高等固体物理-第五章-晶格振动与晶体的热学性质

1、9/12/2020 10:22:58 PM,北京航空航天大学研究生课程 高等固体物理 Advanced Solid State Physics,授课人：,前言,1907年，爱因斯坦发表了题为“普朗克辐射理论与比热的理论”，第一次提出比热的理论。更重要的，第一次提出经典力学的点阵振动和量子力学的谐振子能级可以对应。 1912年，彼得德拜认识到，爱因斯坦提出的比热公式在极低温下与实验不符合，是因为没有考虑到晶体中的原子振动频率不是单一的。后来德拜通过谐振理论求得近似的原子振动的频率分布，得到与实验更加符合的比热公式。 1912年，波恩和卡门发表了题为“论空间点阵的振动的论文”。提出晶体中原子振动应

2、该是以点阵波的形式存在，是点阵动力学的奠基之作。 1920-1950年，点阵动力学被应用到晶体的热力学性质、热传导、电导、介电、光学和X射线衍射等诸多方面。比较完整地总结在波恩和黄昆的书“晶格动力学理论”中（1954年出版）。 1950年前后，发展了测量点阵动力学性质的实验：中子散射。,教学要求与目的：掌握一维链的振动（单原子链、双原子链）、声学支、光学支、色散关系；掌握格波、简正坐标、声子、声子振动态密度、长波近似等概念；熟练掌握固体热容：爱因斯坦模型、德拜模型的推导过程及其物理涵义。,高等固体物理,课程教材及主要参考书：,1、黄昆原著，韩汝琦改编 ,固体物理，高教出版社，1988,晶格振动

3、与晶体的热学性质,1、简谐近似与简正坐标 2、一维单原子链 3、一维双原子链 4、确定晶格振动的实验方法 5、晶格的热传导,目录（contents）,5。1 简谐近似与简正坐标,知识铺垫,晶体中的格点表示原子的平衡位置。,晶格振动就是指原子在格点附近的振动。,晶格振动与晶体的热学性质、电学性质、光学性质、超导电性、磁性、结构相变有密切关系。,晶格振动是研究固体宏观性质和微观过程的重要基础。,Beihang University,2020/9/12,Beihang University,2020/9/12,经典力学中，将力学体系自平衡位置产生微小偏移后发生的运动称为小振动问题。,晶格振动就是典型

4、的多质点小振动问题。,处理小振动问题可以采用简谐近似（忽略能量三阶以上的微分项）。,经典力学中，对于多质点振动问题，在简谐近似下引入简正坐标，可以将其转化为单质点振动问题。,2020/9/12,* 简正坐标和简正频率,耦合振动问题,光滑桌面,从经典力学的观点，晶格振动是典型的小振动问题，凡是力学体系自平衡位置发生微小偏移时，该力学体系的运动都是小振动。这里以平面耦合振动推导晶格振动物质波在简正空间的运动方程，作为晶格振动在这部分的理论基础。,Beihang University,2020/9/12,* 简正坐标和简正频率,设两轻质弹簧的模量分别为k和K，则耦合振动的两质点运动方程：,由这两个方

5、程可看出，每个振子的加速度都与另一振子的位置有关，它们的运动彼此相关联，即两振子之间存在着耦合。,分别把上述两微分方程相加和相减，得:,Beihang University,2020/9/12,* 简正坐标和简正频率,Beihang University,2020/9/12,* 简正坐标和简正频率,简正模和简正频率,两个耦合质点的振动问题可化为两个独立变量q1和q2的振动方程，描述了耦合振子系统的两种独立的运动，即简正模。 它们对应的频率为简正频率，这两个独立变量q1和q2称为简正坐标。,简正坐标：,简正频率：,Beihang University,2020/9/12,* 简正坐标和简正频率,

