运筹学01线性规划

1、线 性 规 划及单纯形法,第一章,1、LP的数学模型 2、图解法 3、单纯形法 4、 单纯形法的进一步讨论人工变量法 5、LP模型的应用,本章主要内容：,2020/9/5,3,一 线性规划问题的数学模型,1. 规划问题,生产和经营管理中经常提出如何合理安排，使人力、物力等各种资源得到充分利用，获得最大的效益，这就是规划问题。,线性规划通常解决下列两类问题：,（1）当任务或目标确定后，如何统筹兼顾，合理安排，用最少的资源 （如资金、设备、原标材料、人工、时间等）去完成确定的任务或目标,（2）在一定的资源条件限制下，如何组织安排生产获得最好的经济效益（如产品量最多 、利润最大.）,2020/9/5

2、,4,例1.1 如图所示，如何截取x使铁皮所围成的容积最大？,一元函数极值问题，高等数学微分解决。多元呢？,2020/9/5,5,例1.2 某厂生产两种产品，下表给出了单位产品所需资源及单位产品利润,问：应如何安排每天的生产计划，使总利润最大？,解：,1.决策变量：设产品I、II的产量 分别为 x1、x2,2.目标函数：设总利润为z，则有： max z = 2 x1 + x2,3.约束条件：,生产问题,2020/9/5,6,例1.3养海狸鼠 饲料中营养要求：VA每天至少700克，VB每天至少30克，VC每天刚好200克，每种饲料不能超过用量要求。现有五种饲料，搭配使用，饲料成分如下表。问如何搭

3、配使用饲料使总成本最低？,配方问题,2020/9/5,7,例题1.3建模,设抓取饲料I x1kg;饲料II x2kg;饲料III x3kg 目标函数（最省钱）： minZ=2x1+7x2+4x3+9x4+5x5 约束条件（营养要求） ： 3x1+2x2+x3+6x4+18x5 700 x1+0.5x2+0.2x3+2x4+0.5x5 30 0.5x1+x2+0.2x3+2x4+0.8x5 =200 用量要求： x1 50,x2 60,x3 50,x4 70,x5 40 非负性要求：x1 0,x2 0,x3 0,x4 0,x5 0,2020/9/5,8,例1.4医院护士24小时值班，每次值班8小

4、时。不同时段需要的护士人数不等。据统计：,解：,1.决策变量：,2.目标函数： min Z=x1+x2+x3+x4+x5+x6,3.约束条件：,x1+x2 70 x2+x3 60 x3+x4 50 x4+x5 20 x5+x6 30 x6+x1 60 非负性约束：xj 0,j=1,2,6,决 策 变 量,人力资源问题,2020/9/5,9,例1.5靠近某河流有两个化工厂，流经第一化工厂的河流流量为每天500万m3，两工厂之间有一条流量为每天200万m3的支流（见图）。,第一化工厂每天排放污水2万m3，第二化工厂每天排放污水 1.4万m3。污水从工厂1流到工厂2前会有20%自然净化。根据环保要求

5、，河水中污水的含量应不大于0.2%。而工厂1和工厂2处理污水的成本分别为1000元/万m3和800元/万m3。问两工厂各应处理多少污水才能使处理污水的总费用最低？,环保问题,2020/9/5,10,这个问题可用数学模型来描述。设第一化工厂每天处理工业污水量为 x1万m3，第二化工厂每天处理工业污水量为x2万m3。问题的目标是要求两厂用于处理工业污水的总费用最小，则目标函数为 从第一化工厂到第二化工厂之间，河流中工业污水含量要不大于0.2%，由此可得近似关系式 流经第二化工厂后，河流中的工业污水量仍要不大于0.2%，这时有近似关系式 由于每个工厂每天处理工业污水量不会大于每天的排放量，故有,20

6、20/9/5,11,例题1.5建模 综合上述，这个环保问题可以数学模型表示为： 目标函数： 约束条件：,2020/9/5,12,例1.6 某航运局现有船只种类、数量以及计划期内各条航线的货运量、货运成本如下表所示：,问：应如何编队，才能既完成合同任务，又使总货运成本为最小？,运输问题,2020/9/5,13,解：,设：xj为第j号类型船队的队数（j = 1，2，3，4）， z 为总货运成本,则： min z = 36x1 + 36x2 + 72x3 + 27x4,2020/9/5,14,线性规划问题的数学模型,2. 线性规划的数学模型由三个要素构成,决策变量 Decision variable

