第4章_运筹学课件线性规划的应用.ppt

1、线 性 规 划应用,Linear Programming,一般而言，一个经济、管理问题凡是满足以下条件时，才能建立线性规划模型。,.要求解问题的目标函数能用数值指标来反映，且为线性函数；,.存在着多种方案；,.要求达到的目标是在一定条件下实现的，这些约束可用线性等式或不等式描述。,建模步骤：, 第一步：设置要求解的决策变量。决策变量选取得当，不仅能顺利地建立模型而且能方便地求解，否则很可能事倍功半。, 第二步：找出所有的限制，即约束条件，并用决策变量的线性方程或线性不等式来表示。当限制条件多，背景比较复杂时，可以采用图示或表格形式列出所有的已知数据和信息，以避免“遗漏”或“重复”所造成的错误。

2、, 第三步：明确目标要求，并用决策变量的线性函数来表示，确定对函数是取极大还是取极小的要求。 决策变量的非负要求可以根据问题的实际意义加以确定。,3.2 生产计划的问题,3.1 人力资源分配的问题,3.3 套裁下料问题,3.4 配料问题,3.5 投资问题,例1某昼夜服务的公交线路每天各时间段内所需司机和乘务人员数如下页所示，设司机和乘务人员分别在各时间段一开始时上班，并连续工作八小时，问该公交线路怎样安排司机和乘务人员，既能满足工作需要，又配备最少司机和乘务人员?,解：设 xi 表示第i班次时开始上班的司机和乘务人员数,这样我们建立如下的数学模型。,例2一家中型的百货商场，它对售货员的需求经过

3、统计分析如下表所示。为了保证售货人员充分休息，售货人员每周工作5天，休息两天，并要求休息的两天是连续的。问应该如何安排售货人员的作息，既满足工作需要，又使配备的售货人员的人数最少？,解：设 xi ( i = 1,2,7)表示星期一至日开始休息的人数,则每一天工作的人数应为下一日开始休息的人员直至由下一日算起的第5个工作日，亦即非当日、前天休息的人员总和。,例3某公司面临一个是外包协作还是自行生产的问题。该公司生产甲、乙、丙三种产品，都需要经过铸造、机械加工和装配三个车间。甲、乙两种产品的铸件可以外包协作，亦可以自行生产，但产品丙必须本厂铸造才能保证质量。数据如下表所示。 问：公司为了获得最大利

4、润，甲、乙、丙三种产品各生产多少件？甲、乙两种产品的铸造中，由本公司铸造和由外包协作各应多少件？,解：设 x1,x2,x3 分别为三道工序都由本公司加工的甲、乙、丙三种产品的件数，x4,x5 分别为由外包协作铸造，再由本公司加工和装配的甲、乙两种产品的件数。 求 xi 的利润：利润=售价-各成本之和 产品甲全部自制的利润: 23-(3+2+3)=15,产品甲铸造外协，其余自制的利润: 23-(5+2+3)=13 产品乙全部自制的利润: 18-(5+1+2)=10 产品乙铸造外协，其余自制的利润: 18-(6+1+2)=9 产品丙的利润: 16-(4+3+2)=7 可得到 xi （i = 1,2

5、,3,4,5)的利润分别为 15、10、7、13、9 元。,通过以上分析,可建立如下的数学模型:,例4永久机械厂生产、三种产品，均要经过A、B两道工序加工。设有两种规格的设备A1、A2能完成 A 工序；有三种规格的设备B1、B2、B3能成 B 工序。可在A、B的任何规格的设备上加工； 可在任意规格的A设备上加工，但对B工序，只能在B1设备上加工；只能在A2与B2设备上加工。数据如表。 问：为使该厂获得最大利润，应如何制定产品加工方案？,解：设 xijk 表示第 i 种产品，在第 j 种工序上的第 k 种设备上加工的数量。建立如下的数学模型: 1、目标函数为计算利润最大化。 利润的计算公式为：

