量子力学与统计力学课件第7章

1、1,第七章自旋与全同粒子,薛定谔方程能解释的微观现象:,1.计算谐振子的能级； 2.计算氢原子的能级； 3.计算粒子被势场散射时的散射截面； 4.计算原子对光的吸收和发射。,薛定谔方程的局限性:,1.未考虑粒子的自旋特征不能解释赛曼效应； 2.处理单粒子体系容易不能处理多粒子体系。,本章将自旋引入量子力学理论，并讨论多粒子体系的特性,2,多粒子体系复杂，薛定谔方程不能直接求解。,碱原子光谱的双线结构,有些物理现象必须引入自旋角动量概念才能给予解释，例如：,1.角动量,尽可能多的了解多粒子体系的知识和信息，如：角动量和对称性等知识。,采用逐级近似的方法,钠原子光谱,3,反常塞曼(Zeeman)效

2、应：,1912 年，Passhen 和 Back 发现反常塞曼效应在弱磁场中原子光谱线的复杂分裂现象（能级分裂成偶数条子能级，例如钠光谱线D14条，D26条）,对称性中有一类为置换对称性，如全同粒子体系中，相互置换任意两个粒子，体系的哈密顿不变，这是研究全同粒子体系的基础，基本原理是全同性原理。共价键理论，光谱理论，超导超流理论，夸克与核力问题等都是建立在全同性原理的基础上。,自旋与全同粒子是研究多体问题的基础，非常重要。,2.对称性,4,7.1 电子自旋 7.2 电子自旋算符与自旋波函数 7.4 两个角动量的耦合 7.5 光谱的精细结构 7.6 全同粒子的性质 7.7 全同粒子系统的波函数

3、泡利原理 7.8 两个电子的波函数,本章主要研究内容,5,学习要求：,1.掌握电子的自旋特性，自旋算符及自旋波函数； 2.掌握全同粒子特性，泡利原理，双电子自旋波函数； 3.理解两个角动量的耦合； 4.理解光谱的精细结构； 5.了解简单塞曼效应及氦原子（微扰法）。,重点及难点：,1.重点是电子自旋的存在、自旋角动量算符（自旋角动量算符的本征值、泡利矩阵、 自旋角动量z分量算符的本征矢。难点为电子自旋的含义的正确理解和具体性质及关系，以及角动量的合成）。 2.电子的自旋的内禀性，泡利矩阵，据此讨论自旋算符及自旋波函数。,6, 7.1电子自旋,一、Stern-Gerlach实验 电子具有自旋的实验

4、证明,现象：一条谱线分裂成两条！,薛定谔方程解释不了原子光谱的双线结构问题。,由K射出的处于s态的氢原子束,通过BB狭缝,不均匀磁场N-S,射到照相片PP上,7,结论：,1.氢原子具有磁矩，故原子束通过非均匀磁场时受到力的作用发生偏转； 2.只有两条分立线表明原子的磁矩中磁场中只有两种取向，磁矩是量子化的。,讨论：,基态氢原子在非均匀磁场中,基态氢原子势能：,原子所受的力：,原子磁矩,外磁场,磁矩和外磁场间的夹角,问题：M 是什么磁矩？,8,若原子磁矩可取任何方向,照相片上应是连续带,因实验中用的射线是s态的氢原子，角动量l=0，原子无角动量,无轨道磁矩,原子具有的磁矩是电子固有的磁矩，即自旋

5、磁矩,但实验结果中仅有两条分立线,原子光谱的精细结构也得出电子具有自旋的结论 ： 对应于钠原子2p1s的跃迁存在两条彼此很靠近的两条谱线 只有用电子自旋才能解释,9,二、乌仑贝克-哥德斯密脱假设（1925年提出）,（1）每个电子具有自旋角动量 ，它在空间任意方向投影的取值仅两个 。,（SI）,（CGS）,（2）每个电子具有自旋磁矩 ，它与自旋角动量的关系是,(2),(1),电子电荷,电子质量,10,在任意方向上的投影仅两个,波尔磁子,(3),电子自旋磁矩和自旋角动量之比电子自旋的回旋磁比率：,（SI）,（CGS）,(4),11,（SI）,（CGS）,自旋回转磁矩是轨道回转磁矩的两倍,（SI）,