7、s 目标函数 Objective function 约束条件 Constraints,其特征是： （1）问题的目标函数是多个决策变量的线性函数，通常是求最大值或最小值； （2）问题的约束条件是一组多个决策变量的线性不等式或等式。,怎样辨别一个模型是线性规划模型？,2020/9/5,15,线性规划问题的数学模型,3. 建模条件,(1) 优化条件：问题所要达到的目标能用线型函数描述，且能够用极值 （max 或 min）来表示；,(2) 限定条件：达到目标受到一定的限制，且这些限制能够用决策变量的 线性等式或线性不等式表示；,(3) 选择条件：有多种可选择的方案供决策者选择，以便找出最优方案。,20

8、20/9/5,16,线性规划问题的数学模型,4. 建模步骤,(1) 确定决策变量：即需要我们作出决策或选择的量。一般情况下，题目问什么就设什么为决策变量；,(2) 找出所有限定条件：即决策变量受到的所有的约束；,(3) 写出目标函数：即问题所要达到的目标，并明确是max 还是 min。,2020/9/5,17,线性规划问题的数学模型,5. 线性规划的概念,对于求取一组变量xj(j=1,2,.,n)，使之既满足线性约束条件，又使具有线性的目标函数取得极值的一类最优化问题称为线性规划问题。 Linear Programming 简记为LP,2020/9/5,18,一般形式：,max（或min）,目

9、标函数,约束条件,非负约束,称为决策变量,称为价值系数,称为资源常数或约束右端常数,称为技术系数或约束系数,2020/9/5,19,紧缩形式：,max（或min）,i=1,2,.,m,“s.t.”是“subject to”的缩写，表示“满足于”。,2020/9/5,20,矩阵形式：,max（或min）,称为决策变量向量,称为价值系数向量,称为资源常数向量或约束右端常数向量,称为技术系数或约束系数矩阵,2020/9/5,21,6. 线性规划问题的标准形式,特点： (1) 目标函数求最大值（有时求最小值） (2) 约束条件都为等式方程，且右端常数项bi都大于或等于零 (3) 决策变量xj为非负。,

10、线性规划问题的数学模型,2020/9/5,22,（2）如何化标准形式,目标函数的转换,如果是求极小值即 ，则可将目标函数乘以(-1)，可化为求极大值问题。,也就是：令 ，可得到上式。,即,若存在取值无约束的变量 ， 可令 其中：,变量的变换,若存在取值变量 0 ，可令 其中：,2020/9/5,23,约束方程的转换：由不等式转换为等式。,称为松弛变量,称为剩余变量,常量 bi0 的变换:约束方程两边乘以（1）,i=1,2,.,m,i=1,2,.,m,2020/9/5,24,例1.7 将下列线性规划问题化为标准形式,用 替换 ，且,解:（）因为x3无符号要求 ，即x3取正值也可取负值也可，标准型

11、中要求变量非负，所以,2020/9/5,25,(2) 第一个约束条件是“”号，在“”左端加入松驰变量x4，x40,化为等式； (3) 第二个约束条件是“”号，在“”左端减去剩余变量x5，x50； (4) 第3个约束方程右端常数项为-5，方程两边同乘以(-1),将右端常数项化为正数； (5) 目标函数是最小值，为了化为求最大值，令z=-z,得到max z=-z，即当z达到最小值时z达到最大值，反之亦然;,2020/9/5,26,标准形式如下：,2020/9/5,27,例1.8 将下列线性规划问题化为标准形式,为无约束（无非负限制）,2020/9/5,28,解: 用 替换 ，且 ，,将第3个约束方

12、程两边乘以（1）,将极小值问题反号，变为求极大值,标准形式如下：,引入变量,2020/9/5,29,例1.9 将线性规划问题化为标准型,解：,2020/9/5,30,例1.10 将线性规划问题化为标准型,解：,Min z = -3 x1 + 5 x2 + 8 x3 - 7 x4 s.t. 2 x1 - 3 x2 + 5 x3 + 6 x4 28 4 x1 + 2 x2 + 3 x3 - 9 x4 39 6 x2 + 2 x3 + 3 x4 - 58 x1 , x3 , x4 0； x2无约束,Max z = 3x1 5x2 +5x2” 8x3 + 7x4 s.t. 2x1 3x2 + 3x2”

