第4章 振动系统的运动微分方程PPT参考课件.ppt

1、,返回总目录,第4章 振动系统的运动微分方程,振动理论与应用,Theory of Vibration with Applications,1,返回首页,第4章 振动系统的运动微分方程,目录,Theory of Vibration with Applications,4.1 牛顿定律和普遍定理 4.2 拉格朗日（Lagrange）运动方程 4.3 刚度影响系数 作用力方程 4.4 柔度影响系数 位移方程,2,返回首页,Theory of Vibration with Applications,第4章 振动系统的运动微分方程,4.1 牛顿定律和普遍定理,3,天津大学,返回首页,Theory of

2、Vibration with Applications,4.1 牛顿定律和普遍定理,4.1.1 质点的运动微分方程 4.1.2 质点系动能定理的微分形式 4.1.3 刚体平面运动微分方程 4.1.4 普遍定理的综合应用,4,返回首页,Theory of Vibration with Applications,4.1 牛顿定律和普遍定理,4.1.1 质点的运动微分方程,牛顿第二定律，质点在惯性坐标系中的运动微分方程有以下几种形式,5,返回首页,Theory of Vibration with Applications,4.1 牛顿定律和普遍定理,4.1.2 质点系动能定理的微分形式,设质点系由n

3、个质点组成，其在理想约束的条件下，质点系动能的微分等于作用在质点系的主动力的元功之和。有,其中,表示作用在质点系上主动力的元功,表示质点系动能的微分,6,返回首页,Theory of Vibration with Applications,4.1 牛顿定律和普遍定理,4.1.3 刚体平面运动微分方程,刚体的平面运动可简化为具有相同质量的平面图形在固定平面内的运动。 应用质心运动定理和相对质心动量矩定理得,上式称为刚体平面运动微分方程。 应用以上方程可求解平面运动刚体动力学的两类问题 。,7,返回首页,Theory of Vibration with Applications,4.1 牛顿定律和

4、普遍定理,4.1.4 普遍定理的综合应用,动量定理、动量矩定理、动能定理从不同的角度建立 了质点系的运动变化与其受力之间的关系，称为质系的 普遍定理。 各个定理都是从不同的方面提出了建立运动微分方程 的方法，从而为解决动力学的基本问题提供了依据。,8,返回首页,Theory of Vibration with Applications,4.1 牛顿定律和普遍定理,4.1.4 普遍定理的综合应用,解：系统具有一个自由度，建立广义坐标x，坐标原点位于 弹簧具有静伸长时圆盘中心的静平衡位置，坐标正方向如 图中所示。 x取任意值时，系统的动能为,例4-2无重量不可伸长的细绳绕过质量为m、半径R为的均质

5、圆盘。弹簧刚度为k，与细绳相连，如图所示，列写该系统的运动微分方程。,9,返回首页,Theory of Vibration with Applications,4.1 牛顿定律和普遍定理,4.1.4 普遍定理的综合应用,x取任意值时，系统的动能为,设初始条件为,在有限路程中主动力的功为,10,返回首页,Theory of Vibration with Applications,4.1 牛顿定律和普遍定理,4.1.4 普遍定理的综合应用,在有限路程中主动力的功为,由动能定理的积分形式,两边对时间求导数,注意到在静平衡位置满足,所以微分方程为,11,返回首页,Theory of Vibration

6、 with Applications,例4-4 图示系统中，半径为 r 的均匀圆盘在槽内作不滑动的滚动。已知圆盘质量为 m ，槽的半径为R。建立系统的运动方程。,其中， 为圆盘的角速度，IA = mr2/2是圆盘对质心的转动惯量。,图4-4圆盘微幅振动,解：若选择 为广义坐标，则系统微幅振动时的动能为,圆盘作不滑动的滚动时，存在有,4.1 牛顿定律和普遍定理,4.1.4 普遍定理的综合应用,12,返回首页,Theory of Vibration with Applications,系统的势能,系统微幅振动时的运动方程,由动能定理的积分形式,两边对时间求导数,4.1 牛顿定律和普遍定理,4.1.

