届山西省太原市高考数学三模试卷（理科）（解析版）

1、2017年山西省太原市高考数学三模试卷（理科）一、选择题：本题共12个小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1已知i是虚数单位，复数z满足，则复数z在复平面内对应的点的坐标是（）AB（1，1）CD（1，1）2已知全集U=R，集合A=x|x（x+2）0，B=x|x|1，则如图阴影部分表示的集合是（）A（2，1）B1，01，2）C（2，1）0，1D0，13已知随机变量X服从正态分布N（3，1），且P（X4）=0.1587，则P（2X4）=（）A0.6826B0.3413C0.4603D0.92074我国古代数学名著九章算术的论割圆术中有：“割之弥细，所失弥少，割之又

2、割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”它体现了一种无限与有限的转化过程比如在表达式1+中“”即代表无数次重复，但原式却是个定值，它可以通过方程1+=x求得x=类比上述过程，则=（）A3BC6D25执行所示的程序框图，如果输入a=3，那么输出的n的值为（）A2B3C4D56在ABC中，AB=3，AC=2，BAC=60，点P是ABC内一点（含边界），若，则|的取值范围为（）A2，B2，C0，D2，7已知某产品的广告费用x（单位：万元）与销售额y（单位：万元）具有线性关系关系，其统计数据如下表：x3456y25304045由上表可得线性回归方程=x+，据此模型预报广告费用为8万元时的销售额是（）

3、附： =； =xA59.5B52.5C56D63.58某几何体的三视图如图所示，则该几何体中最长的棱长为（）ABCD9已知数列an的前n项和为Sn，点（n，Sn+3）（nN*）在函数y=32x的图象上，等比数列bn满足bn+bn+1=an（nN*）其前n项和为Tn，则下列结论正确的是（）ASn=2TnBTn=2bn+1CTnanDTnbn+110已知函数f（x）是偶函数，f（x+1）是奇函数，且对任意的x1，x20，1，且x1x2，都有（x1x2）f（x1）f（x2）0，设a=f（），b=f（），c=f（），则下列结论正确的是（）AabcBbacCbcaDcab11已知实数x，y满足条件，若x

4、2+2y2m恒成立，则实数m的最大值为（）A5BCD12已知点P在抛物线y2=x上，点Q在圆（x+）2+（y4）2=1上，则|PQ|的最小值为（）ABCD二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13现采取随机模拟的方法估计某运动员射击击中目标的概率先由计算器给出0到9之间取整数的随机数，指定0，1，2，3表示没有击中目标，4，5，6，7，8，9表示集中目标，以4个随机数为一组，代表射击4次的结果，经随机模拟产生了20组如下的随机数：7527 0293 7140 9857 0347 4373 8636 6947 1417 46980371 6233 2616 8045 6011 366

5、1 9597 7424 7610 4281根据以上数据估计该运动员射击四次至少击中三次的概率为： 14 = 15在ABC中，AB=2，AC=3，BAC=90，点D在AB上，点E在CD上，且ACB=DBE=DEB，则DC= 16已知过点A（2，0）的直线与x=2相交于点C，过点B（2，0）的直线与x=2相交于点D，若直线CD与圆x2+y2=4相切，则直线AC与BD的交点M的轨迹方程为 三、解答题：本大题共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17已知=（sin，cos， =（cos，cos），f（x）=（1）若函数f（x）的最小正周期和单调递增区间；（2）若a，b，c分别是ABC的内角

6、A，B，C所对的边，且a=2，（2ab）cosC=ccosB，求c18网购是当前民众购物的新方式，某公司为改进营销方式，随机调查了100名市民，统计其周平均网购的次数，并整理得到如下的频数分布直方图这100名市民中，年龄不超过40岁的有65人将所抽样本中周平均网购次数不小于4次的市民称为网购迷，且已知其中有5名市民的年龄超过40岁（1）根据已知条件完成下面的22列联表，能否在犯错误的概率不超过0.10的前提下认为网购迷与年龄不超过40岁有关？网购迷非网购迷合计年龄不超过40岁年龄超过40岁合计（2）若从网购迷中任意选取2名，求其中年龄丑啊过40岁的市民人数的分布列与期望附：；P（K2k0）0.

