CAU 考研资料包 无机化学 2-5

1、第五节 矩阵的初等变换,一、矩阵的初等变换 二、初等矩阵 三、小结,引例:,一、矩阵的初等变换,求解线性方程组,分析：用消元法解下列方程组的过程,解：,1,3,4,2,用“回代”的方法求出解：,2,4,3,+,3,2,4,+,4,2,4,3,于是解得,.,为任意取值,其中,总结：,1上述解方程组的方法称为消元法,2始终把方程组看作一个整体变形，用到如下三种变换,（1）交换方程次序；,（2）以不等于0的数乘某个方程；,（3）一个方程加上另一个方程的k倍,3上述三种变换都是可逆的,定义1,下面三种变换称为矩阵的初等行(列)变换:,矩阵的初等列变换与初等行变换统称为初等变换,(3)把某一行（列）所有

2、元素的k倍加到另一行对应的元素上去（第j行（列）的k 倍加到第i行上，记作,矩阵的等价关系具有如下性质：,（1）反身性 AA；,若AB，则BA；,（2）对称性,（3）传递性,若AB，BC,则AC.,用矩阵的初等行变换 解方程组（1）：,.,4,称为行阶梯形矩阵,矩阵,B,特点：,（1）可划出一条阶梯线，线的下方全为零；,（2）每个台阶 只有一行，,台阶数即是非零行的行数，阶梯线的竖线后面的第一个元素为非零元，即非零行的第一个非零元,由方程组（B4）得到解的回代过程也可以用矩阵的初等行变换来实现，即,B5对应的方程组为,取x4为自由变量,，令,，得到方程组的解为,其中c为任意常数.,注意：行最简

3、形矩阵是由方程组唯一确定的，行阶梯形矩阵的行数也是由方程组唯一确定的,对行最简形矩阵再施以列初等变换，可得标准形矩阵,特点：,所有与矩阵 等价的矩阵组成的一个集合，称为一个等价类，标准形 是这个等价类中最简单的矩阵.,例1,设,把矩阵,化成行最简形.,解：对矩阵,作初等行变换,求逆矩阵的新方法:,若把矩阵(A,E),的行最简形记作(E,X),则,二、初等矩阵,定义2 单位矩阵E 经过一次初等变换得到的矩阵， 称为初等矩阵,1. 对调两行或对调两列,).,(,),(,(,i,j,n,kc,c,j,k,i,A,A,k,ij,E,+,列上,加到第,列乘,的第,把,，其结果相当于,右乘矩阵,类似地，以

4、,+,=,mn,mi,mi,mj,m,n,i,n,n,a,a,ka,a,a,a,a,a,a,a,k,j,AE,L,L,L,L,L,L,L,L,L,L,L,L,L,1,2,2,+,i,j,ka,a,2,2,21,1,11,), i),(,(,性质1 设A是一个 矩阵，对A施行一次初等行变换，相当于在A的左边乘以相应的m阶初等矩阵；对A施行一次初等列变换，相当于在A 的右边乘以相应的m 阶初等矩阵.,初等变换,初等矩阵,初等逆变换,初等逆矩阵,性质2 方阵,可逆的充分必要条件是存在有限个初等,，使得,方阵,证：充分性,设,必要性,设n阶方阵A可逆，并设A的标准形为F, 由于,，存在初等矩阵,，使,由于A可逆，初等矩阵可逆，故F可逆.否则，若,则|F|=0，与F可逆矛盾,故,即F=E.,定理得证.,从而,定理3 设,为,矩阵，则,（1）,的充分必要条件是存在,阶可逆矩阵,，使,；,（2）,的充分必要条件是存在,阶可逆矩阵,，使,；,（3）,的充分必要条件是存在,阶可逆矩阵,和,阶可逆矩阵,，使,利用初等变换求逆阵的方法：,解,例2,即,初等行变换,利用初等变换求解矩阵方程的方法:,例3,解,1.初等行(列