6、简正模式,一个简正模式是所有质点共同参与的振动，且振动频率相同，是一种集体运动模式； 一个质点的运动是它参与的所有简正模的叠加； 简正模式之间是彼此相互独立的； 若质点系统的自由度为N，则有N个简正模和N个相应的简正频率。,Beihang University,2020/9/12,* 简谐近似和简正坐标,考虑由N个原子组成的晶体,第n个原子的平衡位置的位置矢量,设它偏离平衡位置的位移矢量,则原子的位置矢量,N个原子的位移矢量共有3N个分量,N个原子体系的势能函数在平衡位置按泰勒级数展开,Beihang University,2020/9/12,* 简谐近似和简正坐标,N个原子体系的势能函数在平

7、衡位置按泰勒级数展开,忽略高阶项,作为简谐近似处理，,即在平衡位置,则系统的势能函数,系统的动能函数,系统的哈密顿量,Beihang University,2020/9/12,* 简谐近似和简正坐标,简正坐标 - Q1, Q2, Q3, Q3N,可以证明，位移坐标和简正坐标存在线性变换关系：,使系统的哈密顿量可表示为：,系统的拉格朗日函数,正则动量：,正则方程：,3N个独立的简谐振动方程,为了使系统的势能函数和动能函数具有简单的形式，即化为平方项而无交叉项，使哈密顿方程得到简化，引入简正坐标，,Beihang University,2020/9/12,* 简谐近似和简正坐标,3N个独立的简谐振

8、动方程,上面方程的解：,简正振动,：晶体中所有原子参与振动，振动频率相同。,简正振动模,：一个简正坐标所表示的振动。,简正坐标的定义：,是振动圆频率，当只考察一个 的振动时，其振动方程可以表示为，,Beihang University,* 简谐近似和简正坐标,误区指引,简正坐标代表的是粒子的集体运动，而不是哪一个原子的运动，每一个简正坐标代表每个粒子的独立运动。 振子并不是组成固体的真实粒子，振子的振动代表简正坐标的振动，不是真实粒子的振动，简正坐标振动的圆频率表示格波的频率。 N个原子的热振动可看作是一个有3N个独立简谐振动的叠加系统，系统总能量是N个相互独立的谐振子的能量和，即可以把N个粒

9、子组成的相互作用能为V的固体看成是相互独立的3N个谐振子的集合。 在理想情况下，不能脱离晶体格点平衡位置，晶格振动是在平衡位置附近的微小振动。,Beihang University,2020/9/12,5。2 一维单原子链,前面给出的简正坐标和简谐近似仅仅是解决问题的总的思路，但真正求解晶格的振动模是很复杂的事。比如：要了解晶格振动的物理模型、特征等。真正从微观结构导出力常数是固体理论的内容，现在我们给出一种最简单的情况来讨论：一维单原子链模型。 一维单原子链模型的振动既简单可解，又能较全面说明晶格振动的特点。二维、三维振动的特点由一维结论推广得到。 一个一维单原子链可以看作一个一维简单晶格。

10、并满足三个假设， （1）假定原子质量为m； （2）原子限定在原子链方向运动, 偏离格点的位移用n, n+1 表示； （3）假定只考虑最近邻原子的相互作用。,Beihang University,2020/9/12,* 一维单原子原子链,2020/9/12,一维无限原子链,每个原子质量m，平衡时原子间距a。,原子之间的作用力,设第i个原子的位移为i,则第n个原子和第n+1个原子间的距离为a+n+1 -n,a,第n个原子和第n+1个原子间的相对位移为n+1 -n,晶格具有周期性，晶格振动的模具有波的形式，称之为格波。格波和一般连续介质波具有共同的特征，但也具有不同的特点。,Beihang Univ

