,三、旋转体的体积(volume of body),（1）,圆锥,圆台,（3）,（2）,

3、请思考球体、椭球体如何得到？,旋转体的体积为,解,直线 方程为,解,旋转体的体积,解,0,1,x,y,补充,利用这个公式，可知上例中,解,体积元素为,例5. 求圆形,绕 y 轴旋转而成的旋转体的体积.,解. 所求体积为:,如果一个立体不是旋转体，但却知道该立体上垂直于一定轴的各个截面面积，那么，这个立体的体积也可用定积分来计算.,立体体积,四、平行截面面积已知的立体的体积,解,取坐标系如图,底圆方程为,截面面积,立体体积,解,取坐标系如图,底圆方程为,截面面积,立体体积,五、小结,定积分的元素法,平面图形的面积,旋转体的体积,平行截面面积已知的立体的体积,思考题1,思考题1解答,两边同时对 求

4、导,积分得,所以所求曲线为,曲线 y = f (x) 及直线 y = kx + b ,所围成的曲边梯形, 求D绕直,线y = kx + b旋转所成立体的体积.,上有连续导数, D为,思考题2,如右图示,曲线在M点处的切线MT为：,思考题2解答,应用定积分的元素法，考虑子区间x, x+dx. 设相,应于x, x+dx的曲线弧段在直线L上的投影长为dl,则当子区间的长充分小时, 取切线MT上对应于右,端点x +dx的点 到垂线,的距离为dl, 则,而M点到直线L的距离为,从而得,所以曲边梯形D绕直线L旋转所成立体体积为,思考题3,思考题3解答,交点,立体体积,练 习 题,！,.,1,32/3,已知

5、平行截面面积的,二、求由下列各曲线所围成的图形的面积：,解：求 的交点得(1,1),2. 与直线 及,解：求 的交点得(1,1),求 的交点得(2,4),三、 曲线 y = x2与它两条相互垂直的切线所围成平面图形的面积S,其中一条切线与曲线相切于点A(a,a2) (a0) ,求 a 为多少时?面积S最小.,解：,切线l1: y = 2ax- a2,由两切线相互垂直条件,可设切线l2: y = -(2a)-1x+b,求面积S最小时的a值,当a=1/ 2面积S最小.,四、抛物线 y=-x2+4x-3 及其在点(0,-3)和(3,0)处的切线所围成的图形的面积 .,解：求两切线l1、l2，设其斜率

6、为k1、k2,切线l1、l2交于,解：,五、如图曲线 y=cosx2 与直线 y=1, x=a ( ) 所围成图形的面积为s1，与直线 y=0, x=a所围成图形的面积为s2，试问 为何值时S=为最小.,两边对a求导数：,(负值不合题意，舍去),故当 时S最小。,解： 双曲线 xy=1(y0)与直线 y=2交于 x=1/2.,六、如图双曲线 xy=1(y0) 与直线 y=2, x=2 所围成图形绕x轴旋转的旋转体体积.,图形绕y轴旋转的旋 转体体积怎样求？,解,七、求x2+y2=a2绕x =-b (ba0)旋转所成旋转体的体积 .,八、过坐标原点作曲线y =lnx的切线，该切线与曲线y =lnx及x 轴围成平面图形D. (2003年研究生入