13、 + 5x3 + 6x4 + x5 = 28 4x1 + 2x2 - 2x2” + 3x3 - 9x4 - x6 = 39 -6x2 + 6x2” - 2x3 - 3x4 - x7 = 58 x1 ,x2,x2”,x3 ,x4 ,x5 ,x6 ,x7 0,2020/9/5,31,线性规划问题的数学模型,7. 线性规划问题的解,求解线性规划问题，就是从满足约束条件(2)、(3)的方程组中找出一个解，使目标函数(1)达到最大值。,可行解：满足约束条件、的解为可行解。所有可行解的集合为可行域。 最优解：使目标函数达到最大值的可行解。,2020/9/5,32,二 图解法,线性规划问题的求解方法,一 般

14、 有 两种方法,图 解 法 单纯形法,两个变量、直角坐标 三个变量、立体坐标,适用于任意变量、但必需将 一般形式变成标准形式,下面我们分析一下简单的情况 只有两个决策变量的线性规划问题，这时可以通过图解的方法来求解。图解法具有简单、直观、便于初学者窥探线性规划基本原理和几何意义等优点。,2020/9/5,33,解题步骤,4 将最优解代入目标函数，求出最优值。,1 在直角平面坐标系中画出所有的约束等式，并找出所有约束条件的公共部分，称为可行域，可行域中的点称为可行解。,2 标出目标函数值增加或者减小的方向。,3 若求最大（小）值，则令目标函数等值线沿（逆）目标函数值增加的方向平行移动，找与可行域

15、最后相交的点，该点就是最优解。,二 图解法,2020/9/5,34,max Z = 2X1 + X2 X1 + 1.9X2 3.8 X1 - 1.9X2 3.8 s.t. X1 + 1.9X2 10.2 X1 - 1.9X2 -3.8 X1 ，X2 0,例1.11 用图解法求解线性规划问题,2020/9/5,35,x1,x2,o,X1 - 1.9X2 = 3.8(),X1 + 1.9X2 = 3.8(),X1 - 1.9X2 = -3.8 (),X1 + 1.9X2 = 10.2(),4 = 2X1 + X2,20 = 2X1 + X2,17.2 = 2X1 + X2,11 = 2X1 + X

16、2,Lo： 0 = 2X1 + X2,（7.6，2）,R,max Z,min Z,此点是唯一最优解， 且最优目标函数值 max Z=17.2,可行域,max Z = 2X1 + X2,2020/9/5,36,max Z=3X1+5.7X2,x1,x2,o,X1 - 1.9X2 = 3.8 (),X1 + 1.9X2 = 3.8(),X1 - 1.9X2 = -3.8(),X1 + 1.9X2 = 10.2 (),（7.6，2）,R,L0： 0=3X1+5.7X2,max Z,（3.8，4）,34.2 = 3X1+5.7X2,蓝色线段上的所有点都是最 优解这种情形为有无穷多最 优解，但是最优目标

17、函数值 max Z=34.2是唯一的。,可行域,2020/9/5,37,min Z=5X1+4X2,x1,x2,o,X1 - 1.9X2 = 3.8 (),X1 + 1.9X2 = 3.8(),X1 + 1.9X2 = 10.2 (),R,L0： 0=5X1+4X2,max Z,min Z,8=5X1+4X2,43=5X1+4X2,（0，2）,可行域,此点是唯一最优解,2020/9/5,38,2,4,6,x1,x2,2,4,6,无界解(无最优解),max Z=x1+2x2,例1.6,x1+x2=4(),x1+3x2=6(),3x1+x2=6(),max Z,min Z,2020/9/5,39,

18、x1,x2,O,10,20,30,40,10,20,30,40,50,50,无可行解(即无最优解),max Z=3x1+4x2,例1.7,2020/9/5,40,分析解的情况：,（1） 可行域为封闭有界区域,x1,第一种情况：有无穷最优解,第二种情况：有唯一最优解,2020/9/5,41,（2）可行域为非封闭区域,x1,唯一最优解,无界解,无穷最优解,可能在建模过程中，忽略了必要的约束条件。,2020/9/5,42,（3）可行域为空集,x1,没有可行解，原问题无最优解,可能在建模过程中，约束条件自相矛盾的错误。,2020/9/5,43,凸集：如果集合C中任意两个点X1、X2，其连线上的所有点也

