专题九-线性赋范空间与巴拿赫空间讲稿

1、第三章 线性赋范空间与内积空间,内积空间+完备性希尔伯特空间,线性赋范空间+完备性巴拿赫空间,线性空间+内积内积空间,线性空间+范数线性赋范空间,泛函分析正是把空间的代数结构与几何结构进行结合的研究，才得到了许多有实用价值的结果。,线性赋范空间与巴拿赫空间,专题九 线性赋范空间与巴拿赫空间,有限维线性赋范空间线性代数研究对象,无限维线性赋范空间泛函分析研究对象,代数结构,最常用距离空间Rn, m, Ca,b, lp, Lpa,b,完备性,范数,线性赋范 空间,线性空间,距离,线性距离 空间,巴拿赫空间,线性运算按范数连续,线性运算按距离连续,几何结构,线性运算,距离空间,线性运算按范数连续,赋

2、范空间,线性运算,| x | = d(x,0),线性运算按距离连续,| x | = d(x,0),又都是线性空间,d(x,y)=|x-y|,D,F,B,集合,距离,线性运算,1 范数与线性赋范空间,一、线性赋范空间与巴拿赫空间,定义7,2 由范数诱导的距离,定义8,范数公理,注：,由线性度量空间构造范数使之成为赋范线性空间的方法,例8 数列空间,1）定义,1 (x,y)满足距离公理，是S上的距离函数,故 S是距离空间,2）S按照通常数列的加法和数乘运算是线性空间,3）但距离函数1(x,y)不是由范数诱导的距离：,事实上，当|1时，,3 常见空间的范数与距离对照表,(1) Rn,(2) m,(3

3、) lp,(4) Ca,b,(5) Lpa,b,例如：,4 巴拿赫（Banach)空间,定义9 完备的线性赋范空间称为巴拿赫空间。,因此Rn是Banach空间。,定理1 设X是线性赋范空间，xn、ynX, x,yX, nR, R,如果n, xnx, yny, 则有,xnx, nx x, xn+ynx+y,证 n|n-|0,xnx|xn-x|0,yny|yn-y|0,|xn-x|=| |xn-x|0 xn x,|nx-x|=|n-| |x|0 nxx,5 线性赋范空间中的极限理论,定义10 （极限）设X是线性赋范空间，xnX, xX。,线性赋范空间中线性运算对范数的连续性,定理2 设X是线性赋范

4、空间，xnX, xX.,1) 如果xnx, 则|xn|有界 （范数列的有界性）；,证 1) xnx|xn-x|0|xn|xn-x|+ |x| |x| |xn|有界,如果xnx, 则|xn|x| (范数的连续性，即|x| 是x的连续函数）；,2) 一方面，|xn|-|x| |xn-x|,另一方面， |xn|-|x|=|xn|-|x-xn+xn| |xn|-(|x-xn|+|xn|)=-|xn-x|,因此 | |xn|-|x| |xn-x|,xnx|xn-x|0| |xn|-|x| |0|xn|x|,定理3 设X是线性赋范空间，d是由范数诱导的距离，则对x，y,z0X有.,1) 平移不变性：d(x

5、+z0, y+z0)= d(x, y),证 1) d(x+z0, y+z0)= |(x+z0 )-( y+z0) |= |x- y|= d(x, y),2) 绝对齐次性：d(x, y)=| | d(x, y),2) d(x, y)= | x-y|= | | | x-y|= | | d(x, y),设xn 是线性赋范空间X中的点列，表达式,5 线性赋范空间中的无穷级数,称为X中的无穷级数,称为级数的部分和。如果存在sX, 使得 |sn-s|0 (n), 则称级数收敛于s，s称 为级数的和，记为,绝对收敛；当X是巴拿赫空间时，若级数绝对收敛则级数一定收敛。,6 线性赋范空间中的完备化,定义5（线性

6、等距同构）设（X1，1）和（X2，2）是同一数域上的两个线性赋范空间。如果存在一一映射T：X1X2，满足：,T( x+ y)= T(x)+ T(y)，,则称X1与X2是线性等距同构的，也称T是从X1到X2的线性等距同构映射。,（1）线性：x,yX及，成立,（2）等距：xX，成立 Tx2= x1,注：两个同构的线性空间可以看作是同一的。,定理4（完备化定理）设（X，）是一线性赋范空间，则必存在唯一的巴拿赫空间Y，使X与Y的一个稠密子空间Y1线性等距同构。,例如，Ca,b按范数,不完备，其完备化空间是L2a,b.,有限维线性赋范空间是研究无限维空间的有力工具。,二、有限维线性赋范空间的特殊性质,有

