2019高考数学二轮复习 第6讲 三角恒等变换与解三角形课件 理.ppt

1、第6讲三角恒等变换与解三角形,总纲目录,考点一三角恒等变换,1.两角和与差的正弦、余弦、正切公式 (1)sin()=sin cos cos sin ; (2)cos()=cos cos sin sin ; (3)tan()=.,2.二倍角的正弦、余弦、正切公式 (1)sin 2=2sin cos ; (2)cos 2=cos2-sin2=2cos2-1=1-2sin2; (3)tan 2=.,例(2018四川成都第一次诊断性检测)已知sin =, 则cos的值为() A.B.C.D.,答案A,解析sin =,cos =, sin 2=2sin cos =2=, cos 2=1-2sin2=1-

2、2=1-=, cos=-=.,方法归纳,三角恒等变换的“4大策略” (1)常值代换:特别是“1”的代换,1=sin2+cos2=tan 45等; (2)项的拆分与角的配凑:如sin2+2cos2=(sin2+cos2)+cos2,=(-)+等; (3)降次与升次:正用二倍角公式升次,逆用二倍角公式降次; (4)弦、切互化:一般是切化弦.,1.若=-,则sin的值为() A.B.- C.D.-,答案C=-2sin=-,所以sin =.,2.已知tan=2,tan=-3,则tan(-)=() A.1B.-C.D.-1,答案Dtan=tan=tan=-3,而-= -,所以tan(-)=tan= =-

3、1.故选D.,考点二正弦定理与余弦定理,1.正弦定理及其变形 在ABC中,=2R(R为ABC的外接圆半径). 变形:a=2Rsin A,sin A=, abc=sin Asin Bsin C.,2.余弦定理及其变形 在ABC中,a2=b2+c2-2bccos A, b2=a2+c2-2accos B, c2=a2+b2-2abcos C. 变形:b2+c2-a2=2bccos A,cos A=, a2+c2-b2=2accos B,cos B=, a2+b2-c2=2abcos C,cos C=.,3.三角形面积公式 SABC=absin C=bcsin A=acsin B.,命题角度一:利用

4、正(余)弦定理进行边角计算,例1(2018课标全国,17,12分)在平面四边形ABCD中,ADC=90,A=45,AB=2,BD=5. (1)求cosADB; (2)若DC=2,求BC.,解析(1)在ABD中,由正弦定理得=. 由题设知,=,所以sinADB=. 由题设知,ADB90,所以cosADB=. (2)由题设及(1)知,cosBDC=sinADB=. 在BCD中,由余弦定理得 BC2=BD2+DC2-2BDDCcosBDC =25+8-252 =25.,所以BC=5.,方法归纳,正、余弦定理的适用条件 (1)“已知两角和一边”或“已知两边和其中一边的对角”应采用正弦定理. (2)“已

5、知两边和这两边的夹角”或“已知三角形的三边”应采用余弦定理.,【注意】应用定理要注意“三统一”,即“统一角、统一函数、统一结构”.,例2在ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,已知c=,sin A= sin C,cos 2A=-. (1)求a的值; (2)若角A为锐角,求b的值及ABC的面积.,命题角度二:利用正(余)弦定理进行面积计算,解析(1)在ABC中, 因为c=,sin A=sin C, 由=,得a=c=3. (2)由cos 2A=1-2sin2A=-得,sin2A=. 由0A得,sin A=,则cos A=, 由余弦定理a2=b2+c2-2bccos A, 得(3)2=b2+

6、()2-2b, 化简得,b2-2b-15=0,解得b=5或b=-3(舍).,所以SABC=bcsin A=5=.,方法归纳,三角形面积公式的应用原则 (1)对于面积公式S=absin C=acsin B=bcsin A,一般是已知哪 一个角就使用哪一个公式. (2)与面积有关的问题,一般要用到正弦定理或余弦定理进行边和角的转化.,例3某新建的信号发射塔的高度为AB,且设计要求为29米AB29.5米.为测量塔高是否符合要求,先取与发射塔底部B在同一水平面内的两个观测点C,D,测得BDC=60,BCD=75,CD=40米,并在点C处的正上方E处观测发射塔顶部A的仰角为30,且CE=1米,则发射塔高

7、AB=() A.(20+1)米B.(20+1)米 C.(40+1)米D.(40+1)米,命题角度三:正、余弦定理的实际应用,答案A,解析过点E作EFAB,垂足为F,则EF=BC,BF=CE=1米,AEF=30,在BDC中,由正弦定理得BC=20 (米).在RtAEF中,AF=EFtanAEF=20=20(米),所以 AB=AF+BF=(1+20)米,符合设计要求.故选A.,方法归纳,解三角形实际问题的步骤,1.在ABC中,若A,B,C成等差数列,且AC=,BC=2,则A=() A.135B.45C.30D.45或135,答案B因为A,B,C成等差数列,所以B=60.由正弦定理,得 =,则sin

8、 A=.又ACBC,所以60A,故A=45.故选B.,2.(2018课标全国,9,5分)ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若ABC的面积为,则C=() A.B.C.D.,答案C本题考查解三角形及其综合应用. 根据余弦定理得a2+b2-c2=2abcos C, 因为SABC=,所以SABC=, 又SABC=absin C, 所以tan C=1,因为C(0,), 所以C=.故选C.,3.(2018河南郑州第一次质量检测)在ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且2ccos B=2a+b. (1)求角C; (2)若ABC的面积S=c,求ab的最小值.,解析(1)解法一:由2cco

9、s B=2a+b及余弦定理, 得2c=2a+b, 得a2+c2-b2=2a2+ab,即a2+b2-c2=-ab, cos C=-, 又0C,C=. 解法二:=, 由已知可得2sin Ccos B=2sin A+sin B, 则有2sin Ccos B=2sin(B+C)+sin B,2sin Bcos C+sin B=0,B为三角形的内角,sin B0,cos C=-. C为三角形的内角,C=. (2)S=absin C=c,sin C=,c=ab. 又c2=a2+b2-2abcos C=a2+b2+ab,=a2+b2+ab3ab,ab12, 当且仅当a=b时取等号.故ab的最小值为12.,考

10、点三解三角形与三角函数的交汇问题,例设函数f(x)=cos2x-sin xcos x+. (1)求f(x)在上的值域; (2)已知ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若f(B+C)=,a=,b +c=7,求ABC的面积.,解析(1)f(x)=cos2x-sin xcos x+ =cos+1, 因为x,所以2x+, 所以-cos1, 所以cos+12, 所以函数f(x)在上的值域为. (2)由f(B+C)=cos+1=,得cos=, 又A(0,),得A=, 在ABC中,由余弦定理,得 a2=b2+c2-2bccos=(b+c)2-3bc, 又a=,b+c=7,所以5=49-3bc,解得

11、bc=, 所以ABC的面积S=bcsin=.,方法归纳,与解三角形有关的交汇问题的关注点 (1)根据条件恰当选择正弦、余弦定理完成边角互化. (2)结合三角形内角和定理、面积公式等,灵活运用三角恒等变换公式.,已知向量a=,b=(-sin x,sin x),f(x)=ab. (1)求函数f(x)的最小正周期及f(x)的最大值; (2)在锐角ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若f=1,a=2, 求ABC面积的最大值.,解析(1)易得a=(-sin x,cos x), 则f(x)=ab=sin2x+sin xcos x =-cos 2x+sin 2x=sin+, 所以f(x)的最小正周期T=, 当2x