11、ersity,2020/9/12,平衡位置时，两个原子间的相互作用势为,:常数,平衡位置处,微小振动，势能展开式中只保留到二阶,，即简谐近似。,相邻原子间的作用力,表明存在于相邻原子间的是正比于相对位移的弹性回复力！, : 力常数,Beihang University,2020/9/12,原子的运动方程,只考虑相邻原子的作用，第n个原子受到的作用力,第n个原子的运动方程,上式表示N个联立的线性齐次方程。,Beihang University,2020/9/12,将上面的解带回运动方程，可得：,原子的运动方程,可以证明上面的方程具有如下形式的格波解：,A, 为常数； q为波矢,- 色散关系,可知

12、，只要和q满足上述色散关系，则 nq是原子运动方程的解。,Beihang University,Beihang University,2020/9/12,连续介质中简谐波波动方程,格波方程,格波与连续介质中的简谐波方程具有完全相同的形式。 简谐近似下，格波是简谐波 一个格波表示的是所有原子同时做频率为的振动,横波格波,纵波格波,一个格波解表示所有原子同时频率为w的振动，不同原子间存在位相差。,Beihang University,2020/9/12,格波的意义,格波方程,格波波长,格波相速度,相邻原子间的相位差,2020/9/12,波矢的取值和布里渊区,格波与连续介质波不完全相同。,格波1的波

13、矢,相邻原子的相位差,格波2的波矢,相邻原子的相位差,相邻原子的相位差改变2n，原子的振动状态相同。,格波1和格波2没有任何区别，所有原子的振动完全相同。,Beihang University,玻恩卡门（Born-Karman）周期性边界条件,前面考虑到的运动方程实际上只适用于无穷长的链，因为所有的原子都假设具有相同的运动方程，而一个有限的链两端的原子显然应和内部的原子有所不同。 为了避免这种仅因少数原子而引起耦合方程组的歧化，而使方程的解复杂化，引入波恩卡门模型，它含N个原胞的环状链作为一个有限链的模型，然而保持所有原胞完全等价。,2020/9/12,Beihang University,2

14、020/9/12,玻恩卡门（Born-Karman）周期性边界条件,N 个原子头尾相接形成一个环链，保持了所有原子等价的特点。,N 很大，原子运动近似为直线运动,前面的格波解仍成立。,设第n个原子的位移为,设第N+n个原子的位移为,则,（h个为整数）,2020/9/12,Beihang University,2020/9/12,玻恩卡门（Born-Karman）周期性边界条件,（h个为整数）,格波波矢,格波波矢应限制在,所以,共N个,相邻两个波矢大小的间隔,第一布里渊区的长度,第一布里渊区内容纳的格波数,即,格波数目与体系自由度相等,2020/9/12,Beihang University,格

15、波的色散关系,只有频率在这个范围内的格波才能在晶体中传播，其它频率的格波被强烈衰减。,2020/9/12,Beihang University,2020/9/12,格波的色散关系,连续介质中弹性波的色散关系,格波的长波极限 （ +，q 0),格波传播速度,长波极限下，一维单原子晶格格波可以看做弹性波，,此时晶体可以看成连续介质。,Beihang University,2020/9/12,格波的色散关系,长波极限 （ +，q 0),相邻两个原子的相位差,短波极限 （q qmax=/a),相邻两个原子的相位差,此时原子链可看成连续介质弹性波,Beihang University,2020/9/12

16、,原子位移和简正坐标的关系,第q个格波引起第n个原子位移,则第n个原子的总位移,令,原子坐标和简正坐标的关系,对比可知，这里,下面证明上面定义的Qq是系统的简正坐标。,Beihang University,2020/9/12,原子位移和简正坐标的关系,证明Qq是系统的简正坐标需要下面两个关系式：,(保证原子位移n为实数),(线性变换系数anq满足正交条件),Beihang University,2020/9/12,原子位移和简正坐标的关系,体系哈密顿量,体系哈密顿量对应若干个独立的谐振子哈密顿量之和,一个简正坐标Qq,一个简正坐标Qq对应一个谐振子方程,一个格波(q, q)对应一个谐振子,其能

