高中数学圆锥曲线与最值及取值范围问题附经典例题.doc

1、圆锥曲线与最值问题【知识点分析】方法一、圆锥曲线的的定义转化法借助圆锥曲线定义将最值问题等价转化为易求、易解、易推理证明的问题来处理（1）椭圆：到两定点的距离之和为常数（大于两定点的距离）（2）双曲线：到两定点距离之差的绝对值为常数（小于两定点的距离）（3）抛物线：到定点与定直线距离相等。【相似题练习】1已知抛物线y28x，点Q是圆C：x2+y2+2x8y+130上任意一点，记抛物线上任意一点到直线x2的距离为d，则|PQ|+d的最小值为（）A5B4C3D21已知双曲线C：的右焦点为F，P是双曲线C的左支上一点，M（0，2），则PFM周长最小值为 【知识点分析】方法二、函数法二次函数顶点坐标为

2、【相似题练习】1已知F1，F2为椭圆C：+1的左、右焦点，点E是椭圆C上的动点，12的最大值、最小值分别为（）A9，7B8，7C9，8D17，8【知识点分析】方法三、利用最短路径【最短路径十二个基本问题】【问题1】“将军饮马”作法图形原理在直线l上求一点P，使PA+PB值最小作B关于l的对称点B连A B，与l交点即为P两点之间线段最短PA+PB最小值为A B【问题2】作法图形原理在直线、上分别求点M、N，使PMN的周长最小分别作点P关于两直线的对称点P和P，连PP，与两直线交点即为M，N两点之间线段最短PM+MN+PN的最小值为线段PP的长【问题3】作法图形原理在直线、上分别求点M、N，使四边

3、形PQMN的周长最小分别作点Q 、P关于直线、的对称点Q和P连QP，与两直线交点即为M，N两点之间线段最短四边形PQMN周长的最小值为线段PP的长【问题4】作法图形原理在上求点A，在上求点B，使PA+AB值最小作点P关于的对称点P，作PB于B，交于A点到直线，垂线段最短PA+AB的最小值为线段PB的长【问题5】作法图形原理A为上一定点，B为上一定点，在上求点M，在上求点N，使AM+MN+NB的值最小作点A关于的对称点A，作点B关于的对称点B，连AB交于M，交于N两点之间线段最短AM+MN+NB的最小值为线段AB的长【相似题练习】1已知双曲线x2y21的右焦点为F，右顶点A，P为渐近线上一点，则

4、|PA|+|PF|的最小值为（）ABC2D【知识点分析】方法四、利用圆的性质【相似题练习】1已知椭圆，圆A：x2+y23xy+20，P，Q分別为椭圆C和圆A上的点，F（2，0），则|PQ|+|PF|的最小值为（）ABCD【知识点分析】方法五、切线法【相似题练习】1如图，设椭圆C：+1（ab0）的左右焦点为F1，F2，上顶点为A，点B，F2关于F1对称，且ABAF2（）求椭圆C的离心率；（）已知P是过A，B，F2三点的圆上的点，若AF1F2的面积为，求点P到直线l：xy30距离的最大值 【知识点分析】方法六、参数法1圆的参数方程可表示为.2. 椭圆的参数方程可表示为.3 抛物线的参数方程可表示为

5、.【相似题练习】已知点A（2，1），点B为椭圆+y21上的动点，求线段AB的中点M到直线l的距离的最大值并求此时点B的坐标【知识点分析】方法七、基本不等式1、均值不等式定理： 若，则，2、常用的基本不等式：；【相似题练习】1 抛物线y24x的焦点为F，点A、B在抛物线上，且AFB，弦AB的中点M在准线l上的射影为M，则的最大值为 【知识点分析】方法七、利用三角形的三边关系两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。【相似题练习】1已知点F为双曲线E：（a0，b0）的右焦点，若在双曲线E的右支上存在点P，使得PF中点到原点的距离等于点P到点F的距离，则双曲线E的离心率的取值范围是（）A（1，3）B（

6、1，3C（1，D，3【知识点分析】方法九、利用三角恒等变换辅助角公式： 令， 其中为辅助角，【相似题练习】1已知椭圆C：，过原点的直线交椭圆于A，B两点，以AB为直径的圆过右焦点F，若FAB，则此椭圆离心率的取值范围是（）ABCD【相似题练习】1已知双曲线的右焦点为F，过原点的直线l交双曲线C于A、B两点，且|BF|3|AF|，则双曲线C的离心率取值范围为（）A（1，2B（1，3C（3，+）D2，+）2已知焦点为F的抛物线C：y24x的准线与x轴交于点A，点M在抛物线C上，则当取得最大值时，直线MA的方程为（）Ayx+1或yx1By或yCy2x+2或y2x2Dy2x+21已知动点P（x，y）在

