第三章导数的应用.ppt

1、第一节 柯西（Cauchy）中值定理与 洛必达（LHospital）法则,第二节 拉格朗日（Lagrange）中值定理 及函数的单调性,*第四节 曲 率,第三节 函数的极值与最值,第五节 函数图形的描绘,*第六节 一元函数微分学在经济上的应用,第三章 导数的应用,第一节 柯西（Cauchy）中值定理与 洛必达（LHospital）法则,一、 柯西中值定理,二、 洛必达法则,使得,一、 柯西中值定理,柯西定理的几何意义:,注意:,弦的斜率,切线斜率,二、洛必达法则,例1. 求,解:,原式,注意: 不是未定式不能用洛必达法则 !,未用洛必达法则,应用洛必达法则,应用洛必达法则,在使用洛必达法则时，

2、应注意如下几点：,例4. 求,解:,原式,例6. 求,解: (1) n 为正整数的情形.,原式,例6. 求,(2) n 不为正整数的情形.,从而,由(1),用夹逼准则,存在正整数 k , 使当 x 1 时,例4.,例6.,说明:,1) 例4 , 例6 表明,时,后者比前者趋于,更快 .,例如,而,用洛必达法则,2) 在满足定理条件的某些情况下洛必达法则不能解决 计算问题 .,3) 若,例如,极限不存在,三、其他未定式:,解决方法:,通分,取倒数,取对数,例7. 求,解: 原式,解: 原式,例8. 求,通分,取倒数,取对数,例9. 求,解:,利用 例7,通分,取倒数,取对数,例10. 求,解:,

3、注意到,原式,内容小结,洛必达法则,思考与练习,1. 设,是未定式极限 , 如果,不存在 , 是否,的极限也不存在 ?,举例说明 .,极限,原式,分析:,分析:,3.,原式,作业 P86 1.(2)(3)(5)(6)(7) 2.,谢谢同学们,第二节 拉格朗日（Lagrange）中值定理及函数的单调性,一、 拉格朗日中值定理,二、 两个重要推论,三、 函数的单调性,一、拉格朗日中值定理,拉格朗日中值定理几何演示,.,.,.,.,.,.,.,二、两个重要推论,例1 证明恒等式,证: 令,因为,所以,依据推论1,对定义域内的任意 成立,取 得,即,自己证明,三、函数的单调性,例3. 确定函数,的单调

4、区间.,解:,令,得,故,的单调增区间为,的单调减区间为,说明:,单调区间的分界点除驻点外,也可是导数不存在的点.,例如,2) 如果函数在某驻点两边导数同号, 则不改变函数的单调性 .,例如,例4 证明不等式,令,则,从而,即,例5 证明不等式,2 罗尔(Rolle)中值定理是微分中值定理中一个最基本的定理仔细阅读下面给出的罗尔中值定理的条件与结论,并回答所列问题,作业 P86 5. 6.(1),二、最大值与最小值问题,一、函数的极值及其求法,第三节,函数的极值与最值,复习,一、函数的极值及其求法,定义:,在其中当,时,(1),则称 为 的极大点 ,称 为函数的极大值 ;,(2),则称 为 的

5、极小点 ,称 为函数的极小值 .,极大点与极小点统称为极值点 .,定理 1 (极值的第一充分条件),且在空心邻域,内有导数,注意:,为极大点,为极小点,不是极值点,2) 对常见函数, 极值可能出现在导数为 0 或 不存在的点.,1) 函数的极值是函数的局部性质.,例如,为极大点 ,是极大值,是极小值,为极小点 ,例1. 求函数,的极值 .,解:,1) 求导数,2) 求极值可能点,令,得,令,得,3) 列表判别,是极大点，,其极大值为,是极小点，,其极小值为,定理2 (极值第二充分条件),二阶导数 , 且,则 在点 取极大值 ;,则 在点 取极小值 .,例3. 求函数,的极值 .,解: 1) 求

6、导数,2) 求驻点,令,得驻点,3) 判别,因,故 为极小值 ;,又,故需用第一判别法判别.,二、最大值与最小值问题,则其最值只能,在极值点或端点处达到 .,求函数最值的方法:,(1) 求 在 内的极值可能点,(2) 最大值,最小值,特别:,当 在 内只有一个极值可能点时,当 在 上单调时,最值必在端点处达到.,若在此点取极大 值 , 则也是最大 值 .,(小),对应用问题 , 有时可根据实际意义判别求出的,极值可能点是否为最大 值点或最小值点 .,(小),( k 为某一常数 ),例6. 铁路上 AB 段的距离为100 km , 工厂C 距 A 处20,AC AB ,要在 AB 线上选定一点

7、D 向工厂修一条,已知铁路与公路每公里货运价之比为 3:5 ,为使货,D 点应如何选取?,解: 设,则,令,得,又,所以 为唯一的,极小点 ,故 AD =15 km 时运费最省 .,总运费,物从B 运到工厂C 的运费最省,从而为最小点 ,问,Km ,公路,例7. 把一根直径为 d 的圆木锯成矩形梁 ,问矩形截面,的高 h 和 b 应如何选择才能使梁的抗弯截面模量最大?,解: 由力学分析知矩形梁的抗弯截面模量为,令,得,从而有,即,由实际意义可知 , 所求最值存在 ,驻点只一个,故所求,结果就是最好的选择 .,用开始移动,例8. 设有质量为 5 kg 的物体置于水平面上 , 受力 作,解: 克服