6、（CGS）,而轨道磁矩与轨道角动量的关系：,(5),轨道运动的回转磁比率：,12,自旋应用：,自旋电子学（集合磁学、半导体、光学、电子学、量子计算等）应用： 自旋场效应晶体管、自旋发光二极管等。 巨磁电阻（ GMR ）：硬磁盘读出磁头、磁性随机存储器（MRAM）和磁敏传感器。计算机信息存储技术进入了GMR时代。计算机硬盘在GMR读出头的推动下，其记录密度从60Mbits/in2发展到100Gbits/in2，提高近1500倍；而每Mbits的费用从10美元下降到0.08美元。,13,G. 乌伦贝克（UHLENBECK，Georg Eugen）美籍荷兰物理学家，1900年12月6日生于巴达维亚，

7、在乌德勒支和安阿伯当大学教授。1925年他与S.A.古德史密特，共同提出电子具有内生旋转自旋。1927年他又发表“Over statistische methoden in de theorie der guanta”，1964年，他与S.A.古德史密特一起获德国物理学会颁发的普朗克勋章。,S. A. 古德史密特（GOUDSMIT，Samuel Abraham）荷兰血统的美国物理学家，生于1902年7月11日，卒于1978年12月4日。1928到1941年，他在密歇根大学任教；1941到1946年，在麻省技术研究所工作；1948年后，在布鲁克黑文国家实验室工作，特别是从事原子光谱结构研究。,1

8、925年，他与G.乌伦贝克一起，将电子自旋引入量子理论。这个概念的重要性远远超过发现者的预料。19441945年，他是盟军调查德国原子能研究计划秘密代表团“Alsos”的领导人。1964年，德国物理协会授予他普朗克勋章。,14, 7.2 电子的自旋算符和自旋函数,一、概述：,1.电子具有自旋角动量 是一个力学量（具有量子特性） 与电子的坐标和动量无关 电子内部状态的表征，是描写电子状态的第四个变量,2.自旋角动量算符,为了描述电子的自旋特性，引入一个厄米算符 来表征电子的自旋角动量 。,说明：自旋角动量是电子内部的一种固有特性，和坐标、动量无关，在经典理论中没有对应量，也不同于一般的力学量（可

9、表示为坐标和动量的函数），它不能用 描述。,15,是自旋角动量，应满足角动量算符的普遍对易关系,3.自旋角动量平方算符 与自旋量子数,(1),写成分量形式,(2),16,由于在空间任意方向上的投影只有两个取值,因此旋角动量平方算符 的本征值：,即,、 、 的本征值都是,(3),(4),s为自旋量子数,将自旋角动量本征值表示为角动量本征值的一般形式:,(5),17,二、 算符,为讨论问题方便，引入算符,(6),(7),对易关系,(8),(9),18,本征值,的本征值都是,反对易关系,(10),(11),(11)式证明：,(12),(13),19,三、自旋算符的矩阵表示,写成矩阵形式，为二行一列矩

10、阵,1.泡利矩阵,首先考虑电子的自旋如何中态函数中得到反映：,电子的波函数可写为（包含描写自旋态的自旋变量）：,(14),(15),20,电子处于 自旋态时，,电子处于 自旋态时，,(16),(17),求泡利矩阵,故可设,(18),即：,21,展开有,a=1，c=0,(20),同理,b=0，d=-1,(21),因此,(22),在 所描写的态中， 有确定的值 ，故 是 的本征态，对应的本征值,(19),22,由对易关系，及（3）式有,自旋算符矩阵表示,(23),由,泡利矩阵,(24),23,物理意义：,2.自旋波函数：,电子波函数,的归一化条件：,由波函数定义的几率密度为：,t时刻、在(x,y,

11、z)点周围单位体积能找到电子的几率。,24,在一般情况下，自旋和轨道运动之间有相互作用，因而电子的自旋状态对轨道运动有影响，这通过 中的 和 是 的不同函数来体现。,当电子的自旋和轨道运动相互作用小到可以忽略时， 和 对空间位置的依赖关系是一样的，这时可引入自旋函数 （描述电子自旋状态，也叫自旋波函数）,(25),自旋算符仅对波函数中的自旋函数有作用,25,自旋函数,(26),(27),自旋函数的正交归一性：,26,对自旋求平均,对坐标和自旋同时求平均,(28),(29),(30),任一算符 的平均值,27,W. 泡利（PAULI，WolfSang）奥地利-德国-瑞士物理学家，1900年12月

12、4日生于维也纳，1958年12月15日卒于苏黎世。他是慕尼黑的A。索末菲的第五期学生，当时他为百科全书数学卷写过一篇相对论概要文章。1921年，在他的博士论文中，证明了当时量子论中的错误。他在与W。海森伯，M。玻恩和N。玻尔等人的讨论中，对矩阵力学作出了贡献。1926年初，他将这种新理论成功地用于氢原子问题。1924年，他发现不相容原理（泡利原理），为此，他在1945年获诺贝尔奖。,同年，他假设了核自旋的存在以解释超精细结构。1927年，他建立了非相对论性包括自旋的电子的场方程；在以后的几年中，与海森伯一起对量子场论作出了开创性的贡献。此后，他在哥廷根、哥本哈根和汉堡工作，1928年，他作为一