19、都是集合C中的点，称C为凸集。,顶点：凸集C中不存在任何两个不同的点X1，X2，使X成为这两个点连线上的一个点,凸集的概念,2020/9/5,44,由图解法得到的启示,(1) 线性规划问题解的情况：唯一最优解；无穷多最优解；无界解；无可行解,(3) 最优解一定是在凸集的某个顶点,(2) 线性规划问题的可行域是凸集（若有两点在该区域中，则连线上的所有点也在其中，这样的集合称为凸集）；,(4) 解题思路是，先找出凸集的任一顶点，计算其目标函数值，再与周围顶点的目标函数值比 较，如不是最大，继续比较，直到找出最大为止。,2020/9/5,45,LP解的概念,可行解：满足约束条件的解 称为线性规划问题

20、的可行解，而使目标函数达到最大值的可行解叫最优解。 基：设A是约束方程组的mn维系数矩阵，其秩为m。B是矩阵A的m阶满秩子阵（ ),则称B是线性规划问题的一组基。这就是说，矩阵B是由m个线性无关的列向量组成。,2020/9/5,46,为不失一般性，假设前m个变量的系数列向量是线性无关的,称Pj(j=1,2, ,m)为基向量，与基向量Pj相应的变量 xj(j= Pj(j=1,2, ,m)为基变量。否则称为非基变量。,2020/9/5,47,下面研究约束方程组的求解问题 假设该方程组系数矩阵A的秩为m ,因mn，故它有无穷多个解。 假设前m个变量的系数列向量是线性无关的。这时约束方程可写成,（1.

21、1）,2020/9/5,48,或,方程组（1.1）的一个基是,（1.2）,2020/9/5,49,设XB是对应于这个基的基变量,现若令（1.1）的非基变量,并用高斯消元法，可以求出一个解,这个解的非零分量的数目不大于方程个数m，称X为基本解。 由此可见，有一个基，就可以求出一个基本解。,2020/9/5,50,基可行解：满足非负条件的基本解，称为基可行解。 可见，基可行解的非零分量的数目也不大于m ,并且都是非负的。 可行解：约束方程组的解，并满足非负条件。 可见，约束方程组具有基本解的数目最多是 个。,【基可行解】【基本解】 ,说明：基本解中的非零分量的个数小于m个时，这基本解是退化解。在以

22、下讨论时，假设不出现退化的情况。,2020/9/5,51,2020/9/5,52,当取XN = 0，这时有XB=B-1b。,基本解的矩阵表达形式,2020/9/5,53,例题1.12 求解线性规划模型,请列出其所有的基、基本解和相应的基变量。 提示：本例中一共有几个基？,一般地，mn 阶矩阵A中基的个数最多有多少个？,2020/9/5,54,不是基,2020/9/5,55,2020/9/5,56,几种解之间的关系：,问题：基可行解是可行域中的哪些点？,2020/9/5,57,定理1：若线性规划问题存在可行解，则该问题的可行域是凸集。 定理2：线性规划问题的基可行解X对应可行域(凸集)的顶点。

23、定理3：若问题存在最优解，一定存在一个基可行解是最优解。,LP解的性质,2020/9/5,58,例题1.13 求线性规划问题的基本解和基可行解,2020/9/5,59,2020/9/5,60,对应的非基变量,2020/9/5,61,2020/9/5,62,2020/9/5,63,例题1.14,2020/9/5,64,例1.14,2020/9/5,65,虽然顶点的数目是有限的（ ），若采用“枚举 法”找所有基可行解，然后一一比较，最终可能得到 最优解。但当n,m的数较大时，这种办法是行不通的， 所以要继续讨论，如何有效的找到最优解的方法，下 面要介绍的单纯形法。,2020/9/5,66,三 单纯

24、形法,单纯形法的思路,找出一个初始基可行解,是否最优,转移到另一个基可行解 （找出更大的目标函数值）,最优解,是,否,循 环,核心是：变量迭代,结束,例：某厂生产、两种产品，主要消耗A、B、C这3种原料，已知单位产品的原料消耗数量等资料如下表所示。,2020/9/5,67,2020/9/5,68,3.1单纯形法引例,（1.3）,（1.4）,约束方程组（1.4）的系数矩阵,2020/9/5,69,从（1.4）中可以看到x3, x4, x5的系数列向量,是线性无关的，这些向量构成一个基,2020/9/5,70,对应于B的变量x3, x4, x5为基变量，从（1.4）中可以得到,（1.5）,将X(0