7、150.100.050.01k02.0722.7063.8416.63519如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，侧面ACC1A1底面ABC，A1AC=60，AC=2AA1=4，点D，E分别是AA1，BC的中点（1）证明：DE平面A1B1C；（2）若AB=2，BAC=60，求直线DE与平面ABB1A1所成角的正弦值20已知动点C到点F（1，0）的距离比到直线x=2的距离小1，动点C的轨迹为E（1）求曲线E的方程；（2）若直线l：y=kx+m（km0）与曲线E相交于A，B两个不同点，且，证明：直线l经过一个定点21已知函数f（x）=x22x+1，g（x）=2aln（x1）（aR）（1）求函数h（x

8、）=f（x）g（x）的极值；（2）当a0时，若存在实数k，m使得不等式g（x）kx+mf（x）恒成立，求实数a的取值范围选修4-4：坐标系与参数方程22在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（为参数），以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为=4sin（）求曲线C1的普通方程和C2的直角坐标方程；（）已知曲线C3的极坐标方程为=，0，R，点A是曲线C3与C1的交点，点B是曲线C3与C2的交点，且A，B均异于原点O，且|AB|=4，求实数a的值选修4-5：不等式选讲23已知函数f（x）=2|x+a|+|x|（a0）（1）当a=1时，解不等式f（x）4；（2）求函

9、数g（x）=f（x）+f（x）的最小值2017年山西省太原市高考数学三模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本题共12个小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1已知i是虚数单位，复数z满足，则复数z在复平面内对应的点的坐标是（）AB（1，1）CD（1，1）【考点】A5：复数代数形式的乘除运算【分析】利用复数的运算法则、几何意义即可得出【解答】解：，z=1+i则复数z在复平面内对应的点的坐标是（1，1）故选：B2已知全集U=R，集合A=x|x（x+2）0，B=x|x|1，则如图阴影部分表示的集合是（）A（2，1）B1，01，2）C（2，1）0，1D0，1【考

10、点】1J：Venn图表达集合的关系及运算【分析】根据阴影部分对应的集合为U（AB）（AB），然后根据集合的基本运算进行求解即可【解答】解：A=x|2x0，B=x|1x1，由题意可知阴影部分对应的集合为U（AB）（AB），AB=x|1x0，AB=x|2x1，即U（AB）=x|x1或x0，U（AB）（AB）=x|0x1或2x1，故选：C3已知随机变量X服从正态分布N（3，1），且P（X4）=0.1587，则P（2X4）=（）A0.6826B0.3413C0.4603D0.9207【考点】CP：正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义【分析】根据随机变量X服从正态分布，可知正态曲线的对称轴x=3，利用对

11、称性，即可求得P（2X4）【解答】解：随机变量X服从正态分布N（3，1），正态曲线的对称轴是x=3，P（X4）=0.1587，P（2X4）=12P（X4）=10.3174=0.6826故选：A4我国古代数学名著九章算术的论割圆术中有：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”它体现了一种无限与有限的转化过程比如在表达式1+中“”即代表无数次重复，但原式却是个定值，它可以通过方程1+=x求得x=类比上述过程，则=（）A3BC6D2【考点】F3：类比推理【分析】通过已知得到求值方法：先换元，再列方程，解方程，求解（舍去负根），再运用该方法，注意两边平方，得到方程，解出方

12、程舍去负的即可【解答】解：由已知代数式的求值方法：先换元，再列方程，解方程，求解（舍去负根），可得要求的式子令=m（m0），则两边平方得，则3+2=m2，即3+2m=m2，解得，m=3，m=1舍去故选：A5执行所示的程序框图，如果输入a=3，那么输出的n的值为（）A2B3C4D5【考点】EF：程序框图【分析】根据程序框图，依次计算运行的P、Q的值，直到条件PQ不满足，判断此时的n值，可得答案【解答】解：由程序框图得：程序第一次运行P=0+30=1，Q=21+1=3，n=1；第二次运行P=1+31=4，Q=23+1=7n=2；第三次运行P=4+32=13，Q=27+1=15，n=3；第四次运行P

