2017版考前三个月浙江专版-文理通用高考知识·方法篇-专题6-立体几何与空间向量第26练

1、第 26 练 “空间角”攻略,专题6立体几何与空间向量,空间角包括异面直线所成的角，线面角以及二面角，在高考中频繁出现，也是高考立体几何题目中的难点所在掌握好本节内容，首先要理解这些角的概念，其次要弄清这些角的范围，最后再求解这些角在未来的高考中，空间角将是高考考查的重点，借助向量求空间角，将是解决这类题目的主要方法,题型分析 高考展望,体验高考,高考必会题型,高考题型精练,栏目索引,1.(2015浙江)如图，已知ABC，D是AB的中点，沿直线CD将ACD翻折成ACD，所成二面角ACDB的平面角为，则() A.ADB B.ADB C.ACB D.ACB,体验高考,1,2,3,解析,解析极限思想

2、：若，则ACB，排除D； 若0，如图， 则ADB，ACB都可以大于0，排除A，C. 故选B.,1,2,3,解析,2.(2016课标全国乙)平面过正方体ABCDA1B1C1D1的顶点A，平面CB1D1，平面ABCDm，平面ABB1A1n，则m，n所成角的正弦值为(),1,2,3,解析如图所示，设平面CB1D1平面ABCDm1， 平面CB1D1，则m1m， 又平面ABCD平面A1B1C1D1， 平面CB1D1平面A1B1C1D1B1D1，B1D1m1， B1D1m，同理可得CD1n. 故m、n所成角的大小与B1D1、CD1所成角的大小相等， 即CD1B1的大小. 而B1CB1D1CD1(均为面对角

3、线)，,1,2,3,解析答案,3.(2016课标全国丙)如图，四棱锥P-ABCD中，PA底面ABCD，ADBC，ABADAC3，PABC4，M为线段AD上一点，AM2MD，N为PC的中点. (1)证明MN平面PAB；,1,2,3,取BP的中点T，连接AT，TN，,又ADBC，故TN綊AM， 所以四边形AMNT为平行四边形，于是MNAT. 因为AT平面PAB，MN平面PAB，所以MN平面PAB.,1,2,3,解析答案,返回,(2)求直线AN与平面PMN所成角的正弦值.,1,2,3,解析答案,解取BC的中点E，连接AE. 由ABAC得AEBC， 从而AEAD，,1,2,3,返回,设n(x，y，z)

4、为平面PMN的法向量，则,高考必会题型,题型一异面直线所成的角 例1在棱长为a的正方体ABCDA1B1C1D1中，求异面直线BA1与AC所成的角.,解析答案,点评,所以异面直线BA1与AC所成的角为60.,解析答案,点评,解析答案,点评,方法二连接A1C1，BC1， 则由条件可知A1C1AC， 从而BA1与AC所成的角即为BA1与A1C1所成的角， 由于该几何体为边长为a的正方体， 于是A1BC1为正三角形，BA1C160， 从而所求异面直线BA1与AC所成的角为60.,方法三由于该几何体为正方体， 所以DA，DC，DD1两两垂直且长度均为a，,于是有A(a，0，0)，C(0，a，0)，A1(

5、a，0，a)，B(a，a,0)，,点评,(1)异面直线所成的角的范围是 求两条异面直线所成的角的大小一般方法是通过平行移动直线，把异面问题转化为共面问题来解决. 具体步骤如下： 利用定义构造角，可固定一条，平移另一条，或两条同时平移到某个特殊的位置，顶点选择在特殊的位置上； 证明作出的角即为所求的角； 利用三角形来求角. (2)如果题目条件易建立空间坐标系，可以借助空间向量来求异面直线所成角：设异面直线l1，l2的方向向量分别为m1，m2，则l1与l2所成的角满足cos |cosm1，m2|.,点评,答案,解析,变式训练1(2015浙江)如图，三棱锥A-BCD中，ABACBDCD3，ADBC2

6、，点M，N分别是AD，BC的中点，则异面直线AN，CM所成的角的余弦值是_.,解析如图所示，连接DN，取线段DN的中点K，连接MK，CK. M为AD的中点， MKAN，KMC为异面直线AN，CM所成的角. ABACBDCD3，ADBC2，N为BC的中点，,解析答案,题型二直线与平面所成的角 例2如图，已知四棱锥PABCD的底面为等腰梯形，ABCD，ACBD，垂足为H，PH是四棱锥的高，E为AD的中点. (1)证明：PEBC；,证明以H为原点，HA，HB，HP分别为x，y，z轴，线段HA的长为单位长，建立空间直角坐标系如图， 则A(1，0，0)，B(0，1，0)， 设C(m，0，0)，P(0，0