7、椭圆上，若A点坐标为（2，0），且，则的最小值为（）A3BC2D2已知点F1，F2分别是双曲线C：x21（b0）的左、右焦点，O为坐标原点，点P在双曲线C的右支上，且满足|F1F2|2|OP|，tanPF2F13，则双曲线C的离心率的取值范围为（）A（1，B）C（1，）D（，21点M为抛物线yx2上任意一点，点N为圆x2+y22y+0上任意一点，若函数f（x）loga（x+2）+2（a1）的图象恒过定点P，则|MP|+|MN|的最小值为（）ABC3D参考答案与解析：1已知抛物线y28x，点Q是圆C：x2+y2+2x8y+130上任意一点，记抛物线上任意一点到直线x2的距离为d，则|PQ|+d的

8、最小值为（）A5B4C3D2【解答】解：如图所示，由题意知抛物线y28x的焦点为F（2，0），连接PF，则d|PF|圆C的方程配方，得（x+1）2+（y4）24，圆心为C（1，4），半径r2d+|PQ|PF|+|PQ|，显然，|PF|+|PQ|FQ|（当且仅当F，P，Q三点共线时取等号）而|FQ|为圆C上的动点Q到定点F的距离，显然当F，Q，C三点共线时取得最小值，最小值为|CF|r2523故选：C1已知双曲线C：的右焦点为F，P是双曲线C的左支上一点，M（0，2），则PFM周长最小值为【解答】解：设双曲线的左焦点为F，由双曲线C：可得a1，b，c2，即有F（2，0），F（2，0），PFM周长

9、为|PM|+|PF|+|MF|PM|+|PF|+2，由双曲线的定义可得|PF|PF|2a2，即有|PM|+|PF|PM|+|PF|+2，当P在左支上运动到M，P，F共线时，|PM|+|PF|取得最小值|MF|2，则有APF周长的最小值为2+2+22+4故答案为：1已知F1，F2为椭圆C：+1的左、右焦点，点E是椭圆C上的动点，12的最大值、最小值分别为（）A9，7B8，7C9，8D17，8【解答】解：由椭圆C：+1可得a3，b2，c1，知F1（1，0），F2（1，0），设E（x，y），即有+1，即y28（1），则 1（1x，y），2（1x，y），12（1x）（1x）+y2x2+y217+，x3

10、，3，0x29，故12的最大值7，8故最大值8，最小值7故选：B1已知双曲线x2y21的右焦点为F，右顶点A，P为渐近线上一点，则|PA|+|PF|的最小值为（）ABC2D【解答】解：如图：双曲线x2y21的右焦点为F（，0），右顶点A（1，0），P为渐近线yx上一点，则|PA|+|PF|的最小值就是A关于yx的对称点A到F的距离，所以A（0，1），则|PA|+|PF|的最小值为：故选：B1已知椭圆，圆A：x2+y23xy+20，P，Q分別为椭圆C和圆A上的点，F（2，0），则|PQ|+|PF|的最小值为（）ABCD【解答】解：由圆A：x2+y23xy+20，得作出椭圆C与圆A的图象如图，F（

11、2，0）为椭圆的左焦点，设椭圆的右焦点为F（2，0），则|PQ|+|PF|PQ|+24|PF|8（|PF|PQ|），圆A过点F，要使|PQ|+|PF|最小，则|PF|PQ|需要取最大值为圆的直径|PQ|+|PF|的最小值为8故选：D1如图，设椭圆C：+1（ab0）的左右焦点为F1，F2，上顶点为A，点B，F2关于F1对称，且ABAF2（）求椭圆C的离心率；（）已知P是过A，B，F2三点的圆上的点，若AF1F2的面积为，求点P到直线l：xy30距离的最大值【解答】解：（）由题意，（2分）由ABAF2及勾股定理可知，即9c2+b2+a216c2（4分）因为b2a2c2，所以a24c2，解得（6分）