13、=13+33=40，Q=215+1=31，n=4，不满足PQ，程序运行终止，输出n=4故选：C6在ABC中，AB=3，AC=2，BAC=60，点P是ABC内一点（含边界），若，则|的取值范围为（）A2，B2，C0，D2，【考点】9V：向量在几何中的应用【分析】在AB上取一点D，使得过D，作DHAC，交AC于H，可得点P在线段DH上，当P在D处时，|最小为；当P在H处时，|最大，且B，P，C共线，=，即可得|的取值范围【解答】解：在AB上取一点D，使得过D，作DHAC，交AC于H，且点P是ABC内一点（含边界），点P在线段DH上当P在D处时，|最小为，当P在H处时，|最大，且B，P，C共线，=则

14、|的取值范围为2，故选：D7已知某产品的广告费用x（单位：万元）与销售额y（单位：万元）具有线性关系关系，其统计数据如下表：x3456y25304045由上表可得线性回归方程=x+，据此模型预报广告费用为8万元时的销售额是（）附： =； =xA59.5B52.5C56D63.5【考点】BO：独立性检验的应用【分析】由表中数据计算、，求出回归系数、，写出回归方程，利用回归方程计算x=8时的值即可【解答】解：由表中数据可得， =（3+4+5+6）=4.5，=（25+30+40+45）=35，回归系数=7，=3574.5=3.5，线性回归方程为=7x+3.5，当x=8时， =78+3.5=59.5；

15、据此模型预报广告费用为8万元时的销售额是59.5万元故选：A8某几何体的三视图如图所示，则该几何体中最长的棱长为（）ABCD【考点】L!：由三视图求面积、体积【分析】如图所示，该几何体为四棱锥PABCD侧面PAB底面ABCD，底面ABCD为矩形，过点P作PEAB，垂足为点E，AE=1，BE=2，AD=2，PE=4【解答】解：如图所示，该几何体为四棱锥PABCD侧面PAB底面ABCD，底面ABCD为矩形，过点P作PEAB，垂足为点E，AE=1，BE=2，AD=2，PE=4该几何体中最长的棱长为PC=2故选：B9已知数列an的前n项和为Sn，点（n，Sn+3）（nN*）在函数y=32x的图象上，等

16、比数列bn满足bn+bn+1=an（nN*）其前n项和为Tn，则下列结论正确的是（）ASn=2TnBTn=2bn+1CTnanDTnbn+1【考点】8H：数列递推式【分析】根据题意，将点（n，Sn+3）坐标代入函数y=32x中，可得Sn+3=32n，即Sn=32n3，据此构造Sn1=32n13，分析可得数列an的通项公式，对于等比数列bn，设其公比为q，由题意可得b1+b2=b1（1+q）=3和b2+b3=b2（1+q）=b1q（1+q）=6，解可得b1=1，q=2，即可得数列bn的通项公式，由等比数列前n项和公式计算可得Tn的表达式，据此依次分析选项，即可得答案【解答】解：根据题意，对于数列

17、an，点（n，Sn+3）（nN*）在函数y=32x的图象上，则有Sn+3=32n，即Sn=32n3，；由可得：Sn1=32n13，可得：an=（32n3）（32n13）=32n1，（n2）n=1时，a1=S1=323=3，验证可得：n=1时，a1=3符合式；则an=32n1，对于等比数列bn，设其公比为q，等比数列bn满足bn+bn+1=an（nN*），n=1时，有b1+b2=b1（1+q）=3，n=2时，有b2+b3=b2（1+q）=b1q（1+q）=6，联立，解可得b1=1，q=2，则bn=2n1，则有Tn=2n1，据此分析选项：对于A、Sn=32n3=3（2n1），Tn=2n1，则有Sn

18、=3Tn，故A错误；对于B、Tn=2n1，bn=2n1，Tn=2bn1，故B错误；对于C、n=1时，T1=21=1，a1=320=3，Tnan不成立，故C错误；对于D、Tn=2n1，bn+1=2n，则有Tnbn+1，D正确；故选：D10已知函数f（x）是偶函数，f（x+1）是奇函数，且对任意的x1，x20，1，且x1x2，都有（x1x2）f（x1）f（x2）0，设a=f（），b=f（），c=f（），则下列结论正确的是（）AabcBbacCbcaDcab【考点】3N：奇偶性与单调性的综合【分析】根据题意，由函数的奇偶性性质分析可得f（x）=f（2+x），则有f（x）=f（x+4），可得函数f（x