17、量本征值,Beihang University,Beihang University,2020/9/12,声子,声子phonon: 晶格振动的能量量子；或格波的能量量子,一个格波(q)对应一个谐振子,其能量本征值,一个格波是一种振动模，称为一种声子，能量激发单元为 。,当一个格波的能量处于 时，则该格波含有n个声子。,声子是对晶格振动的量子化描述，晶格振动的问题可以转化为对声子的研究。,当电子（或光子）与晶格振动相互作用，交换能量以 为单元，若电子从晶格中获得 能量，称为吸收一个声子，若电子给晶格贡献 能量，称为发射一个声子。,2020/9/12,声子,声子是对晶格振动的量子化描述。 晶格振动

18、声子体系的研究 声子具有能量和动量，可以看成准粒子，可与电子或光子发生作用； 声子是一种元激发（粒子的集体运动）； 每个振动模式(声子)在简谐近似条件下都是独立的。 声子系总是无相互作用的声子气组成的系统。,Beihang University,2020/9/12,一维双原子复式晶格链，包含质量为M和m两种原子(Mm)，同种原子间距为2a。晶格链共包含N个原胞，即2N个原子。原子链被限制在沿链的方向运动，偏移格点的位移用 表示，仍假设只有相邻原子存在相互作用，互作用能取简谐近似，则运动方程进行如下表示,第2n+1个M原子的方程：,表示相邻原子间的作用常数，类比于弹簧振子模型。,第2n个m原子的

19、方程：,5。3 一维双原子链 光学波和声学波,Beihang University,2020/9/12,设上面的解代入运动方程，得,第2n+1个M原子的方程,第2n个m原子的方程,设上面方程组的解为,Beihang University,2020/9/12,要保证A, B有非零解，则,这就是一维双原子链的色散关系，每一种色散关系代表一种格波解。,- 光学波,- 声学波,Beihang University,2020/9/12,两种格波的振幅,把色散关系 代入上述振动方程，,振幅满足的方程，可以求出相应的A和B的解：,Beihang University,Beihang University,2

20、020/9/12,波矢q的取值,m原子振动方程,M原子振动方程,波矢的取值范围,(第一布里渊区),仍采用Born-Karman周期边界条件,(h取整数),由于q的取值范围是由 ，所以h的取值只能从 ，一共有N个不同的取值。所以有N个原胞组成的一维双原子链，q可以取N个不同的值，每个q对应两个解，总加起来，共有2N个不同的格波，数目正好等于链的自由度，这表明，已得到链的全部振动模。,2020/9/12,总结回顾：,波矢的取值范围,(第一布里渊区),Born-Karman周期边界条件,(h取整数),波矢q的取值间隔,第一布里渊区的线度,第一布里渊区容纳的波矢数,- 原胞数,对应一个q有两支格波（一

21、支声学波和一支光学波）, 总的格波数目为2N 。,晶体包含N个原胞, 每个原胞包含2个原子, 所以原子总数2N。一维运动, 晶体总自由度为2N。,晶体总的格波数=晶体总自由度数,Beihang University,Beihang University,2020/9/12,色散关系,光学支,色散关系,声学支,2020/9/12,声学波和光学波的长波极限,声学波,长波极限,当x很小时,长声学波可看成一维连续介质中的弹性波。,相邻原子的振幅,原胞中的两个原子振动的振幅相同，振动方向一致。,长声学波代表原胞质心的振动，代表原子链的整体振动。,Beihang University,Beihang Un