7、4 普遍定理的综合应用,13,返回首页,Theory of Vibration with Applications,第4章 振动系统的运动微分方程,4.2 拉格朗日运动方程,14,返回首页,Theory of Vibration with Applications,4.2 拉格朗日（Lagrange）运动方程,4.2.1 虚位移原理 4.2.2 达朗贝尔（DAlembert）原理 4.2.3 完整的保守系统的拉格朗日运动方程 4.2.4 完整的非保守系统的拉格朗日运动方程,15,返回首页,Theory of Vibration with Applications,4.2 拉格朗日（Lagran

8、ge）运动方程,4.2.1 虚位移原理,虚位移原理是分析非自由质点系平衡的最普遍的原理。 虚位移原理可表述为：具有理想约束的质点系，在给 定位置保持平衡的必要和充分条件是：所有作用于该 质点系上的主动力在任何虚位移中所作的虚功之和等 于零。即,虚功方程,16,返回首页,Theory of Vibration with Applications,4.2 拉格朗日（Lagrange）运动方程,4.2.1 虚位移原理,质点Mi上的主动力和虚位移分别用Fi和ri表示，虚位移原 理的矢量表达式为,在直角坐标系的投影表达式为,虚功方程,17,返回首页,Theory of Vibration with Ap

9、plications,4.2 拉格朗日（Lagrange）运动方程,4.2.2 达朗贝尔（DAlembert）原理,根据虚功原理，可以得出达朗贝尔原理的另一种叙述方式： 在具有理想约束的质点系中，在任一瞬时，作用于各质点上 的主动力和虚加的惯性力在任一虚位移上所作虚功之和等于 零。这就是动力学普遍方程，即,18,返回首页,Theory of Vibration with Applications,4.2 拉格朗日（Lagrange）运动方程,4.2.3 完整的保守系统的拉格朗日运动方程,拉格朗日方程提供了解决有限自由度完整系统运动的一个普遍的简单而又统一的方法。,在t1与t2区间的虚位移qi是

10、任意的，而且qi彼此独立的。因此，得到著名的拉格朗日方程,19,返回首页,Theory of Vibration with Applications,4.2 拉格朗日（Lagrange）运动方程,4.2.4 完整的保守系统的拉格朗日运动方程,图4-5摆振系统,例4-5 图示系统，摆的支点在水平方向受到弹性约束，其总刚度为k，摆的质量为m，摆长为l。试用拉格朗日方程求出系统的运动方程。,解： （1）选择x及 为广义坐标。 （2）动能及势能,动能：,势能：,（3）广义外力为零,20,返回首页,Theory of Vibration with Applications,4.2 拉格朗日（Lagran

11、ge）运动方程,4.2.4 完整的保守系统的拉格朗日运动方程,（4）运动方程,这就是摆的运动方程。 当微幅振动时，取cos 1，sin = 0，并可略去高阶项， 则可简化为,两式相减得到,得到运动方程,图4-5摆振系统,21,返回首页,Theory of Vibration with Applications,4.2 拉格朗日（Lagrange）运动方程,4.2.4 完整的保守系统的拉格朗日运动方程,解：取刚体质心O点偏离平衡位置的x、y和 刚体绕质心的转角为广义坐标，即,图4-6刚体微幅运动,例4-6 图示的刚体由四根拉伸弹簧支承，被限制在图示平面内运动。图示位置为平衡位置。且质量为m，转动

12、惯量IO。试导出微幅运动微分方程。,并且四根弹簧端点的坐标分别为,22,返回首页,Theory of Vibration with Applications,4.2 拉格朗日（Lagrange）运动方程,4.2.4 完整的保守系统的拉格朗日运动方程,图4-6刚体微幅运动,系统的动能为,系统的势能为,计算拉格朗日方程中各项导数,拉格朗日方程,23,返回首页,Theory of Vibration with Applications,4.2 拉格朗日（Lagrange）运动方程,4.2.4 完整的保守系统的拉格朗日运动方程,代入拉格朗日方程，得系统运动微分方程为,图4-6刚体微幅运动,24,返回首

13、页,Theory of Vibration with Applications,4.2 拉格朗日（Lagrange）运动方程,4.2.5 完整的非保守系统的拉格朗日运动方程,由于虚位移是任意的 ，且互相是独立的。,这就是具有瑞莱散逸函数的非保守系统的拉格朗日运动 方程的标准形式。,因此，有,25,返回首页,Theory of Vibration with Applications,第4章 振动系统的运动微分方程,4.3 刚度影响系数 作用力方程,26,返回首页,Theory of Vibration with Applications,4.3 刚度影响系数 作用力方程,一般情况下，n个自由度无

