高等流体力学——计算部分

1、计算流体力学概论,龙天渝,数值计算方法,数值计算方法偏微分方程的近似方法。 将偏微分方程离散近似为代数方程的计算方法。 基本步骤：,建立数学模型,基本方程 初始条件 边界条件,建立离散方程,区域离散 方程离散,求解代数方程,偏微分方程 转变为 代数方程,常用的离散化方法,根据获得离散方程的方法不同，离散化方法可分为以下三种类型： 有限差分法 有限元法 有限体积法,有限体积法,将计算区域划分为一系列互不重复的控制体积，并使每个网格点周围一个的控制体积；将待解微分方程对每一个控制体积积分，从而得出一组离散方程。 特点：对每一个控制体积满足守恒条件。,基本方程的统一形式,实例,步骤： 1.区域和节点

2、划分,方法A：首先选节点，把控制容积的界面放在相临2个节点的中间，则对于非均匀网格，中心节点P并不在该控制容积的中心。 方法B：首先把求解域划分为离散的控制容积，然后把控制容积的中心节点P放在该控制容积的几何中心。,2.方程的离散 在控制容积上积分，可得在节点P的离散方程： 线性分布近似：,，,源项通常是因变量的函数，在控制容积内把源项做线性分布近似：,式中：,首先把微分方程在控制容积上进行积分，把体积分转化为控制容积边界界面上的面积分，然后通过对界面上的参数的近似而得到最终的离散方程。,3.方程的求解,在每个节点都建立上述离散方程（对于内部节点，并不需要在每个节点上重复上述过程，内部节点的差

3、分方程适用于所有内部节点，而对边界节点则须重新按上述过程进行推导，因为不同的边界节点界面上有关参数的近似处理方法不同），得到一个线性方程组。求解该方程组即可求得每个节点上的值。,例：设有一等截面杆，长0.5m，导系数k=100 W/(m.K)，横截面积A=0.01m2，两端温度给定，如图所示。 一维稳态导热问题，其导热控制微分方程为,为简单起见，我们把该杆沿长度方向分为5个相等的控制容积，即x=0.1m，共5个节点。其中节点2、3、4为内部节点。,30T1=10T2+20TA 20T2=10T1+10T3 20T3=10T2+10T4 20T4=10T3+10T5 30T5=10T4+20TB

4、,代入TA=100，TB=500，得： T1=140，T2=220，T3=300，T4=380，T5=460 该题的解析解为：T=800 x+100，各节点的精确解分别为：T1=140，T2=220，T3=300，T4=380，T5=460。通过对比可知数值解和解析解吻合很好。,四项基本法则,法则1：在控制容积面上的连续性 当一个面作为两个相邻控制容积的离散化方程时必须用相同的表达式来表示通过该面的热流密度、质量流量以及动量通量。,四项基本法则,图3.5 由二次曲线分布所得到的热流密度的不连续性,四项基本法则,法则2：正系数 所有的系数（ 以及各相邻结点系数 ）必须总是正的。,四项基本法则,法则3： 当源项线性化为 时，系数 必须总是小于或是等于0。源项的负斜率,其中,四项基本法则,法则4：相邻结点系数之和 为了使微分方程在因变量增加一个常