7、，n)(m0)，,解析答案,点评,(2)若APBADB60，求直线PA与平面PEH所成角的正弦值.,设n(x，y，z)为平面PEH的法向量，,解析答案,点评,点评,(1)求直线l与平面所成的角，先确定l在上的射影，在l上取点作的垂线，或观察原图中是否存在这样的线，或是否存在过l上一点与垂直的面. (2)找到线面角、作出说明，并通过解三角形求之. (3)利用向量求线面角，设直线l的方向向量和平面的法向量分别为m和n，则直线l与平面所成角满足sin |cosm，n|，,点评,解析答案,变式训练2如图，平面ABDE平面ABC，ABC是等腰直角三角形，ABBC4，四边形ABDE是直角梯形，BDAE，B

8、DBA，BD 2，点O、M分别为CE、AB的中点. (1)求证：OD平面ABC；,证明以B为原点，BC为x轴，BA为y轴，BD为z轴， 建立空间直角坐标系，则C(4，0，0)，A(0，4，0)，D(0，0，2)，E(0，4，4)，O(2，2，2)，M(0，2，0).,OD平面ABC.,解析答案,(2)求直线CD和平面ODM所成角的正弦值；,解设平面ODM的法向量为n2，直线CD与平面ODM所成角为，,解析答案,(3)能否在EM上找到一点N，使得ON平面ABDE？若能，请指出点N的位置并加以证明；若不能，请说明理由.,不存在满足题意的点N.,解析答案,题型三二面角 例3(2016浙江) 如图，在

9、三棱台ABCDEF中，平面BCFE平面ABC，ACB90，BEEFFC1，BC2，AC3. (1)求证：BF平面ACFD；,图,证明延长AD，BE，CF相交于一点K，如图所示. 因为平面BCFE平面ABC，且ACBC， 所以AC平面BCFE，因此BFAC. 又因为EFBC，BEEFFC1， BC2，所以BCK为等边三角形，且F为CK的中点， 则BFCK，且CKACC， 所以BF平面ACFD.,解析答案,点评,(2)求二面角BADF的平面角的余弦值.,解析答案,点评,解方法一如图所示，过点F作FQAK于Q，连接BQ. 因为BF平面ACFD，所以BFAK， 则AK平面BQF，所以BQAK. 所以B

10、QF是二面角BADF的平面角. 在RtACK中，AC3，CK2，,图,解析答案,点评,图,方法二如图所示，延长AD，BE，CF相交于一点K， 则BCK为等边三角形. 取BC的中点O，连接KO，则KOBC， 又平面BCFE平面ABC，所以KO平面ABC. 以点O为原点，分别以射线OB，OK的方向为x轴，z轴的正方向，建立空间直角坐标系Oxyz.,点评,设平面ACK的法向量为m(x1，y1，z1)，平面ABK的法向量为n(x2，y2，z2).,(1)二面角的范围是(0，解题时要注意图形的位置和题目的要求.作二面角的平面角常有三种方法.,点评,棱上一点双垂线法：在棱上任取一点，过这点在两个平面内分别

11、引棱的垂线，这两条射线所成的角，就是二面角的平面角；,点评,面上一点三垂线法：自二面角的一个面上一点向另一个面引垂线，再由垂足向棱作垂线得到棱上的点(即斜足)，斜足与面上一点连线和斜足与垂足连线所夹的角，即为二面角的平面角； 空间一点垂面法：自空间一点作与棱垂直的平面，截二面角得两条射线，这两条射线所成的角就是二面角的平面角.,点评,如图(2)(3)，n1，n2分别是二面角l的两个半平面，的法向量，则二面角的大小满足cos cosn1，n2或cosn1，n2.,(2)用向量法求二面角的大小,解析答案,变式训练3如图，长方体ABCDA1B1C1D1中，AA1AD1，AB2，点E是C1D1的中点.

12、 (1)求证：DE平面BCE；,证明建立如图所示的空间直角坐标系， 则D(0，0，0)，E(0，1，1)，B(1，2，0)，C(0，2，0)，,则DEBE，DEBC. 因为BE平面BCE，BC平面BCE， BEBCB，所以DE平面BCE.,返回,解析答案,(2)求二面角AEBC的大小.,解设平面AEB的法向量为n(x，y，z)，,所以平面AEB的法向量为n(1，0，1)，,由图形可得二面角AEBC的大小为120.,高考题型精练,1,2,3,4,5,解析,解析作A1BD1C，连接B1D1， 易证B1CD1就是A1B与B1C所在直线所成角， 由于B1CD1是等边三角形， 因此B1CD160，故选C