22、iversity,2020/9/12,声学波和光学波的长波极限,光学波,长波极限,相邻原子的振幅,长光学波中同种原子振动位相一致，异种原子振动相反。,长光学波情况下，原胞的质心保持不动，代表原胞中原子的相对运动。,光学支中，同一种原子具有相同的相位，所以每一种原子形成的格子像一个刚体一样整体振动，当q趋近于0时，两种原子振动有完全相反的位相（向），且保持它们的质心不变。,* 离子晶体中的长光学波,离子晶体中的长光学波有特别重要的作用，因为不同离子间的相对振动产生一定的电偶极矩，从而可以和电磁波产生交互作用。具体分析单声子过程的一级谱，电磁波只和波数相同的格波相互作用，如果它们具有相同的频率就可

23、以发生共振。,Beihang University,2020/9/12,2020/9/12,离子晶体中的长光学波,光波可以激发离子晶体中的格波。,光波的色散关系：,光波,离子晶体的声学波能否利用光波激发？,长声学波色散关系：,只有当入射光波的频率和波矢与格波的相同时，相应的格波才能被激发。,Beihang University,2020/9/12,离子晶体中的长光学波,光波的色散关系：,长声学波色散关系：,估算力常数,体变模量,对离子晶体,所以，光波无法激发离子晶体中的声学波,Beihang University,Beihang University,2020/9/12,离子晶体中的长光学波,

24、光波的色散关系：,长光学波色散关系：,激发所需的光波波长为,-近红外线波段(Near Infrared) (NIR),对应于远红外的光波,5。4 确定晶格振动的实验方法,晶格振动频率与波数矢量之间的函数关系 ，称为格波的色散关系，也称为晶格振动谱。晶体的许多性质和函数 有关，因此确定晶格振动是很重要的。 可以利用波与格波的相互作用，以实验的方法直接测定 。 最重要的实验方法是中子的非弹性散射，即利用中子的德布罗意波与格波的相互作用。另外光的散射和X射线散射等。,晶格振动谱的测定方法： 中子非弹性散射 光子与晶格的非弹性散射 X射线散射,2020/9/12,Beihang University,

25、2020/9/12,晶体散射,能量守恒,动量守恒,如果要使晶体出现强烈散射，则要求：,吸收一个声子 发射一个声子,2020/9/12,Beihang University,2020/9/12,中子非弹性散射法,入射晶体时中子的质量mn，动量 ，能量,出射时中子动量 ，能量,能量守恒,动量守恒,从反应堆出来的慢中子的能量(0。020。04eV)与声子的能量相当，因此散射前后中子的能量变化明显，很容易确定晶格散射过程中激发声子的能量。而其德布罗意波长也与声子波长相当，由动量守恒容易确定声子的波矢，从而测定晶个振动谱。,Beihang University,2020/9/12,中子非弹性散射法,三轴

26、中子谱仪结构示意图,Beihang University,2020/9/12,中子非弹性散射法,Pb的晶格振动谱,Beihang University,2020/9/12,中子非弹性散射法,Si,GaAs,Beihang University,2020/9/12,光子与晶格的非弹性散射,光子与长光学波声子相互作用 光子的拉曼散射,能量守恒,动量守恒,利用可见光或红外光的波矢 107m-1，它只能和布里渊区中心附近很小一部分的长光学波声子发生相互作用,- 拉曼散射,散射与入射光频率位移,Beihang University,2020/9/12,X射线散射,X射线的能量 104eV 远远大于声子能

27、量 10-2eV，所以在实验技术上很难精确地直接测量X光在散射前后的能量差，因此确定声子的能量是很困难的。 X射线光子具有更高的频率(波矢很大)，可以用来研究短波声子的振动谱。,Beihang University,5。5 晶体的热传导,2020/9/12,热容 Heat Capacity, 热容的定义,热容的大小与体系的大小有关。常用的强度量热容有比热容（单位质量体系的热容）和摩尔热容（1mol体系的热容）。 Q与过程有关，所以定义热容要指定过程。比较重要的热容有定容热容CV和定压热容CP。, 定容热容,热力学第一定律,保持体积不变,Beihang University,2020/9/12,