12、（）由（）可知AF1F2是边长为a的正三角形，所以解得（8分）由ABAF2可知直角三角形ABF2的外接圆以F1（1，0）为圆心，半径r2即点P在圆（x+1）2+y24上，（10分）因为圆心F1到直线的距离为（12分）故该圆与直线l相切，所以点P到直线l的最大距离为2r4（13分）1.已知点A（2，1），点B为椭圆+y21上的动点，求线段AB的中点M到直线l的距离的最大值并求此时点B的坐标A（2，1），设点B，则点M，点M到直线l的距离当时，的最大值为即点M到直线l的距离的最大值为，此时点的坐标为）1抛物线y24x的焦点为F，点A、B在抛物线上，且AFB，弦AB的中点M在准线l上的射影为M，则的

13、最大值为【解答】解：如图，设AFa（a0），BFb（b0），由抛物线定义，得2|MM|a+b在ABF中，由余弦定理，得|AB|2a2+b22abcosa2+b2+ab（a+b）2ab，a0，b0，由基本不等式得：a+b2，ab，|AB|2（a+b）2，|AB|（a+b）的最大值为故答案为：1已知点F为双曲线E：（a0，b0）的右焦点，若在双曲线E的右支上存在点P，使得PF中点到原点的距离等于点P到点F的距离，则双曲线E的离心率的取值范围是（）A（1，3）B（1，3C（1，D，3【解答】解：设PF中点为M，左焦点为H，则OMPF，当点P异于双曲线的右顶点时，连接PH，根据三角形中位线性质，则PH

14、PF，根据双曲线定义又有PHPF2a，则PF2a，根据三角形三边关系可得：，即13，当点P是双曲线右顶点时，OMa+，PFca，则a+ca，解得e3，综上1e3，故选：B1已知椭圆C：，过原点的直线交椭圆于A，B两点，以AB为直径的圆过右焦点F，若FAB，则此椭圆离心率的取值范围是（）ABCD【解答】解：设椭圆的另一个焦点为F，连接AF，AF，BF，则四边形AFBF是矩形，ABFF2c，FA2ccos，FB2csin，由椭圆的定义可知，FA+FB2a，即2ccos+2csin2a，离心率，故选：B1已知双曲线的右焦点为F，过原点的直线l交双曲线C于A、B两点，且|BF|3|AF|，则双曲线C的

15、离心率取值范围为（）A（1，2B（1，3C（3，+）D2，+）【解答】解：设双曲线的左焦点为F1，根据对称性知AFBF1是平行四边形，所以有|AF|BF1|，又点B在双曲线上，所以|BF|BF1|2a因为|BF|3|AF|，所以|BF|BF1|3|AF|AF|2|AF|2a，即|BF|3a，而在三角形OFB中，4a2c，2a2c，所以双曲线的离心率e（1，2，故选：A2已知焦点为F的抛物线C：y24x的准线与x轴交于点A，点M在抛物线C上，则当取得最大值时，直线MA的方程为（）Ayx+1或yx1By或yCy2x+2或y2x2Dy2x+2【解答】解：过M作MP与准线垂直，垂足为P，则，则当取到最

16、大值时，MAF必须取到最大值，此时AM与抛物线相切；易知此时直线AM的斜率不为0，设切线方程为：xmy1，则，整理可得y24my+40，则16m2160，解得m1，所以切线方程为：xy1，即yx+1或yx1，故选：A1已知动点P（x，y）在椭圆上，若A点坐标为（2，0），且，则的最小值为（）A3BC2D【解答】解：由题意的方程可得右焦点的坐标为（2，0），由题意可得A为右焦点，由|1，可得为A为圆心，以1为半径的圆，因为，所以可得PMAM，所以|为P到圆A的切线长，即：|，所以当|PA|最小时，|取最小值，因为P在椭圆上，而a4，c2，所以ac|PA|a+c，即|PA|2，6，所以|的最小值为

17、，故选：B2已知点F1，F2分别是双曲线C：x21（b0）的左、右焦点，O为坐标原点，点P在双曲线C的右支上，且满足|F1F2|2|OP|，tanPF2F13，则双曲线C的离心率的取值范围为（）A（1，B）C（1，）D（，2【解答】解：|F1F2|2|OP|，|OP|c，根据三角形的性质可知，PF1F2为直角三角形，则PF1PF2，|PF1|2+|PF2|2|F1F2|24c2，由双曲线的定义可得：|PF1|PF2|2a，即|PF1|PF2|+2a，将代入得：（|PF2|+2a）2+|PF2|24c2，整理可得|PF2|2+2a|PF2|2c22a2，配方可得（|PF2|+a）22c2a2，又tanPF2F13，则|PF1|3|PF2|，结合得0|PF2|a，则两边同时加上a得：a|PF2|+a2a，即有a2（|PF2|+a）24a2，所以a22c2a24a2，解得a