自动控制原理第三讲

1、2020年9月14日,自动控制原理,1,第三章 控制系统的数学模型,3.1 控制系统数学模型的建立 3.2 线性控制系统的传递函数 3.3 结构图 3.4 信号流图 3.5 闭环控制系统的传递函数,3.1 控制系统数学模型的建立,2020年9月14日,自动控制原理,2,3.1.1 概述 1 数学模型 数学模型（Mathematical Model）:描述系统内部各变量之间关系的数学表达式。 动态模型：描述动态过程中各变量之间的关系。 静态模型：描述静态条件下各变量之间的关系。,2020年9月14日,自动控制原理,3,2 数学模型种类 时域：微分方程、差分方程和状态方程； 复数域：传递函数、结构

2、图和信号流图； 频域：频率特性等。 3 建模方法 分析法（机理法） 实验法（辨识）,2020年9月14日,自动控制原理,4,3.1.2 线性系统数学模型的建立 一般步骤： 分析系统的工作原理和系统中各变量之间的关系，确定系统的输入量、输出量和中间变量； 根据系统的基本定律（物理、化学定律），从系统的输入端开始，依次列写组成系统各元件的运动方程（微分方程）；,2020年9月14日,自动控制原理,5,联立方程，消去中间变量，得到有关输入量与输出量之间关系的微分方程； 标准化。即将与输出量有关的各项放在方程的左边，与输入量有关的各项放在方程的右边，等式两边的导数项按降幂排列。,例1 已知无源网络如图

3、所示，试写出它的数学模型。,2020年9月14日,自动控制原理,6,解：根据基尔霍夫定律,消去中间变量i，得,例2 如图所示。试列写以ui为输入量，uo为输出量的微分方程。,2020年9月14日,自动控制原理,7,解：根据基尔霍夫定律,消去中间变量i,例3 设有由弹簧质量阻尼器构成的机械平移系统如图所示。试列写出质量m在外力F作用下，位移x的微分方程,2020年9月14日,自动控制原理,8,解： 根据牛顿定律,2020年9月14日,自动控制原理,9,3.2 线性控制系统的传递函数,3.2.1 传递函数定义 1 传递函数：线性定常系统在零初始条件下，输出量c(t)与输入量r(t)的拉氏变换之比。

4、,2020年9月14日,自动控制原理,10,设线性定常系统的微分方程为,零初始条件，即c(t)和r(t)及其各阶导数初始值均为零,则系统的传递函数为,2020年9月14日,自动控制原理,11,例1 如图所示。试列写以ui为输入量，uo为输出量的传递函数。,解： 由上节结论,2020年9月14日,自动控制原理,12,例2 如图所示。试列写出质量m在外力F作用下，位移x的传递函数 。,解： 由上节结论,2020年9月14日,自动控制原理,13,3.2.2 传递函数的说明 传递函数只适用于线性定常系统； 由微分方程经拉氏变换导出的，拉氏变换是一种线性积分运算。 传递函数原则上不能反映系统在非零初始条

5、件下的运动规律； 传递函数是在零初始条件下定义的，即在零时刻之前，系统是处于相对静止状态。,2020年9月14日,自动控制原理,14,传递函数只与系统本身的结构和参数有关，与系统输入量的大小和形式无关； 传递函数是复变量s的有理分式；分母多项式的最高阶次n高于或等于分子多项式的最高阶次m，即n m。 一个传递函数只能表示单输入单输出的关系，对多输入多输出系统，要用传递函数阵表示。,2020年9月14日,自动控制原理,15,传递函数的表示形式,基本形式,零极点形式,时间常数形式,2020年9月14日,自动控制原理,16,3.2.3 典型环节的传递函数,1 比例环节(Proportional),K

6、放大系数或增益。,动态方程为,输出量与输入量成正比，不失真也无时间滞后的环节。,2020年9月14日,自动控制原理,17,例：如图所示为运算放大器。设输入为ui(t)，输出为uo(t)。 根据电路定律，可知该电路的微分方程为,式中，K= -R2/ R1,传递函数为,2020年9月14日,自动控制原理,18,2 惯性环节,T惯性环节的时间常数； K惯性环节的增益或放大系数。,传递函数为,惯性环节的特点是其输出量延缓地反映输入量的变化规律。,2020年9月14日,自动控制原理,19,如图所示RC网络。设输入为ui(t)，输出为uo(t)。 根据基尔霍夫定律，可知该电路的微分方程为,RC电路,消去中

7、间变量I(s)，得到,传递函数为,热电偶测量介质温度。输入信号为被测介质温度，输出信号为热电势E。 介质向热电偶传热 R:热阻，假定为常数； 热电偶温度变化 c:热电偶热容量； 热电势 r：热电偶特性常数；,2020年9月14日,自动控制原理,20,消去中间变量q、h： 拉氏变换得： 传递函数：,2020年9月14日,自动控制原理,21,2020年9月14日,自动控制原理,22,3. 积分环节(Integral),Ti 积分时间常数。,传递函数为,动态方程为,2020年9月14日,自动控制原理,23,如图所示为运算放大器。设输入为ui(t)，输出为uo(t) 。 根据电路定律，可知该电路的微分