25、)代人（1.3），得z=2x1+5x2 （1.6） =0,令非基变量x1=x2=0，这时得到一个基可行解,这个基可行解表示： 工厂没有安排生产产品、； 资源都没有被利用，所以工厂的利润指标z=0。,2020/9/5,71,从分析目标函数的表达式（1.6）可以看到：非基变量x1,x2（即没有安排生产的产品、）的系数都是正数，因此将非基变量变换基变量，目标函数的值就可能增大。 从经济意义上讲，安排生产产品或，就可以使工厂的利润指标增加。所以只要在目标函数（1.6）的表达式中还存在有正系数的非基变量，这表示目标函数值还有增加的可能，就需要将它换入到基变量中去，同时还要确定基变量中有一个要换出来的非基

26、变量，可以按以下方法来确定换出基变量。,2020/9/5,72,现分析（1.5）,当将x2定为换入变量后，必须从x3,x4,x5中换出一个，并保证x3,x4,x50。 当x1=0时，由（1.5）式得到,（1.7）,从（1.7）可以看出,2020/9/5,73,只有选择x2=3时，才能即保证（1.7）成立，又使目标函数值达到最大。 因当x2=3时，x5=0，这就决定用x2去替换x5 ， 使x5成为非基变量。 以上数学描述说明了每生产一件产品，需要用掉各种资源数为（2，2，4）。 由这些资源中的薄弱环节，就确定了产品的产量。就是由原材料C的数量确定了产品的产量x2=12/4=3吨。,2020/9/

27、5,74,为了求得以x3,x4,x2为基变量的一个基可行解和进一步分析问题，需将（1.5）中x2的位置与x5的位置对换,（1）,（2）,（3）,（1.5）,（1.8）,用高斯消元法将（1.8）式中x2的系数列向量变换为单位列向量，得到,（1）,（2）,（3）,（1.9）,2020/9/5,75,再将（1.9）代入目标函数（1.3）得到,令非基变量x1=x5=0，得到z=15,并得到另一个基可行解X(1),从目标函数的表达式（1.10）中可以看到，非基变量x1的系数是正的，说明目标函数值还可以增大，X(1)不一定是最优解。于是再用上述方法，确定换入、换出变量，继续迭代，再得到另一个基可行解X(2

28、),（1.10）,2020/9/5,76,选择x1入基，在x2, x3, x4中找出退出基，x5=0，则式（1.9）成为,可知x1的值应满足条件,取x1=2，则x3=0，x3退出基。方程组（1.9）变换为x1, x2, x4的解出形式,（1.11）,2020/9/5,77,将（1.11）代入（1.3）中，得到,（1.12）,非基变量x3=x5=0, z=19, 并得到另一个基可行解X（2）,由式（1.12）可见所有非基变量x3, x5的系数都是负数。这说明若要用剩余资源x3, x5，就必须支付附加费用。所以当x3=x5=0时，即不再利用这些资源时，目标函数达到最大值。所以X（2）是最优解。 即

29、应当产品生产2吨，产品生产3吨，工厂才能得到最大利润19万元。,2020/9/5,78,单纯形方法的基本思想 从可行域的一个基可行解(极点)出发，判别它是否已是最优解，如果不是，寻找下一个基可行解，并使目标函数得到改进，如此迭代下去，直到找到最优解或判定问题无界为止。 将每步迭代得到的结果与图解法作对比，其几何意义就很清楚了。,2020/9/5,79,3.2 单纯形法的要点和单纯形表 1.检验数的意义和计算公式,（1.15）,假定所有b1,bm0。显然得到一个mm单位矩阵,2020/9/5,80,得出基可行解和相应目标函数值,以B 作为可行基，将（1.15）每个等式移项得,（1.16）,令,2

30、020/9/5,81,如果令：,目标函数Max，检验数 0，当前目标函数值为最大值。 如果目标函数Min?,（1.18）,检验数,（1.17）,2020/9/5,82,2.单纯形表,2020/9/5,83,3.单纯形法的基本法则 法则1-1 最优性判定法则 若对于基可行解Xj, 所有检验数j0 ，则Xj,为最优解。,证:由公式,可知 , 当所有检验数j0 ，总有,而当,则为X1为最优解。,2020/9/5,84,法则1-2 换入变量确定法则 原则上，换入变量可在具有正检验数的非基变量中任意选取，但通常的方法是选取一个具有正检验数最大的非基变量作为换入变量，称之为最大准则。其目的是使目标函数值增