13、名教授回到苏黎世。1930年，他提出中微子假设。从1940年到1945年他在联合国工作期间，他特别关心介子理论。1946年，他又回到苏黎世，主要从事量子场论和粒子物理研究工作，1953年，与海森伯一同开始讨论物质的统一场论（Weltformel），获得很好发展。泡利对他所处时代的物理学有很大的影响力。由于他对科学认识的深刻分析以及对模糊问题的批判，泡利被公认为“物理学的良知”。,28, 7.4 两个角动量的耦合,一、对易关系,和 是相互独立的，因而 的分量和 的分量都是可对易的：,(1),(2),(3),以 表示 与 之和：,称为体系的总角动量，它满足角动量的一般对易关系：,(4),(5),2

14、9,证明：,同理，可证明其它分量的对易关系。,对于总角动量的平方：,(6),30,其它对易关系：,(8),利用,(7),(9),(10),(11),二、 的本征值和本征矢,以 表示 和 的共同本征矢：,(12),1.基本定义,31,以 表示 和 的共同本征矢：,(13),因为 相互对易，所以它们的共同本征矢：,(14),组成正交归一的完全系。以这些本征矢作为基矢的表象称为无 耦合表象，在这个表象中， 都是对角矩阵。,另一方面算符 也是相互对易的，所以它们有共同 本征矢 , j 和 m 表明 和 的对应本征值依次为 和 :,2.无耦合表象,3.耦合表象,32,(15),组成正交归一完全系，以它们

15、为基矢的表象称为 耦合表象。在这个表象中， 都是对角矩阵。,(16),上式中 称为矢量耦合系数或克来 布希高登（ClebschGordon）系数。,将 按完全系 展开：,(17),33,(18),(16)式变为：,4.量子数 和 ，的关系,(19),34,另一方面,的数目可表示为：,(21),(20),(22),(23),35,(23)式与旧量子论中角动量的求和规则相符合：,两个角动量的耦合,在旧量子论中，两角动量矢量之和由两角动量数值之和变到他们的数值之差，每一步的改变是1。j1, j2和j所满足的关系称为三角形关系，以 表示。,求得j和m后，也就解决了求 的本征值问题，其本征矢可由(18)

16、式求出，其中耦合系数可查表。,例：当第2个角动量为电子自旋角动量（j2=1/2）时的几个矢量耦合系数：,36,带入（18）式,(18),37,(24),38, 7.5 光谱的精细结构,目的：讨论在没有外场的情况下，电子自旋对类氢原子的能级和谱线的影响。,不考虑电子自旋与轨道相互作用,类氢原子的哈密顿量：,不考虑核外电子对核的屏蔽,都相互对易，它们有共同本征函数（无耦合表象中 的基矢）,(1),其中 是自旋 的本征值， 是磁量子数。,39,电子能级（H0的本征值）En只与n有关，不计电子自旋，这个能级是n2 度简并的。 如果考虑了电子的自旋，ms 可取两个值，因而能级En 是2n2 度简并。,表

17、示电子的总角动量算符， 相互对易，体系的定态也可用 共同本征函数,(2),40,自旋和轨道之间的相互作用能量是：,于是，体系的哈密顿写为：,式子中,哈密顿中的 称为自旋轨道耦合项，由于该项的存在， 和 都不和 对易，所以电子的态不能用量子数 和 来描写。,另一方面,有,所以 都和 对易， 和 都是好量子数。,(6),(5),(4),(3),41,和 对易,和 不对易,和 不对易,的本征值和本征函数由本征值方程推出：,求解方法： 1.采用简并下的微扰理论求解,步骤： 1.零级近似波函数的选择 2.解久期方程 3.求本征值的一级近似及对应波函数的零级近似,可选用无耦合表象的基矢(1)式,可选用耦合

18、表象的基矢(2)式,对角化,选用耦合表象的基矢：省去求解久期方程,(7),42,令,(8),(9),(10),43,(9),能量的一级修正 ：,讨论： 1.自旋轨道耦合使原来的简并的能级分裂开，即简并被消除。 2.但是简并仅部分消除。,当n和L给定后，j可取两个值；j=l1/2(l=0除外)， 即具有相同的量子数n,l的能级有两个， 它们之间的差别很小，产生了光谱线精细结构。,光谱的精细结构,44,表示n=3，l=1(P项)， 的能级,45,波函数的零级近似,说明：本节的讨论结果仅适用于l0的情况。 l=0时，没有自旋轨道耦合，能级无移动。,46, 7.6 全同粒子的特性,固有性质（质量、电荷

