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文档简介

1、,本章小结 一、多项式的基本理论 1、牢固掌握一元多项式定义及有关概念，特别是零次多项式与零多项式的定义 2、熟练掌握多项式相等、相加、相乘的定义；多项式运算与次数的关系 二、多项式整除理论 1、熟练掌握带余除法 2、牢固掌握整除的定义及基本性质 3、牢固掌握最大公因式的定义及基本性质、最大公因式的求法 4、牢固掌握多项式互质（互素）的定义及基本性质,本章小结 三、多项式因式分解理论 1、牢固掌握不可约多项式的定义及基本性质 2、掌握多项式因式分解定理，牢记多项式的标准分解式 3、牢固掌握重因式的定义，会判别多项式含有重因式及多项式互质，能够利用多项式导数写出标准分解式 4、牢固掌握多项式的根

2、、重根的概念及根与整除的关系 5、掌握多项式函数的定义，理解多项式相等与多项式函数相等的一致性 6、熟练掌握复数域、实数域上多项式标准分解式 7、会判别整系数多项式的有理根及有理系数多项式的可约性,综合例题分析,例1 设f(x)=x3+px+q, g(x)=x2+mx1, 问m、p、q适合什么条件时,有g(x)|f(x),解,所以g(x)| f(x)的充分必要条件是(p+1+m2)x+(qm)是,零多项式,所以当m、p、q适合p=1m2且 q=m时, 有g(x)|f(x),证明,令,则,由于,再由定理1.4.6,由定理1.4.3有,使,证明,设,由定理1.4.3有,而,所以,由定理1.4.4知

3、,例4：设 证明,证明：必要性是显然的，下面证明充分性,由,有,设是f(x)的的任意一根, 由f()=0得,f(x)的根一定是g(x)的根, 因此在复数域C上有,由因为多项式的整除性不因为数域的扩大而改变,所以在一般域F上仍然有,证明,首先设,对于任意g(x)Fx,或者 或者,如果,即,如果 那么 即,反过来,设p1(x),p2(x)是f(x)的首一不可约因式,并且p1(x)p2(x),取g(x)=p2(x),则(f(x),g(x)=p2(x)1,所以存在正整数m使 即,从而有,由于p1(x),p2(x)皆不可约,故有p1(x)=p2(x) 矛盾,由定理1.4.7有,从而f(x)不能含有不同的不可约因式,所以f(x)=pk(x),例6：证明多项式x6+x3+1在有理数域上不可约,证明,设 g(x)=x6+x3+1,该多项式不能直接用艾森斯坦因判别法,令 x=y+1 得多项式,f (y)=g(y+1)=(y+1)6+(y+1)3+1,=y6+6y5+15y4+21y3+18y2+9y+3,取素数p=3, 则p不能整除首项系数, p能整除其余各项系

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