31、加的较快，以有可能减少迭代次数。 法则1-3 换出变量确定法则 为保证新基为可行基，换出 变量不能任意选取，按最小准则。 法则1-4 换基叠代运算法则,2020/9/5,85,3.3单纯形法的计算步骤,例1.15 用单纯形法求下列线性规划的最优解,解：1）将问题化为标准型，加入松驰变量x3、x4则标准型为:,2020/9/5,86,2）求出线性规划的初始基可行解，列出初始单纯形表。,检验数,2020/9/5,87,3）进行最优性检验,如果表中所有检验数 ，则表中的基可行解就是问题的最优解，计算停止。否则继续下一步。,4）从一个基可行解转换到另一个目标值更大的基可行解，列出新的单纯形表,确定换入

32、基的变量。选择 ，对应的变量xj作为换入变量，当有一个以上检验数大于0时，一般选择最大的一个检验数，即： ，其对应的xk作为换入变量。 确定换出变量。根据下式计算并选择 ，选最小的对应的基变量XL作为换出变量。,2020/9/5,88,用换入变量XK替换原基变量中的换出变量XL，得到一个新的基。把约束方程组变换为对新基变量的解出形式，使得变量XK的系数列向量成为单位向量。对单纯形表的CB列和XB列作适当调整，再计算检验数，就得到下一张单纯形表。 5）重复3）、4）步直到计算结束为止。,2020/9/5,89,换入列,bi /ai2，ai20,40,10,换出行,将3化为1,5/3,1,18,0

33、,1/3,0,1/3,10,1,1/3,30,30,0,5/3,0,4/3,乘以3/5后得到,1,0,3/5,1/5,18,0,1,1/5,2/5,4,0,0,1,1,70,该行不变，减去同倍系数基准行！,2020/9/5,90,例1.16 用单纯形法求解,解：将数学模型化为标准形式：,不难看出x4、x5可作为初始基变量，列单纯形表计算。,2020/9/5,91,单纯形法的计算步骤,20,x2,2,1/3,1,5,0,1,20,75,3,0,17,1,3,1/3,0,9,0,2,25,60,x1,1,1,0,17/3,1/3,1,25,0,1,28/9,-1/9,2/3,35/3,0,0,-9

34、8/9,-1/9,-7/3,2020/9/5,92,3.4单纯形法的矩阵描述,考虑标准形式的线性规划： max z=CX AX=b X0 设B为一个基，占据A的前m列，其它n-m列组成的子矩阵用N表示，A=（B N）。对于列向量X与行向量C做对应的分块：X=（XB XN）T，C=（CB CN）。 XB， XN分别是由基变量与非基变量组成的向量， CB与CN是对应的系数向量。,2020/9/5,93,代入目标函数中，得到 z = （ cB cN ） = cB XB + cN xN =cB（B-1b B-1NxN ）+ cN xN = cBB-1b+(cN -cBB-1N)xN,XB xN,设B为

35、可行基，于是有基可行解 对应目标函数值 z1 = cBB-1b,（1.19）,由式（1.19）可知，非基变量的检验数为 N=(cN -cBB-1N) 对于基变量XB ，检验数 B=0 ，而cB -cBB-1B=0 ，故所有变量的检验数可以统一在一个公式中： A=(c -cBB-1A) 写成分量形式，任意变量Xj的检验数 j = cj - cBB-1pj,2020/9/5,94,考虑初始基变量是松弛变量的特殊情形,2020/9/5,95,3.5单纯形法解的判定 唯一最优解：所有非基变量的检验数j 0 ，但aik 0 ，即xk的系数列向量无正分量，则问题无最优解。,2020/9/5,96,2020

36、/9/5,97,无穷多最优解情况,第一表的解为最优解 X1* = (4, 2, 0, 0, 4) T，Z*=16；,第二表的解也为最优解 X1* = (2, 3, 0, 8, 0) T，Z*=16；,2020/9/5,98,无界解情况 例用单纯形表求下列线性规划： max z = 4x1 + x2 s.t. x1 + x2 2 x1 4x2 4 x1 2x2 8 x1 , x2 0,2020/9/5,99,c 4 1 0 0 0 cB xB b x1 x2 x3 x4 x5 0 x3 2 -1 1 1 0 0 0 x4 4 1 -4 0 1 0 4 0 x5 8 1 -2 0 0 1 8 j

