离散数学第四章课件

1、第四章 二元关系和函数,第一节 集合的笛卡儿积和二元关系,(2) 笛卡儿积及性质，,(3) 二元关系的定义及三种表示法，,(4) 一些特殊的二元关系。,一、笛卡儿积。,2、笛卡儿积。,解：,解：,(2) 笛卡儿积是集合，有关集合的运算都适合。,(1),(2),(3),(4),二、二元关系。,1、定义,设,4、特殊的关系。,5、常用关系。,解：,解： ，,解：,关系图：,一般：设,，其中,四、关系的五种性质(自反，反自反，对称，,反对称，传递)。,定义,关系矩阵的特点,关系图的特点,自反性,，都有,反自反性,，都有,定义,关系矩阵的特点,关系图的特点,对称性,对称矩阵,反对称性,定义,关系矩阵的

2、特点,关系图的特点,传递性,(1),(2),(3),(4),例2、判断下图中的关系分别具有哪些性质。,例2、判断下图中的关系分别具有哪些性质。,例2、判断下图中的关系分别具有哪些性质。,例2、判断下图中的关系分别具有哪些性质。,例2、判断下图中的关系分别具有哪些性质。,例2、判断下图中的关系分别具有哪些性质。,则有以下文氏图。,则有以下文氏图。,第二节 关系的运算,重点：(1) 掌握逆关系，合成关系的概念及求法，,一般：关系的定义域，值域。,一、逆关系，合成关系。,1、关系的逆。,解：,2、关系的合成 (复合) 。,(1) 定义，关系R和S的合成关系定义为：,解：,解：,如例2中，,解法一 用

3、集合表示。,解法一 用集合表示。,解法二 用关系图表示。,解法二 用关系图表示。,解法三 用矩阵表示(略)。,3、关系的逆与合成间的联系。,证明：任取,例4、分别求出以下关系的定义域和值域。,(1),解：,解：,(2),例4、分别求出以下关系的定义域和值域。,(3),解：,(4),解：,即偶数集,第三节 关系的性质,三、关系在各种运算下保持原有特性问题。,证明：对任意,第四节 关系的闭包,内容：关系的自反，对称，传递闭包。,一、闭包的定义。,(2),2、记号。,3、性质。,二、闭包的求法。,1、利用以下公式。,二、闭包的求法。,2、利用关系图。,二、闭包的求法。,3、利用关系矩阵。,解法一,(

4、参考第二节例3),(参考第二节例3),解法二,解法二,解法二,解法三 利用关系矩阵(略)。,第五节 等价关系和偏序关系,内容：等价关系，偏序关系。,重点：(1) 掌握等价关系和等价类的概念，,(3) 掌握偏序关系的概念，,(4) 偏序集哈斯图的画法。,一、等价关系。,1、等价关系的定义。,2、等价类。,在例2中，有,(2) 性质。(证明略),在例2中，,。,3、商集。,其等价类是：,商集,二、集合的划分。,1、划分的定义。,满足：(1),(2),商集：,则由此等价关系诱导的划分中,(1) 共有几个划分块？,(2) 求其中最大的块。,(3) 求其中最小的块。,解：依题意得：,差为0的:,差为1的

5、：,差为2的：,解：(1) 共有5个划分块。,(2) 最大的划分块为：,三、偏序关系。,1、偏序关系的定义。,例1、偏序关系的常见例子。,有理数集上的小于等于关系,正整数集上的整除关系,2、偏序集中的两元素可比，盖住的定义。,1与任何数都可比，,2与3不可比，,2盖住1，4盖住2，,3、全序集。,是全序集，,不是全序集。,步骤如下：,(1),解：哈斯图：,(2),解：哈斯图：,解：,哈斯图：,(1),(2),解：,(2),解：哈斯图：,其哈斯图为一直线 (右图)：,解：,五、偏序集中极小元，极大元，最小元，,最大元，上界，下界，上确界，下确界。,1、极大、小元，最大、小元。,1、极大、小元，最

6、大、小元。,1、极大、小元，最大、小元。,由定义知：,1、极大、小元，最大、小元。,由定义知：,2、上、下界，上、下确界。,2、上、下界，上、下确界。,由定义知：,2、上、下界，上、下确界。,由定义知：,(1),(2),(2) 其中有多少种等价关系？,(3) 其中有多少种偏序关系？,所以，有3种偏序关系。,第六节 函数的定义和性质,内容：函数的定义，性质。,一、函数的定义。,3、有关集合和关系的运算对函数都适合。,4、函数的定义域，值域。,解：故,二、函数的性质。,也不是满射。,但它不是单射，,也不是满射。,且是单射的，,但不是满射的 。,是满射的。,不是单射的，,三、常用的一些函数。,三、常

7、用的一些函数。,第七节 函数的复合和反函数,内容：复合函数，反函数。,一、复合函数。,解：,解：,解：,解：,2、性质。,因此，,2、性质。,2、性质。,二、反函数。,第四章 小结和例题,一、集合的笛卡儿积与二元关系。,1、基本概念。,2、应用。,(1) 求给定集合的笛卡儿乘积。,一、集合的笛卡儿积与二元关系。,1、基本概念。,2、应用。,(3) 关系三种表示法间的互相转换。,二、关系的运算。,1、基本概念。,2、运用。,(1) 求给定关系的逆关系，合成关系。,(3) 求给定关系的定义域，值域。,三、关系的性质。,1、基本概念。,2、运用。,(1) 关系的五种性质及关系图，关系矩阵特征。,(2

8、) 五种性质的判断和验证。,四、关系的闭包。,1、基本概念。,自反闭包，对称闭包，传递闭包。,2、运用。,求给定关系的自反，对称，传递闭包。,五、等价关系和偏序关系。,1、基本概念。,2、运用。,(1) 等价关系，偏序关系的判断。,五、等价关系和偏序关系。,1、基本概念。,2、运用。,(3) 画出给定偏序关系的哈斯图。,六、函数的定义和性质。,1、基本概念。,函数；单射，满射，双射。,2、运用。,(1) 判断一个关系是否为函数。,(2) 判断一个函数是否单射，满射，双射。,七、函数的复合和反函数。,1、基本概念。,复合函数，反函数。,2、运用。,(1) 求复合函数和反函数。,解：,解：,解：,是自反，反对称，传递的。,是反自反，反对称的。,解：,解：,解：,解：,(1),(2),(3),(4),(5),解：,关系图：,关系矩阵：,解：,解：,解：图(1)表示的关系满足自反，对称，传递，,是等价关系。,解：