28、热容 Heat Capacity, 晶体内能,晶体内聚能(势能),晶格振动能,电子能量, 晶体定容热容,只有在很低的温度下电子对热容的贡献才比较显著。以后的讨论将忽略这一项。,电子热容,晶格热容,* 晶格量子热容,Beihang University,2020/9/12,晶格热容的经典理论,能均分定理：,处于平衡态的系统，其每个能量项(自由度)的平均能量均相同，为 。,晶体中原子振动时，每个原子有3个振动方向，每个振动方向包含动能和势能两个能量项, 包含N个原子的晶体总振动能,晶体定容热容,晶体定容mol热容,实验表明，固体热容随温度变化。在高温时趋于3R，低温时迅速趋于0。,-,Beihan

29、g University,2020/9/12,晶格热容的量子理论,根据晶格振动理论，一个晶体包含N个原胞，每个原胞包含s个原子，则晶体共有3Ns个格波。,这3Ns个格波对应3Ns个相互独立的谐振子的运动。,一个格波q, j对应一个谐振子,其能量是量子化的,为,格波q, j的能量量子(声子)的能量为 ；当格波q, j的能量被激发到 ,即认为该格波包含n个能量为 的声子。,晶格总的振动能,nq,j - 格波q,j的能量量子数 = ？,Beihang University,2020/9/12,普朗克分布 Planck Distribution,格波()的能量为 ，n为格波的能量量子数,平衡态时, 格

30、波() 处于n量子态和m量子态的比率为,则格波()处于n量子态几率为,则格波()的平均能量量子数,Beihang University,2020/9/12,晶格热容的量子理论,该格波对热容的贡献,第i个格波(i)的平均能量,高温极限 ，即,含有N个原子的晶体共有3N个格波,所以由量子理论得到热容为: 。,与杜隆-帕替定律一致,Beihang University,2020/9/12,晶格热容的量子理论,第i个格波对热容的贡献,低温极限,- 与实验结果相符,低温时，固体热容趋向于0是一种量子效应。,Beihang University,2020/9/12,晶格热容的量子理论,第i个格波对热容的贡

31、献,晶体共有3Ns个格波,晶体总的晶格振动能,第i个格波的平均振动能,晶体的晶格热容,如何求出这个求和式？,Beihang University,2020/9/12,爱因斯坦Einstein模型,晶格热容,爱因斯坦模型：N个原子构成的晶体，所有的原子以相同的频率0 振动,-爱因斯坦热容函数,Beihang University,2020/9/12,爱因斯坦Einstein模型,爱因斯坦温度E,固体热容,选取合适的E值，在较大温度变化的范围内，理论计算的结果和实验结果符合的相当好。,金刚石的热容实验值与Einstein模型计算结果,E = 1320 K,大多数固体E = 100 K300 K。,

32、Beihang University,2020/9/12,爱因斯坦Einstein模型的评价,成功之处：在高温处，能够回归杜隆-菠替模型； 在低温处，可以定性的确定热容的特征，即基本 趋近于零。 不足之处：实验结果表明，低温时 。爱因斯坦模型理 论值下降极快，与实验不符。 原因是爱因斯坦模型把所有晶格中的各原子的振动 看成是相互独立的，且所有原子都具有同一频率 的谐振动。, 爱因斯坦模型忽略了各格波之间的差别。,Beihang University,德拜Debye模型修正模型,爱因斯坦把固体中各原子的振动看成频率一致且相互独立的系统，这显然是一个过于简单的假设。 德拜模型与爱因斯坦模型的主要区

33、别是考虑到了频率的分布。德拜对晶体采取了一个很简单的近似模型，得到了近似的频率分布函数。 如果不从原子理论而是从宏观力学的角度来看，晶体就是弹性介质，德拜也就是把晶格当作弹性介质来处理。,德拜假设：晶体可以看成是各向同性的连续介质弹 性波，格波可以认为是准连续介质内的 弹性波，振动模是每一个格波q值对应的 纵波与横波之和。,Beihang University,2020/9/12,2020/9/12,德拜Debye模型,晶格热容,格波频率取决于波矢q (色散关系),格波波矢q取值间隔,格波波矢q的取分立值,N非常大，波矢q可看成准连续的,频率是准连续的,求和可化为积分,晶格热容,- 振动频率分