13、.,6,7,8,9,10,11,12,1.在正方体ABCDA1B1C1D1中，A1B与B1C所在直线所成角的大小 是() A.30 B.45C.60 D.90,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,解析,解析连接A1C1B1D1O， A1O平面BB1D1D，A1B与平面BB1D1D所成的角为A1BO，,2.在正方体ABCDA1B1C1D1中，A1B与平面BB1D1D所成的角的大小 是() A.90 B.30 C.45 D.60,A1B与平面BB1D1D所成的角的大小是30.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,解析,解析连接BC，则ABC为等边三角形，,3.如

14、图所示，将等腰直角ABC沿斜边BC上的高AD折成一个二面角，此时BAC60，那么这个二面角大小是() A.90 B.60C.45 D.30,所以BDC90，故选A.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,解析,4.已知正三棱锥SABC中，E是侧棱SC的中点，且SABE，则SB与底面ABC所成角的余弦值为(),1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,解析如图，在正三棱锥SABC中，作SO平面ABC，连接OA，OB，则O是ABC的中心，OABC， 由此可得SABC， 又SABE，所以SA平面SBC. 故正三棱锥SABC的各侧面是全等的等腰直角三角形. 方法一由上述分析

15、知cosSBAcosABOcosSBO， 即cos 45cos 30cosSBO，,解析,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,方法二因为SO平面ABC， 所以SB与平面ABC所成的角为SBO， 令AB2，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,解析,解析如图，连接A1B，BC1，A1C1，则A1BBC1A1C1， 因为EFA1B，GHBC1， 所以异面直线EF与GH所成的角等于60， 故选B.,5.如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F、G、H分别为AA1、AB、BB1、B1C1的中点，则异面直线EF与GH所成的角等于() A.45 B.60C.

16、90 D.120,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,答案,解析,3，将ABC沿BC的边翻折，设点A在平面BCD上的射影为点M，若点M在BCD内部(含边界)，则点M的轨迹的最大长度等于_；在翻折过程中，当点M位于线段BD上时，直线AB和CD所成角的余弦值等于_.,当点M位于线段BD上时，AM平面BCD， 取BC中点为N，AC中点为P， MNP或其补角即为直线AB和CD所成的角，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,解析,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,又MP为RtAMC斜边AC的中线，,7.直三棱柱ABCA1B1C1中，若BAC90，2

17、AB2ACAA1，则异面直线BA1与B1C所成角的余弦值等于_.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,答案,解析,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,解析以A为原点，AB为x轴，AC为y轴，AA1为z轴，建立空间直角坐标系， 因为2AB2ACAA12， 则A1(0，0，2)，B(1，0，0)，B1(1，0，2)，C(0，1，0)，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,答案,解析,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,答案,解析,9.以等腰直角三角形ABC斜边BC上的高AD

18、为折痕，使ABD和ACD折成互相垂直的两个平面，则BAC_.,60,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,解析不妨设ABC的斜边为2，,因为ABD和ACD折成互相垂直的两个平面， 且ADBD，ADDC， 所以BDC是二面角BADC的平面角，,所以折叠后的ABC为等边三角形， 即BAC60.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,答案,解析,分别是AC1和BB1的中点，则直线DE与平面BB1C1C所成的角为_.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,解析取AC中点F，连接BF，DF， 则DFBE，DFBE， DEBF，BF与平面BB1C1C所成的角

19、为所求.,ABBC，,又ABBB1，AB平面BB1C1C. 作GFAB交BC于G， 则GF平面BB1C1C， FBG为直线BF与平面BB1C1C所成的角，,解析,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,解析答案,(1)在平面PAB内找一点M，使得直线CM平面PBE，并说明理由；,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,解在梯形ABCD中，AB与CD不平行. 延长AB，DC，相交于点M(M平面PAB)，点M即为所求的一个点.理由如下： 由已知，BCED，且BCED. 所以四边形BCDE是平行四边形. 从而CMEB.

20、又EB平面PBE，CM平面PBE. 所以CM平面PBE. (说明：延长AP至点N，使得APPN，则所找的点可以是直线MN上任意一点),1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,解析答案,(2)若二面角PCDA的大小为45，求直线PA与平面PCE所成角的正弦值.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,解析答案,解方法一由已知，CDPA，CDAD，PAADA， 所以CD平面PAD. 从而CDPD. 所以PDA是二面角PCDA的平面角. 所以PDA45. 设BC1，则在RtPAD中，PAAD2. 过点A作AHCE，交CE的延长线于点H，连接PH. 易知PA平面ABCD， 从而PACE.且PAAHA，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,于是CE平面PAH.又CE平面PCE， 所以平面PCE平面PAH. 过A作AQPH于Q，则AQ平面PCE. 所以APH是PA与平面PCE所成的角. 在RtAEH中，AEH45，AE1，,解析答案,1,2,3,4,5,6