19、）的周期为4，又由题意分析可得函数f（x）在区间0，1上为减函数，进而分析可得a=f（）=f（）=f（），b=f（）=f（）=f（）=f（），c=f（）=f（）=f（），结合单调性，即可得答案【解答】解：根据题意，f（x+1）是奇函数，则函数f（x）的图象关于点（1，0）对称，则有f（x）=f（2+x），又由函数f（x）是偶函数，则f（x）=f（x），则f（x）=f（2+x），则有f（x）=f（x+4），即函数f（x）的周期为4，则a=f（）=f（）=f（），b=f（）=f（）=f（）=f（），c=f（）=f（）=f（），对任意的x1，x20，1，且x1x2，都有（x1x2）f（x1）f（x2

20、）0，即函数f（x）在区间0，1上为减函数，又由，则有bac；故选：B11已知实数x，y满足条件，若x2+2y2m恒成立，则实数m的最大值为（）A5BCD【考点】7C：简单线性规划【分析】利用换元法将不等式进行转化，结合点到直线的距离公式进行求解即可【解答】解：设a=x，b=y，则不等式x2+2y2m等价为a2+b2m，则实数x，y满足条件等价为，作出不等式组对应的平面区域如图：设z=a2+b2，则z的几何意义是区域内的点到原点的距离，由图象知O到直线2a+b=4的距离最小，此时原点到直线的距离d=，则z=d2=，即m，即实数m的最大值为，故选：D12已知点P在抛物线y2=x上，点Q在圆（x+

21、）2+（y4）2=1上，则|PQ|的最小值为（）ABCD【考点】K8：抛物线的简单性质【分析】设P点坐标，求得圆心与半径，根据两点之间的距离公式，求得丨PC丨，根据函数的单调性，即可求得丨PC丨的最小值，则丨PQ丨min=丨PC丨minr，即可求得答案【解答】解：点P在抛物线y2=x上，设P（t2，t），圆（x+）2+（y4）2=1的圆心C（，4），半径r=1，|PC|2=（t2+）2+（t4）2，=t4+2t28t+，设f（t）=t4+2t28t+，f（t）=4t3+4t8，f（t）=12t2+40恒成立，f（t）在R上单调递增，当f（t）=0，解得：t=1，f（t）在（，1）单调递减，在（

22、1，+）单调递增，当t=1时，取最小值，最小值为，丨PC丨的最小值为，则丨PQ丨的最小值为：丨PQ丨min=丨PC丨minr=1，|PQ|的最小值1，故选A二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13现采取随机模拟的方法估计某运动员射击击中目标的概率先由计算器给出0到9之间取整数的随机数，指定0，1，2，3表示没有击中目标，4，5，6，7，8，9表示集中目标，以4个随机数为一组，代表射击4次的结果，经随机模拟产生了20组如下的随机数：7527 0293 7140 9857 0347 4373 8636 6947 1417 46980371 6233 2616 8045 6011 36

23、61 9597 7424 7610 4281根据以上数据估计该运动员射击四次至少击中三次的概率为：0.4【考点】CB：古典概型及其概率计算公式【分析】该运动员射击四次至少击中三次包括四次全中和四次中有三次击中两种情况，利用列举法求出20组随机数中，满足四次全中和四次中有三次击中的基本事件，由此能估计该运动员射击四次至少击中三次的概率【解答】解：该运动员射击四次至少击中三次包括四次全中和四次中有三次击中两种情况，20组随机数中，满足四次全中和四次中有三次击中的有：7527，9857，8636，6947，4698，8045，9597，7424，共8个，估计该运动员射击四次至少击中三次的概率：p=故