19、、自旋等）相同的粒子称为全同粒子,例：所有电子、所有质子、所有中子、所有光子等,全同粒子,不可区分性,经典粒子可区分性:在经典力学中，即使两个粒子是固有性质完全相同时，能完全区分两个粒子，因它们有自己确定的轨道。 全同粒子不可区分性：在量子力学中，粒子的位置用波函数表示，在位置几率重迭处（无确定轨道），我们无法区分哪个是“第一个”粒子，哪个是“第二个”粒子。,47,全同性原理,由于全同粒子的不可区分性，在全同粒子所组成的系统中，任意两个全同粒子相互交换（位置 等），不会引起物理状态的改变。,量子力学中的基本原理之一,公式表示形式：,设体系由N个全同粒子组成,以 表示第i个粒子的坐标和自旋,表示

20、第i个粒子在外场中的能量,表示第i个粒子和第j个粒子的相互作用能量,全同粒子体系波函数的对称性质,48,体系的哈米顿算符：,两粒子互换，哈米顿算符不变,全同粒子体系的薛定谔方程：,再交换 与,(1),(2),(3),(4),49,这表示如果 是方程的解，则 也是方程的解。,根据全同性原理，它们描述的是同一状态，则它们间只可能相差一常数因子，以 表示.即有,再交换 与,当 时,50,当 时,波函数的对称性质不随时间而变化,设 时刻波函数对称：,由薛定谔方程：,知由于 对称, 使 也对称,t+dt波函数 也是对称函数,任意时刻的波函数是对称的,51,结论：描述全同粒子系统状态的波函数只能是对称的，

21、或者反对称的，它们的对称性不随时间改变。,若某一时刻波函数是反对称的， 任意时刻的波函数是反对称的,自旋为 的奇数倍的粒子（如电子、质子、中子等）组成的全同粒子体系的波函数是反对称的，服从费米-狄喇克统计，称为费米子。,自旋为零或为 的整数倍的粒子（如光子、处于基态的氦原子、粒子等）组成的全同粒子体系的波函数是对称的，服从Bose-Einstein统计，称为玻色子。,52,他发现由中子轰击下核的转化，在1934年初能够创造出很多新合成的放射性物质，他认为那是超铀元素。费米在他的论文“Sulla Quantizazione del gas perfetto monatomico”（Lincei

22、Rendiconti 1935；物理杂志1936）中系统地阐述了以他的名字命名的统计学（费米统计学）。1938年他被授予诺贝尔物理学奖。二次世界大战期间，费米实质上致力于原子能应用的计划。1942年12月2日，在他指导下，在芝加哥的核反应堆上实现了第一次核链式反应，为了纪念费米，在美国设立了恩里科费米奖。,E. 费米（FERMI，Enrico），意大利物理学家，1901年9月29日生于罗马，1954年11月28日卒于芝加哥。1939年去纽约的哥伦比亚大学之前，费米曾是佛罗伦萨和罗马的教授，1946年他去了芝加哥。费米主要从事量子力学的研究。,53,玻色发明了用于光子的统计学；爱因斯坦则将其推广

23、到有质量的粒子。自1926年至1956年，玻色是达卡和加尔各答的教授。,S. N. 玻色（BOSE，Satyendra Nath），印度物理学家，1894年生出，1974年2月4日卒于加尔各答。他与爱因斯坦一起创建了量子统计学理论（玻色-爱因斯坦统计学），它不同于经典的玻耳兹曼统计学，也不同于费米统计学。,54,一、两粒子体系,在不考虑粒子间相互作用时，体系的哈米顿算符,以 和 表示 的第 个本征值和本征函数，则单粒子的本征值方程为：, 7.7 全同粒子体系的波函数泡利原理,(1),(2),当第一个粒子处于第i态，第二个粒子处于第j态时，体系能量为,(3),由本征值方程为：,(4),55,当第一个粒子处于第 j态，第二个粒子处于第态i时，体系波函数：,(6),能量值仍为 ，体系的能量本征值E是简并的。因波函数(6)式由波函数(5)式交换q1，q2后得出，这种简并称为交换简并。,如果两粒子处于同一状态，,则（5）和（6）给出同一个对称波函数,如果两粒子处于不同状态，,函数 既不对称，也不反对称，不满足全同粒子体系波函数的条件。,56,但由（5）和（6）两式的和、差