34、布函数，振动模式密度函数,- 表示频率处于 +d之间的格波数(振动模式数),- 单位频率间隔上的格波数(振动模式数),Beihang University,2020/9/12, 计算晶格热容的关键是要先求出振动频率分布函数,德拜Debye模型,晶格热容,解决的思路,格波波矢在波矢空间(倒格子空间)是均匀分布的，即振动波矢分布函数g(q)是常数；,对三维晶体, 波矢空间中每 大小的区域中存在一个格波;,所以，振动波矢分布函数,利用色散关系, 可将波矢分布函数 转化为频率分布函数,Beihang University,2020/9/12,德拜Debye模型,1912年德拜提出以连续介质的弹性波来代

35、表格波，将布喇菲晶格看作是各向同性的连续介质。,包含N个原子的晶体中共有3N个格波 (N个纵波，2N个横波),依照连续介质中弹性波的色散关系,纵波,横波,下面计算德拜模型的振动频率分布函数,Beihang University,2020/9/12,德拜模型振动频率分布函数,格波波矢q的取值是等间距的(均匀的)。 对三维晶体, 波矢空间中每 大小的区域中存在一个格波,波矢q准连续分布。波矢空间中波矢大小处于qq+dq之间(绿色球壳)的格波数为:,Beihang University,2020/9/12,德拜模型振动频率分布函数,波矢大小处于qq+dq之间的格波数,德拜模型的色散关系,纵波,横波,

36、频率在 + d之间的纵格波数,频率在 + d之间的横格波数,频率在 + d之间的总格波数,振动频率分布函数,Beihang University,2020/9/12,德拜Debye模型,包含N个原子的晶体中总的格波数为3N个,截止频率,设截止频率为m，则,晶格热容,Beihang University,2020/9/12,德拜Debye模型,晶格热容,令,德拜温度,德拜热容函数,晶格热容,晶格热容,D通过理论公式与实验结果拟合来确定; 大多数固体D = 200 K 400 K,Beihang University,2020/9/12,德拜Debye模型,晶格热容,高温极限,低温极限,与杜隆-帕

37、替定律一致,实验结果，低温时,德拜模型结果与实验一致,Beihang University,2020/9/12,德拜Debye模型和爱因斯坦Einstein模型的比较,包含N个原子的晶格共有3N个格波 爱因斯坦模型认为这3N个格波具有相同的频率，比较适合用来处理光学支格波； 德拜模型认为这3N个格波具有类似连续介质中弹性的线性色散关系，比较适合用来处理声学支格波。,简单晶格,声学波,德拜模型较适合,爱因斯坦模型不适合,复式晶格,德拜模型,爱因斯坦模型,没有光学波,声学波,光学波,Beihang University,2020/9/12,德拜Debye模型和爱因斯坦Einstein模型的比较,当晶体处于温度T 时，只有频率 的格波才能被显著激发，从而对热容有贡献。,高温时，所有格波都能被激发，所以经典的能均分定理成立，而两种模型也都给出正确结果。,Beihang University,2020/9/12,德拜Debye模型和爱因斯坦Einstein模型的比较,低温时，只有 格波才能被激发，对热容有贡献。 爱因斯坦模型假设所有的格波均以相同频率独立地振动，即假设不论在什么温度下所有格波都激发，显然与实际不符，这就是低温下爱因斯坦模型定量上与实验不符的原因。 德拜模型考虑了格波的频率分布, 把晶体当作弹性连续介质来处理的。低温情况下，温度越低，能被激发的格波频率也越低，对应的波长便越