8、摩擦的水平分力,正压力,即,令,则问题转化为求,的最大值问题 ., 为多少时才可使力,设摩擦系数,的大小最小?,令,解得,而,因而 F 取最小值 .,解:,即,令,则问题转化为求,的最大值问题 .,清楚(视角 最大) ?,观察者的眼睛1.8 m ,例9. 一张 1.4 m 高的图片挂在墙上 , 它的底边高于,解: 设观察者与墙的距离为 x m ,则,令,得驻点,根据问题的实际意义, 观察者最佳站位存在 ,唯一,驻点又,因此观察者站在距离墙 2.4 m 处看图最清楚 .,问观察者在距墙多远处看图才最,内容小结,1. 连续函数的极值,(1) 极值可能点 :,使导数为0 或不存在的点,(2) 第一充

9、分条件,过,由正变负,为极大值,过,由负变正,为极小值,(3) 第二充分条件,为极大值,为极小值,最值点应在极值点和边界点上找 ;,应用题可根据问题的实际意义判别 .,2. 连续函数的最值,作业,P87 7. 8 9.(2) 10,一、曲率的概念,二、曲率的计算,*第四节 曲 率,一、曲率的概念,二、曲率的计算,一、曲线的凹向及其判别法,二、拐点及其求法,三、曲线的渐近线,四、函数作图的一般步骤,第五节 函数图形的描绘,一、曲线的凹向及其判别法,二、拐点及其求法,例3. 判断曲线,的凹凸性.,解:,故曲线,在,上是向上凹的.,说明:,1) 若在某点二阶导数为 0 ,2) 根据拐点的定义及上述定

10、理, 可得拐点的判别法如下:,若曲线,或不存在,的一个拐点.,则曲线的凹凸性不变 .,在其两侧二阶导数不变号,例4. 求曲线,的拐点.,解:,不存在,因此点 ( 0 , 0 ) 为曲线,的拐点 .,凹,凸,例5. 求曲线,的凹凸区间及拐点.,解:,1) 求,2) 求:拐点可能点坐标,令,得,对应,3) 列表判别,故该曲线在,及,上向上凹,向下凹,点 ( 0 , 1 ) 及,均为拐点.,凹,凹,凸,三、曲线的渐近线,例6. 求曲线,的渐近线 .,解:,又因,为曲线的斜渐近线 .,二、函数图形的描绘,步骤 :,1. 确定函数,的定义域 ,期性 ;,2. 求,并求出,及,3. 列表判别增减及凹凸区间

11、 , 求出极值和拐点 ;,4. 求渐近线 ;,5. 确定某些特殊点 , 描绘函数图形 .,为 0 和不存在,的点 ;,并考察其对称性及周,例8. 描绘,的图形.,解: 1) 定义域为,无对称性及周期性.,2),3),(拐点),4),例9. 描绘函数,的图形.,解: 1) 定义域为,图形对称于 y 轴.,2) 求关键点,3) 判别曲线形态,(极大),(拐点),(极大),(拐点),为水平渐近线,5) 作图,4) 求渐近线,作业 P87 15. 16. 17.,第六节 一元函数微分学在经济上的应用,一、成本函数与收入函数,二、边际分析,三、弹性与弹性分析,一、成本函数与收入函数,二、边际分析,三、弹

12、性与弹性分析,思考题,本章提要 1. 基本概念 未定型,极值点,驻点,尖点,可能极值点 极值,最值,曲率,上凹,下凹,拐点,渐近线, 水平渐近线,铅直渐近线,2. 基本方法 用洛必达法则求未定型的极限； 函数单调性的判定； 单调区间的求法；, 可能极值点的求法与极大值（或极小值） 的求法；, 连续函数在闭区间上的最大值及最小值的求法； 求实际问题的最大（或最小）值的方法； 曲线的凹向及拐点的求法； 曲线的渐近线的求法； 一元函数图像的描绘方法,3. 定理,柯西中值定理,拉格朗日中值定理,罗尔中值定理, 洛必达法则,函数单调性的判定定理, 极值的必要条件,极值的第一充分条件, 极值的第二充分条件

13、,曲线凹向的判别法则,问题1 在函数单调性判别定理中, 定理的假设条件除了要求,在开区间,内有确定符号（大于零或小于零）外,还特别要求,在闭区间,上连续,它与定理结论中的函数,在闭区间,上单调（单增或单减）有何联系？ 在利用该定理考虑有关问题时,将闭区间,一律写成开区间,行吗？,解析 对于该定理,在开区间,内存在并有确定的符号是不容易被忽视,的容易忽视的是,的单调区间究竟是,或,中哪一种形式？这从,该定理的证明过程中可知,在上述四个区间中,哪一个区间上连续,则,就是在相应,区间上单调（单增或单减）,在利用该定理求解问题时,应特别注意定理的条件,与结论的对应,不能忽视,在区间,的端点处的性态,例1 证明当,时，,证 令,，则,在,上连续,且在,内，,，,由单调性判断定理知,在,上单调增加,所以,当,时,有,，即,，,所以,时,有,三.例题精解,例2求出函数,的单调区间,