24、答案为：0.414 =【考点】67：定积分【分析】根据定积分的计算法则和定积分的几何意义计算即可【解答】解： dx表示以原点为圆心以1为半径的圆的面积的一半，即dx=，sinxdx=cosx|=0，故=，故答案为：15在ABC中，AB=2，AC=3，BAC=90，点D在AB上，点E在CD上，且ACB=DBE=DEB，则DC=【考点】HT：三角形中的几何计算【分析】如图所示，过点E，做EFAB，垂足为F，设BD=x，ACB=DBE=DEB=，先求出tan=，再求出tan2，根据两直线平行可得=，求出x的在值，再根据勾股定理求出答案【解答】解：如图所示，过点E，做EFAB，垂足为F，设BD=x，A

25、CB=DBE=DEB=，AB=2，AC=3，BAC=90，tan=，DBE=DEB=EDF=DBE+DEB=2，tan2=，在RtEFD中，EF=xsin2，DF=xcos2EFAC，=，=，解得x=，AD=2x=，CD=，故答案为：16已知过点A（2，0）的直线与x=2相交于点C，过点B（2，0）的直线与x=2相交于点D，若直线CD与圆x2+y2=4相切，则直线AC与BD的交点M的轨迹方程为+y2=1（x2）【考点】J3：轨迹方程【分析】设C（2，y1），D（2，y2），求出直线CD的方程，根据切线的性质得出y1y2=4，设M（x0，y0），用M点坐标表示出y1，y2，代入y1y2=4得出轨

26、迹方程【解答】解：设C（2，y1），D（2，y2），则直线CD的方程为yy1=（x2），即（y1y2）x4y+2（y1+y2）=0，直线CD与圆x2+y2=4相切，=2，整理得y1y2=4设M（x0，y0），则直线AM的方程为y=（x+2），令x=2得y=，即y1=，同理得y2=，y1y2=4=4，即x02+4y02=4，即+y02=1M的轨迹方程为： =1（x2）故答案为： =1（x2）三、解答题：本大题共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17已知=（sin，cos， =（cos，cos），f（x）=（1）若函数f（x）的最小正周期和单调递增区间；（2）若a，b，c分别是ABC

27、的内角A，B，C所对的边，且a=2，（2ab）cosC=ccosB，求c【考点】GL：三角函数中的恒等变换应用；H2：正弦函数的图象【分析】（1）根据f（x）=向量的运算，求出f（x）的解析式，即可求函数f（x）的最小正周期和单调递增区间（2）利用正弦函数化简（2ab）cosC=ccosB，根据，求出角A，正弦定理求出c【解答】解：（1）=（sin，cos， =（cos，cos），f（x）=，f（x）的最小正周期T=3，令，kZ，得：，f（x）的单调递增区间为（kZ）；（2）（2ab）cosC=ccosB，由正弦定理，得：2sinAcosC=sinBcosC+cosBsinC=sinA，0A，

28、0CsinA0，又，即，kZ，正弦定理，可得：18网购是当前民众购物的新方式，某公司为改进营销方式，随机调查了100名市民，统计其周平均网购的次数，并整理得到如下的频数分布直方图这100名市民中，年龄不超过40岁的有65人将所抽样本中周平均网购次数不小于4次的市民称为网购迷，且已知其中有5名市民的年龄超过40岁（1）根据已知条件完成下面的22列联表，能否在犯错误的概率不超过0.10的前提下认为网购迷与年龄不超过40岁有关？网购迷非网购迷合计年龄不超过40岁年龄超过40岁合计（2）若从网购迷中任意选取2名，求其中年龄丑啊过40岁的市民人数的分布列与期望附：；P（K2k0）0.150.100.05

29、0.01k02.0722.7063.8416.635【考点】BO：独立性检验的应用；B8：频率分布直方图【分析】（1）由题意填写列联表，计算观测值，对照临界值得出结论；（2）由频率分布直方图，结合题意知的所有取值，计算对应的概率，写出分布列，计算数学期望值【解答】解：（1）由题意可得列联表如下：网购迷非网购迷合计年龄不超过40岁204565年龄超过40岁53035合计2575100假设网购迷与年龄不超过40岁没有关系，则3.2972.706，所以可以在犯错误的概率不超过0.10的前提下认为网购迷与年龄不超过40岁有关；（2）由频率分布直方图可知，网购迷共有25名，由题意得年龄超过40的市民人数