6、（销售单价 - 原料单价）* 产品件数 之和 -（每台时的设备费用*设备实际使用的总台时数）之和。 这样得到目标函数为：,经整理可得：,2、约束条件为：,例5某工厂要做100套钢架，每套用长为2.9 m,2.1 m,1.5 m的圆钢各一根。已知原料每根长7.4 m，问：应如何下料，可使所用原料最省？,解： 共可设计下列5 种下料方案， 见下表,设 x1,x2,x3,x4,x5 分别为上面 5 种方案下料的原材料根数。这样我们建立如下的数学模型。,生产中通过切割、剪裁、冲压等手段，将原材料加工成所需大小,原料下料问题,按照工艺要求，确定下料方案，使所用材料最省，或利润最大,附：,问题. 如何下料

7、最节省 ?,例1：,节省的标准是什么？,按照客户需要在一根原料钢管上安排切割的一种组合。,合理切割模式的余料应小于客户需要钢管的最小尺寸,钢管下料问题1：,切割模式,为满足客户需要，按照哪些种合理模式，每种模式切割多少根原料钢管，最为节省？,两 种 标 准,原料钢管剩余总余量最小 2. 所用原料钢管总根数最少,目标1（总余量最小）：,设xi 为按第i 种模式切割的原料钢管根数 (i=1,2,7),可得如下模型：,最优解 x2=12, x5=15, 其余为0最优值：27。,目标2（总根数最少）,最优解：x2=15, x5=5, x7=5, 其余为0； 最优值：25。,虽余料增加8米，但减少了2根

8、,注：当余料没有用处时，通常 以总根数最少为目标,xi 为整数,例2： 现要用10050厘米的板料裁剪出规格分别为4040 厘米与5020厘米的零件，前者需要25件，后者需要30件。问如何裁剪，才能最省料？,解：先设计几个裁剪方案, 记 A-4040; B-5020,显然，若只用其中一个方案，都不是最省料的方法。最佳方法应是三个方案的优化组合。设方案i使用原材料 xi 件(i=1,2,3)。共用原材料 f 件。则根据题意，可用如下数学式子表示：,这是一个整数线性规划模型。,最优解有四个：,min f =16.,按最优组合方案，只需16件原材料.,结 论,1、一维问题（如钢管下料）： 规格不太多

9、，可枚举下料模式，建立整数线性规划模型，否则要构造整数非线性规划模型，求解困难，可用缩小可行域的方法进行化简，但要保证最优解的存在。,例6某工厂要用三种原料1、2、3混合调配出三种不同规格的产品甲、乙、丙，数据如右表。问：该厂应如何安排生产，使利润收入为最大？,解：设xij表示第i种（甲、乙、丙）产品中原料j的含量。这样我们建立数学模型时，要考虑： 对 于 甲： x11，x12，x13； 对 于 乙： x21，x22，x23； 对 于 丙： x31，x32，x33； 对于原料1： x11，x21，x31； 对于原料2： x12，x22，x32； 对于原料3： x13，x23，x33；,目标函数

10、： 利润最大，利润 = 收入 - 原料支出 约束条件： 规格要求 4 个；供应量限制 3 个。 利润=总收入-总成本=甲乙丙三种产品的销售单价*产品数量-甲乙丙使用的原料单价*原料数量， 故可得目标函数如下： Max 50（x11+x12+x13）+35（x21+x22+x23） +25 （x31+x32+x33） -65（x11+x21+x31）- 25 （x12+x22+x32）-35（x13+x23+x33） = -15x11+25x12+15x13-30 x21+10 x22-40 x31-10 x33,从第1个表中可得如下约束条件： x110.5(x11+x12+x13) x120.

