2.2 初等模型-拟合比例类比.ppt

1、第二章 初等模型,2.2 拟合、比例方法及类比法,汽车刹车距离,美国的某些司机培训课程中的驾驶规则：,背景与问题,正常驾驶条件下, 车速每增10英里/小时， 后面与前车的距离应增一个车身的长度。,实现这个规则的简便办法是 “2秒准则” ：,后车司机从前车经过某一标志开始默数 2秒钟后到达同一标志，而不管车速如何,判断 “2秒准则” 与 “车身”规则是否一样；,建立数学模型，寻求更好的驾驶规则。,问题分析,常识：刹车距离与车速有关,10英里/小时(16公里/小时)车速下2秒钟行驶29英尺( 9米),车身的平均长度15英尺(=4.6米),“2秒准则”与“10英里/小时加一车身”规则不同,刹车距离,

2、反应时间,司机状况,制动系统灵活性,制动器作用力、车重、车速、道路、气候 ,最大制动力与车质量成正比，使汽车作匀减速运动。,车速,假 设 与 建 模,1. 刹车距离 d 等于反应距离 d1 与制动距离 d2 之和,2. 反应距离 d1与车速 v成正比,3. 刹车时使用最大制动力F，F作功等于汽车动能的改变;,F d2= m v2/2,F m,t1为反应时间,且F与车的质量m成正比,反应时间 t1的经验估计值为0.75秒,参数估计,利用交通部门提供的一组实际数据拟合 k,模 型,最小二乘法 k=0.06,“2秒准则”应修正为 “t 秒准则”,模 型,动物的身长和体重,问题的提出： 四足动物的躯干

3、的长度(不含头尾)与它的体重有什 么关系？ 这个问题有一定的实际意义。比如，在生猪收购站 或屠宰场工作的人们，往往希望能从生猪的身长估计出 它的体重。 动物的生理构造因种类不同而异，如果陷入对生物 学复杂生理结构的研究，将很难得到满足上述目的有使 用价值的模型这里我们仅在十分粗赂的假设基础上， 利用类比方法，借助力学的某些结果，建立动物身长和 体重间的比例关系。,1、问题的分析与假设,把四足动物的躯干看作圆柱体，长度l、直径d、断面 面积s如下图所示。 将这种圆柱体的躯干类比作根支撑在四肢上的弹性 梁，以便利用弹性力学的一些研究结果。,2、模型的建立：,原理： 动物在自身体重f作用下躯干的最大

4、下垂度b，即梁的 最大弯曲，根据对弹性粱的研究，有：,进一步分析b/l的意义,3、生物学角度分析b/l,b/l生理学意义： b/l是动物躯干的相对下垂度。b/l太大，四肢将 无法支撑；b/l太小，四肢的材料和尺寸超过了支撑 躯干的需要，无疑是一种浪费。 生物学进化角度： 经过长期进化，对每一种动物而言b/l已经达到其 最合适的数值，即b/l应视为与这种动物的尺寸无关的 常数。,4、结论,（1）关系式： （前面分析） （2）另一些比例关系： （3）最终结论：,即体重与躯干长度的4次方戊正比。这样，对于某一 种四足动物比如生猪，在根据统计数据确定出上述比例系 数以后，就能从躯干长度估计出动物的体重

5、了。,作业,问题：人在雨中从一处向另一处行走，当雨的速度已知时，问人行走的速度多大时才能使淋雨量最小？,分析（建模）：人身体的表面非常复杂，为了简化问题，将人看作是一长方体，其前、侧、顶的面积之比为1:b:c,选择适当的直角坐标系，使人的行走速度为(u,0,0),设雨的速度为(vx,vy.vz),人的行走距离为L，则行走时间为L/u。,在上述分析下，由高数曲面积分中通量的概念，显然单位时间内的淋雨量正比于,补充：设某向量场由 A (x,y,z)=P (x,y,z)i+Q(x,y,z)j+R(x,y,z)k给出，其中P，Q，R具有一阶连续偏导数，是场内的一片有向曲面，n是在点(x,y,z)处的单

6、位法向量，则 叫做向量场A通过曲面向着指定侧的 通量。,从而总淋雨量正比于,显然a0,则,于是原问题抽象成如下数学问题： 在L，vx，a，已知的情况下，求R(u)的最小值。,在L，vx，a，已知的情况下，求R(u)的最小值，其中,求解模型:,由于这个模型的特殊性，用图解法求解方便些，分以下几种情况讨论：,当v xa时，可以大体做出R(u)的图像，,由图知，当v x=u时，R（u）取得最小值，且Rmin=La/vx,当v xa时，仍可以大体做出R(u)的图像，由图知，当u尽可能大时，R（u）才会尽可能小（接近于L）。,仍可以大体做出R(u)的图像，由图知，当u尽可能大时，R（u）才会尽可能小。,(3