37、0 4 1 0 0 0,2020/9/5,100,c 4 1 0 0 0 cB xB b x1 x2 x3 x4 x5 0 x3 6 0 -3 1 1 0 4 x1 4 1 -4 0 1 0 0 x5 4 0 2 0 -1 1 2 j 16 0 17 0 -4 0,2020/9/5,101,c 4 1 0 0 0 cB xB b x1 x2 x3 x4 x5 0 x3 12 0 0 1 -1/2 3/2 4 x1 12 1 0 0 -1 2 1 x2 2 0 1 0 -1/2 1/2 j 50 0 0 0 9/2 -17/2,由此，此题为无界解。,2020/9/5,102,2,8,4,6,10

38、,-2,2,4,x1,x2,x1 - 2x2 8,-x1 + x2 2,z = 4x1+x2,-4,-2,x1 - 4x2 4,2020/9/5,103,3.6 求minz的情况 两种处理方式： 一、令z1=-z1,转化为求maxz1； 二、直接计算 最优性检验条件改为：所有j 0； 换人变量确定法则改为：minj | j 0； 单纯形法的其他要点完全相同。,2020/9/5,104,如果线性规划的约束都是 约束，右端常数都大于等于零，其初始可行解很容易找到，松弛变量对应的单位矩阵即是一个初始可行基； 一般线性规划问题的初始可行解不一定很容易找到；这时需要引如人工变量，并使用特殊的方法找到初始

39、可行解。,四 初始可行基的求法人工变量,2020/9/5,105,加入人工变量构造初始基： 把所有约束方程的右端常数调整为大于等于零。 对 约束, 引入松弛变量。 对 约束, 引入一剩余变量和一人工变量。 对 = 约束，引入一人工变量。,2020/9/5,106,例题1.17： max z = 3x1 x2 x3 s.t. x1 2x2 + x3 （）11 -4x1 + x2 +2x3 （ ）3 -2x1 + x3 （=）1 x1,x2, 0,=,+ x7 =,+ x4, x5+ x6,=,大 M 法,通过引入人工变量构成初始基，从而找到一个初始基可行解； 在目标函数中人工变量的系数是任意大正

40、数 M的相反数-M； 用线性规划的优化机制迫使人工变量出基； 如果无法使人工变量出基，原问题无 可行解。,Mx6 Mx7,x3,x4,x5,x6,x7,2020/9/5,107,3-6M,-1+M,-1+3M,0,-M,0,0,1,-1+M,0,0,-M,0,-3M+1,2020/9/5,108,1,0,0,0,-1,-M+1,-M-1,0,0,0,-1/3,-1/3,-M+1/3,-M+2/3,2020/9/5,109,例题： min z = 2x1 + 3x2 s.t. 2x1 + x2 （） 16 x1 + 3x2 （ ） 20 x1 + x2 （=） 10 x1, x2 0,=,+ x

41、6 =,+ x4,- x3,+ x5,=, x3, x4, x5, x6 0,+Mx5,+Mx6,通过引入人工变量构成初始基，从而找到一个初始基可行解； 在目标函数中赋予人工变量任意大的正系数 M； 用线性规划的优化机制迫使人工变量出基； 如果无法使人工变量出基，原问题无 可行解。,2020/9/5,110,2-2M,3-4M,1-2/3M,1-1/3M,4/3M-1,2020/9/5,111,Cj,-3 -2 -1 0 0 0 -M -M,CB,XB,b,x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8,0 -M -M,x4 x7 x8,6 4 3,1 1 1 1 0 0 0 0 1 0 -1

42、 0 -1 0 1 0 0 1 -1 0 0 -1 0 1,6/1 - 3/1,j,-7M,-6-4M,-15-M,-3+M -2+M -1-2M 0 -M -M 0 0,0 -M -2,x4 x7 x2,3 4 3,1 0 2 1 0 1 0 -1 1 0 -1 0 -1 0 1 0 0 1 -1 0 0 -1 0 1,3/1 4/1 -,j,j,-3+M 0 -3-M 0 -M -2 0 2-M,-3 -M -2,x1 x7 x2,3 1 3,1 0 2 1 0 1 0 -1 0 0 -3 -1 -1 -1 1 1 0 1 -1 0 0 -1 0 1,0 0 3-3M 3-M -M 1-M