7、限维线性赋范空间具有特殊性质(来自它与欧氏空间的相似性),1 n维线性赋范空间的模型（反映了与欧氏空间Rn的关系）,定理1 n维实线性赋范空间X与n维欧氏空间Rn（在某种范数下）是线性等距同构的。,证 设e1,e2,en是X的一个基底，, (1,2,n)Rn, xX ，也使得, X与Rn之间存在着一一对应关系T：,xX ，(1,2,n)Rn, 使得,1）T是线性同构映射：,2）T关于X与Rn的某种范数是等距同构映射：,在Rn中定义实值函数：,故 是Rn中的范数，记作 ： 则,注：任何n维线性赋范空间的模型都可以看作Rn，从而任何有限维线性赋范空间都是完备的。,2 范数的等价性,定义2 （等价范

8、数） 设| |1，| |2 是同一线性空间X中的两个不同的范数。如果当| |10时有| |2 0，则称| |1比| |2更强；如果| |1比| |2更强，切| |2比| |1更强，则称| |1与| |2等价。,定理2 （范数等价的充要条件） 线性空间X中的两个范数| |1与| |2等价的充要条件是：xX，存在两个正数a，b，使得,3 有限维线性赋范空间的特殊性质,定理3 设X是n维实线性赋范空间，e1,e2,en是X的一个基底，则 a, b0, 使对xX, 有,证 一方面,另一方面,是Rn中的范数，因而在Rn上非负连续,在Rn中的有界闭集（单位球面）,上有最小值a,注：定理中，,定理4 （范数

9、等价性） 设X是有限维线性赋范空间，则X上的任何范数都等价。,证 设| |1，| |2 是X上的任意两个范数，则根据定理3，,使,| |1与| |2 等价,注：定理4表明，有限维线性赋范空间X上的任何范数的收敛性相同，因而在讨论极限时可以任意选取范数 。,推论1 任意有限维线性赋范空间都是Banach空间，从而任意有限维线性赋范空间的子空间都是闭子空间。,证 设X是n维线性赋范空间，xkX是柯西序列，e1,e2,en是X的一个基底，映射 T : X Rn.,是柯西列,收敛于某,X完备,推论2 n维实线性赋范空间X与n维欧氏空间Rn是拓扑同胚的。,证 设e1,e2,en是X的一个基底，作一一映射

10、T：,则T是拓扑同胚映射。事实上，由定理3有,T是连续映射,T-1 是连续映射,证 闭集LX, LX. x1XL, 令,Riesz引理是泛函分析中重要定理-在区别有限维与无限维线性赋范空间的某些特征方面起关键作用。,定理4 （黎斯FRiesz引理）设X是线性赋范空间，LX是真闭子集 （子空间），则对 (01), x0X , 使|x0|=1, 且,对xL, 有,xL, 使,下确界定义,令,X对线性运算封闭,对xL, 有|x-x1 |x+xL,LX对线性运算封闭,定理5 X是有限维线性赋范空间X中的任意有界闭集 都是（列）紧集。 （有限维空间的特征性定理）,证 必要性 设X是n维线性赋范空间，T:

11、 XRn是线性 等距同构和拓扑同胚映射。,T(A)=y|y=Tx,xARn是有界闭集,xnATxnT(A),T(A)是列紧集,TxnkTxnT(A), 使TxnkTx0T(A),Rn中有界闭集是列紧集,A为列紧集A为紧集,xnkx0A,T拓扑同胚T与T-1均连续,AX为有界闭集,拓扑同胚映射性质,充分性 设X中任意有界闭集是列紧集,取单位球面B=x|x|=1, xXXB是列紧集,若X是无限维线性赋范空间，x1S, 令B1=spanx1,B1X, B1X是一维闭子空间,x2B, |x2|=1, 使,（Riesz引理）,B2X, B2X是二维闭子空间,x3B, |x3|=1, 使,（Riesz引理）,令B2=spanx1,x2,xiB, |xi|=1, 使, xi无收敛子序列 。这与