30、的所有取值为0，1，2，的分布列为012P数学期望值为19如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，侧面ACC1A1底面ABC，A1AC=60，AC=2AA1=4，点D，E分别是AA1，BC的中点（1）证明：DE平面A1B1C；（2）若AB=2，BAC=60，求直线DE与平面ABB1A1所成角的正弦值【考点】MI：直线与平面所成的角；LS：直线与平面平行的判定【分析】（1）取AC的中点F，连接DF，EF，由E是BC的中点，利用三角形中位线定理可得EFAB，再利用三棱柱的性质、线面平行的判定定理可得：EF平面A1B1C，DF平面A1B1C，可得平面DEF平面A1B1C，即可证明DE平面A1B1C（2）

31、过点A1作A1OAC，垂足为O，连接OB，利用面面垂直的性质定理可得：A1O平面ABC，A1OOB，A1OOC利用余弦定理得，OB2=OA2+AB22OAABcosBAC=3，可得，进而得到OBAC分别以OB，OC，OA1为x轴，y轴，z轴，建立如图的空间直角坐标系Oxyz，利用平面法向量的夹角公式即可得出【解答】（1）证明：取AC的中点F，连接DF，EF，E是BC的中点，EFAB，ABCA1B1C1是三棱柱，ABA1B1，EFA1B1，EF平面A1B1C，D是AA1的中点，DFA1C，DF平面A1B1C，又EFDE=E，平面DEF平面A1B1C，DE平面A1B1C；（2）解：过点A1作A1O

32、AC，垂足为O，连接OB，侧面ACC1A底面ABC，A1O平面ABC，A1OOB，A1OOC，A1AC=60，AA1=2，OA=1，AB=2，OAB=60，由余弦定理得，OB2=OA2+AB22OAABcosBAC=3，AOB=90，OBAC，分别以OB，OC，OA1为x轴，y轴，z轴，建立如图的空间直角坐标系Oxyz，由题设可得A（0，1，0），C（0，3，0），设是平面ABB1A1的一个法向量，则，令z1=1，=，直线DE与平面ABB1A1所成角的正弦值为20已知动点C到点F（1，0）的距离比到直线x=2的距离小1，动点C的轨迹为E（1）求曲线E的方程；（2）若直线l：y=kx+m（km0

33、）与曲线E相交于A，B两个不同点，且，证明：直线l经过一个定点【考点】K8：抛物线的简单性质；J3：轨迹方程【分析】（1）根据抛物线的定义，即可求得曲线E的方程；（2）设直线l的方程，代入抛物线方程，利用韦达定理及向量数量积的坐标运算，求得m=5k，即可求得直线l的方程，则直线l必经过定点（5，0）【解答】解：（1）由题意可得动点C到点F（1，0）的距离等于到直线x=1的距离，曲线E是以点（1，0）为焦点，直线x=1为准线的抛物线，设其方程为y2=2px（p0），p=2，动点C的轨迹E的方程为y2=4x；（2）证明：设A（x1，y1），B（x2，y2），由，整理得k2x2+（2km4）x+m2

34、=0，x1x2+y1y2=，m2+4km5k2=0，m=k或m=5k，又km0，m=k舍去，m=5k，满足=16（1km）0，则直线l的方程为y=k（x5），直线l必经过定点（5，0）21已知函数f（x）=x22x+1，g（x）=2aln（x1）（aR）（1）求函数h（x）=f（x）g（x）的极值；（2）当a0时，若存在实数k，m使得不等式g（x）kx+mf（x）恒成立，求实数a的取值范围【考点】6E：利用导数求闭区间上函数的最值；6D：利用导数研究函数的极值【分析】（1）求出h（x），得出导函数，对参数a分类讨论即可；（2）结合（1）的讨论，当a0时，有（1）知，h（x）在上递减，在上递增，且有极小值，构造函数， =，对参数a分类讨论即可【解答】解：（1）由题意得h（x）=（x1）22aln（x1），x1，当a0时，则h（x）0，此时h（x）无极值；当a0