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文档简介

1、补充：拉普拉斯变换,微分方程式是描述线性系统运动的一种基本形式的数学模型。通过对它求解，就可以得到系统在给定输入信号作用下的输出响应。然而，用微分方程式表示系统的数学模型在实际应用中一般会遇到一些困难。,拉普拉斯变换（简称拉氏变换）是分析研究线性动态系统的有力数学工具。通过拉氏变换将时域的微分方程变换为复数域的代数方程，这不仅运算方便，也使系统的分析大为简化。,在控制工程中,使用拉氏变换的主要目的:,用它来研究系统动态特性.,因为描述系统动态特性的传递函数和频率特性都是建立在拉氏变换的基础之上的。,一、拉氏变换定义,对时间函数f(t)，t0，f(t)的拉普拉斯变换Lf(t)（简称拉氏变换）或F

2、(s)定义为,(2.20),原函数,象函数,一个函数可以进行拉氏变换的充要条件是：,(1)在t0时，,(2)在t0的任一有限区间内，f(t)是分段连续的；,(3),二、 一些常用的拉氏变换,加于控制系统的外作用一般事先是不完全知道的,而且常常随着时间任意变化.为了便于对系统进行理论分析,工程实践中允许采用以下几种简单的时间函数作为系统的典型输入,即单位阶跃函数、单位斜坡函数、等加速函数、指数函数、正玄函数、以及单位脉冲函数等。,1、单位阶跃函数,t0,t 0,图2-5 单位阶跃函数,其拉氏变换,2、单位斜坡函数,t0,t 0,其拉氏变换,3、等加速函数,t0,t 0,其拉氏变换,4、指数函数,

3、t0,t 0,其拉氏变换,t 0,t 0,其拉氏变换,5、正弦函数,注:欧拉公式,t0,t 0,其拉氏变换,余弦函数,6、单位脉冲函数,性质,其拉氏变换,且,图2-7 单位脉冲函数,设,则,三、拉氏变换的性质,1、线性性质齐次性和叠加性,2、微分性质,3、 积分性质,4、终值定理,且F(s)在s平面的右半平面及除原点以外的虚轴上解析，则函数的终值为,5、初值定理,时域位移定理,复数域位移定理,6、位移定理,7、卷积定理,则,若,卷积符号,表明两个时间函数卷积的拉氏变换等于两个时间的拉氏变换的乘积。这个关系式在拉氏反变换中可以简化计算,四、拉氏反变换,从象函数中找出原函数，这就是拉氏反变换。,求拉氏反变换的方法有：,(1)查表法,(2)部分分式法,(3)有理分式法,一般象函数可以表示成如下的有理分式,分母进行因式分解,1、当A(s)=0无重极点(n个不等根)时，F(s)可表示为,因此,原函数为,例5已知 ,试求原函数.,解： 写成部分分式形式,课堂练习：求F（s）的拉氏反变换,2、当A(s)=0有重根时，F(s)可表示为,因此，原函数为,例6 已知 ，试求原函数f(t)。,解：,五、拉氏变换解微分方程,(3)取拉氏反变换，得微分方程解；,利用拉氏变换解微分方

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