14、阻尼系统的自由振动的运动微分 方程具有以下形式,若用矩阵表示，则可写成,式中分别是系统的坐标矢量和加速度矢量,0,方程中各项均为力的量纲，因此，称之为作用力方程。,27,返回首页,Theory of Vibration with Applications,4.3 刚度影响系数 作用力方程,质量矩阵,刚度矩阵,28,返回首页,Theory of Vibration with Applications,4.3 刚度影响系数 作用力方程,刚度矩阵中的元素称刚度影响系数(在单自由度系统中，简称 弹性常数)。它表示系统单位变形所需的作用力。具体地说， 如果使第j个质量沿其坐标方向产生单位位移，沿其它质量

15、的 坐标方向施加作用力而使它们保持不动，则沿第i个质量坐标 方向施加的力，定义为刚度影响系数kij；在第j个质量坐标方 向上施加的力称刚度影响系数kjj 。由刚度影响系数的物理意 义，可直接写出刚度矩阵，从而建立作用力方程，这种方法 称为影响系数法。,刚度矩阵,29,返回首页,Theory of Vibration with Applications,4.3 刚度影响系数 作用力方程,现分析求出图所示的三自由度系统的刚度矩阵。,画出各物块的受力图根据平衡条件，有,首先令,在此条件下系统保持平衡，按定义需加于三物块的力,30,返回首页,Theory of Vibration with Appli

16、cations,4.3 刚度影响系数 作用力方程,画出受力图，则有,同理，令,画出受力图，有,最后令,31,返回首页,Theory of Vibration with Applications,4.3 刚度影响系数 作用力方程,因此刚度矩阵为,刚度矩阵一般是对称的。 实际上任何多自由度线性系统都具有这个性质。即,32,返回首页,Theory of Vibration with Applications,第4章 振动系统的运动微分方程,4.4 柔度影响系数 位移方程,33,返回首页,Theory of Vibration with Applications,4.4 柔度影响系数 位移方程,在单自

17、由度的弹簧质量系统中，若弹簧常数是k，则 就是物块上作用单位力时弹簧的变形，称柔度影响系数，用 表示。,具体地说，仅在第j个质量的坐标方向上受到单位力作用时相应于在第i个质量的坐标方向上产生的位移，即定义为 。,n自由度系统的柔度矩阵 为n阶方阵，其元素 称为柔度影响系数，表示单位力产生的位移。,34,返回首页,Theory of Vibration with Applications,4.4 柔度影响系数 位移方程,现分析求出图所示的三自由度系统的柔度影响系数。,当受到F1作用后，第一个弹簧的变形为 ，第二和第三个弹簧的变形为零。,首先施加单位力,这时三物块所产生的静位移分别是,所以三物块的

18、位移都是,35,返回首页,Theory of Vibration with Applications,4.4 柔度影响系数 位移方程,第三个弹簧不受力，故其变形为零。因此有,令,第一和第二弹簧均受单位拉力，其变形分别为,36,返回首页,Theory of Vibration with Applications,4.4 柔度影响系数 位移方程,再令,可得到,系统的柔度矩阵为,37,返回首页,Theory of Vibration with Applications,4.4 柔度影响系数 位移方程,柔度矩阵一般也是对称的。 实际上任何多自由度线性系统都具有这个性质。即,系统的柔度矩阵为,38,返回

19、首页,Theory of Vibration with Applications,4.4 柔度影响系数 位移方程,对于图所示的系统，也可用柔度影响系数来建立其运动微分方程。,系统运动时，质量的惯性力使弹簧产生变形,应用叠加原理可得到,39,返回首页,Theory of Vibration with Applications,4.4 柔度影响系数 位移方程,写成矩阵形式,位移方程,是非奇异的，即 的逆矩阵存在,与作用力方程比较,40,即当刚度矩阵是非奇异时，刚度矩阵与柔度矩阵互为逆矩阵； 当刚度矩阵是奇异时，不存在逆矩阵即无柔度矩阵。 此时系统的平衡位置有无限多或者说它有刚体运动。 如图示系统具有刚体运动，柔度矩阵不存在。,返回首页,Theory of Vibration with Applications,4.4 柔度影响系数 位移方程,柔度矩阵与刚度矩阵之间的关系,41,返回首页,Theory of Vibration with Applications,4.4 柔度影响系数 位移方程,例4-7 试写出图所示刚体AB的刚度矩阵并建立系统的运动微分方程。,解：刚体AB在图面内的位置可以由其质心C的坐标yC(以水平位置O为坐标原点，且水平运动不计)和绕C的转角 确定。,42,返回首页,Theory of Vibrati