11、25(x11+x12+x13) x210.25(x21+x22+x23) x220.5(x21+x22+x23) 从第2个表中，生产甲乙丙的原材料不能超过原材料 的供应限额，故有 (x11+x21+x31)100 (x12+x22+x32)100 (x13+x23+x33)60,通过整理，得到以下模型： Max z = -15x11+25x12+15x13-30 x21+10 x22-40 x31-10 x33 s.t. 0.5 x11-0.5 x12 -0.5 x13 0 （原材料1不少于50%） -0.25x11+0.75x12 -0.25x13 0 （原材料2不超过25%） 0.75x2

12、1-0.25x22 -0.25x23 0 （原材料1不少于25%） -0.5 x21+0.5 x22 -0.5 x23 0 （原材料2不超过50%） x11+ x21 + x31 100 (供应量限制） x12+ x22 + x32 100 (供应量限制） x13+ x23 + x33 60 (供应量限制） xij 0 , i = 1,2,3; j = 1,2,3,例7.汽油混合问题。一种汽油的特性可用两种指标描述，用“辛烷数”来定量描述其点火特性，用“蒸汽压力”来定量描述其挥发性。某炼油厂有1、2、3、4种标准汽油，其特性和库存量列于表4-6中，将这四种标准汽油混合，可得到标号为1，2的两种

13、飞机汽油，这两种汽油的性能指标及产,这两种汽油的性能指标及产量需求列于表4-7中。问应如何根据库存情况适量混合各种标准汽油，既满足飞机汽油的性能指标，又使2号汽油满足需求，并使得1号汽油产量最高？,表4-6,表4-7,解：设xij为飞机汽油i中所用标准汽油j的数量(L)。 目标函数为飞机汽油1的总产量： 库存量约束为：,产量约束为飞机汽油2的产量： 由物理中的分压定律， 可得有关蒸汽压力的约束条件： 同样可得有关辛烷数的约束条件为：,综上所述，得该问题的数学模型为：,例8某部门现有资金200万元，今后五年内考虑给以下的项目投资。已知： 项目A：从第一年到第五年每年年初都可投资，当年末能收回本利

14、110%； 项目B：从第一年到第四年每年年初都可投资，次年末能收回本利125%，但规定每年最大投资额不能超过30万元；,项目C：需在第三年年初投资，第五年末能收回本利140%，但规定最大投资额不能超过80万元； 项目D：需在第二年年初投资，第五年末能收回本利155%，但规定最大投资额不能超过100万元。 据测定每万元每次投资的风险指数如右表,据测定每万元每次投资的风险指数如右表：,问：a）应如何确定这些项目的每年投资额，使得第五年年末拥有资金的本利金额为最大？,b）应如何确定这些项目的每年投资额，使得第五年年末拥有资金的本利在330万元的基础上使得其投资总的风险系数为最小？,解：1）确定决策变

15、量：连续投资问题 设 xij ( i = 15，j = 14)表示第 i 年初投资于A(j=1)、B(j=2)、C(j=3)、D(j=4)项目的金额。这样我们建立如下的决策变量： A x11 x21 x31 x41 x51 B x12 x22 x32 x42 C x33 D x24,2）约束条件： 第一年：A当年末可收回投资，故第一年年初应把全部资金投出去，于是 有： x11+ x12 = 200 第二年：B次年末才可收回投资，故第二年年初有资金1.1 x11，于是有： x21 + x22+ x24 = 1.1x11 第三年：年初有资金 1.1x21+ 1.25x12，于是有： x31 + x32+ x33 = 1.1x21+ 1.25x12,第四年：年初有资金 1.1x31+ 1.25x22，于是有： x41 + x42 = 1.1x31+ 1.25x22； 第五年：年初有资金 1.1x41+ 1.25x32，于是有： x51 = 1.1x41+ 1.25x32； B、C、D的投资限制： xi2 30 ( i =1、2、3、4 ) x33 80 x24 100,3）目标函数及模型： a) Max z = 1.1x51+ 1.25x42+ 1.4x33 + 1.55x24 s.t. x11+ x12 = 200 x21 + x22+ x24 = 1.1x11； x31 + x