8、方程为,传递函数为,运算放大器,水箱系统。以流量q为输入，水位h为输出。,2020年9月14日,自动控制原理,24,2020年9月14日,自动控制原理,25,动态方程为,4 微分环节(Differential),Td 微分时间常数,传递函数为,理想的微分环节，其输出与输入对时间的微分呈正比。,2020年9月14日,自动控制原理,26,如图所示为一电感线圈。设输入为i(t)，输出为uo(t) 。 根据基尔霍夫定律，可知该电路的微分方程为,传递函数为,电感线圈,2020年9月14日,自动控制原理,27,理想微分环节在实际中难以得到，往往使用一些近似环节来执行微分作用，称为实际微分环节。其传递函数为

9、：,当T 1时，就能近似得到,2020年9月14日,自动控制原理,28,5.一阶微分环节,时间常数,传递函数为,一阶环节的输出等于输入与其一阶导数的加权和。 动态方程为,一阶微分环节为比例环节和理想微分环节的并联，一阶微分环节与惯性环节的传递函数互为倒数。,2020年9月14日,自动控制原理,29,6 二阶振荡环节,n=1/T无阻尼自然振荡频率；阻尼比。,传递函数为,动态方程为：,2020年9月14日,自动控制原理,30,在振荡环节里面常包含两个储能元件，如机械和电气系统里的质量和弹簧，电容和电感都有储能的能力，而阻尼器和电阻则为耗能元件。当系统受到输入作用是，能量可能在两个储能元件之间相互转

10、换而形成振荡。,2020年9月14日,自动控制原理,31,如图所示RLC电路。设输入为ui(t)，输出为uo(t) 。 解 根据基尔霍夫定律，可知该电路的微分方程为,2020年9月14日,自动控制原理,32,消去中间变量I(s) ，得到,传递函数为,2020年9月14日,自动控制原理,33,7 二阶微分环节,传递函数为,动态方程为,二阶微分环节的传递函数与振荡环节的传递函数互为倒数。,2020年9月14日,自动控制原理,34,8 延迟环节,传递函数为,延迟(时滞)环节是在输入信号作用后，输出信号要延迟一段时间才重现输入信号的环节。其动态方程为,2020年9月14日,自动控制原理,35,3.3

11、结构图,3.3.1 结构图的组成 1 结构图(方框图、方块图)：将系统中所有的部件都用方框表示，在方框中标明其传递函数，按照信号传递方向把各方框依次连接组成的一种图形。,2020年9月14日,自动控制原理,36,2 组成（结构图四要素） 方框：又称环节，表示对输入信号所进行的数学变换。方框的输出信号等于输入信号乘以方框中的传递函数。 信号线：带有箭头的直线，箭头表示信号传递的方向，线上标记所对应的变量； r(t), R(s),2020年9月14日,自动控制原理,37,引出点:表示信号引出或测量的位置；从同一位置引出的信号，大小和性质完全相同。 比较点（或综合点）:表示对两个或两个以上的信号进行

12、加减运算。,2020年9月14日,自动控制原理,38,3.3.2 结构图的建立,一般步骤： 写出组成系统各环节的微分方程； 求取各环节的传递函数，将各环节的传递函数填入方块图内，将信号的拉普拉斯变换标在信号线附近； 按照系统中信号传递的顺序，依次将各环节的结构图连接起来，构成系统的结构图。,例1 已知无源网络如图所示，画出结构图。 零初始条件下，拉氏变换得,2020年9月14日,自动控制原理,39,解：根据基尔霍夫定律,3.3.3 结构图的等效变换 框图的变换：用一个框图去代替与之等价的另一个框图。,2020年9月14日,自动控制原理,40,1 串联 串联方框的等效传递函数等于各环节传递函数的

13、乘积。,2020年9月14日,自动控制原理,41,2 并联 并联方框的等效传递函数等于各环节传递函数的代数和。,2020年9月14日,自动控制原理,42,3 反馈连接 系统的闭环传递函数,2020年9月14日,自动控制原理,43,4 比较点的移动 移动原则：保持在移动前后信号的等效性。 比较点后移 需要在R2(S)信号线上加上一个传递函数为G(s)的方框,2020年9月14日,自动控制原理,44,W（s),比较点前移 需要在R2(S)信号线上加上一个传递函数为1/G(s)的方框,2020年9月14日,自动控制原理,45,W(s),比较点互移 两相邻比较点之间的换位移动，无需作其它变换,2020

14、年9月14日,自动控制原理,46,5 分支点移动 原则：分支点移动前后分支信号不变。 分支点前移 需要在分支上加上一个传递函数为G(s)的方框,2020年9月14日,自动控制原理,47,G(s),分支点后移 需要在分支上加上一个传递函数为1/G(s)的方框,2020年9月14日,自动控制原理,48,例：简化结构图，并计算系统的传递函数。 比较点A后移,2020年9月14日,自动控制原理,49,比较点互换位置 W1与W2串联,2020年9月14日,自动控制原理,50,2020年9月14日,自动控制原理,51,例 试简化系统结构图，并求系统的传递函数C(s)/R(s)。,解,2020年9月14日,自动控制原理,52,第一步，将引出点后移。,2020年9月14日,自动控制原理,53,第二步，对由G3(s)、G4(s)和H3(s)构成的回路1进行等效变换。,2020年9月14日,自动控制原理,54,第三步，对回路2进