43、 0 -1,例,运算到检验数全负为止，仍含有人工变量，无可行解。,大M法下无可行解情况,2020/9/5,112,无最优解 与 无可行解 是两个不同的概念。 无可行解是指原规划不存在可行解，从几何的角度解释是指 线性规划问题的可行域为空集； 无最优解则是指线性规划问题存在可行解，但是可行解的目 标函数达不到最优值，即目标函数在可行域内可以趋于无穷大（或者无穷小）。无最优解也称为有限最优解，或无界解。 判别方法：无最优解判别定理 在求解极大化的线性规划问题过程中，若某单纯形表的检验 行存在某个大于零的检验数，但是该检验数所对应的非基变量 的系数列向量的全部系数都为负数或零，则该线性规划问题 无最

44、优解,2020/9/5,113,因 但 所以原问题无最优解,2020/9/5,114,五 线性规划应用,线性规划建模 设立决策变量； 明确约束条件并用变量的线性等式或不等式表示； 用变量的线性函数表示目标，并确定是求极小还是极大； 根据变量的物理性质研究变量是否有非负性 有时根本无法用变量的线性函数来描述目标函数或约束条件，在这种情况下，可以尝试增加一些变量或重新设定变量,2020/9/5,115,合理利用线材问题：如何下料使用材最少。 配料问题：在原料供应量的限制下如何获取最大利润。 投资问题：从投资项目中选取方案，使投资回报最大。 产品生产计划：合理利用人力、物力、财力等，使获利最大。 劳

45、动力安排：用最少的劳动力来满足工作的需要。 运输问题：如何制定调运方案，使总运费最小。,常见问题,2020/9/5,116,生产计划问题,用若干种原材料（资源）生产某几种产品，原材料（或某种资源）供应有一定的限制，要求制定一个产品生产计划，使其在给定资源限制条件下能得到最大收益。,2020/9/5,117,解 设生产产品Aj的数量为xj,2020/9/5,118,生产计划问题,例题1.20 每生产一吨B，可得到两吨产品C 销售一吨C盈利300元 报废每吨C损失200元 市场预测，C最大销量为5吨 决定A，B的产量，使工厂总的盈利最大。,2020/9/5,119,例1.20 设A，B产品的生产量

46、分别为x1和x2 工序1工时 2x1 3x215 工序2工时 3x1 4x225,C产品数量 2x2,C产品销量x3 ,报废量x4,C产品销售量 x3 5,利润总值 Z=400 x1 +800 x2 +300 x3 -200 x4,-x3- x4=0,非负约束 x1，x2，x3，x4,2020/9/5,120,例1.20,最优解x1=3.75，x2=2.5，x3=5, x4=0 最优值=5000,2020/9/5,121,例题1.21 产品2个零件1+3个零件2,生产计划问题,2020/9/5,122,例1.21 车间1工时约束 x11x12100 车间2工时约束 x21x2250 车间3工时

47、约束 x31x3275 零件1生产数量 8x11+10 x21+16x31 零件2生产数量 6x12+15x22+21x32 非负约束x ij 0 产品数量: min4x11+5x21+8x31, 2x12+5x22+7x32,y,2y 8x11+10 x21+16x31 3y 6x12+15x22+21x32 目标函数max Z=y,2020/9/5,123,例1.21,最优解x11=100，x12=0 x21=0, x22=50 x31=25, x32=50 最优值y=600,2020/9/5,124,合理下料问题,从给定尺寸的材料中，按需要的尺寸截取给定数量的零件，使残余废料总量最小的问题。 三维（积材）下料问题 长、宽、高 二维（面料）下料问题 长、宽 一维（线材）下料问题 长,2020/9/5,125,合理下料问题,例题1.22 用长9米的原料截取 3.1米 200根 2.5米 100根 1.7米 300根,2020/9/5,126,例1.22 设用第j种方案下料xj根,任务：2x1 +2x2 +x3 +x4 +x5 = （）200 x1 +2x3 +x4 +3x6 +2x7 +x8 = （） 100 x2 +2x4 +3x5 +2x7 +3x8 +5x9 = （） 300 目标：