自动控制理论-15广义根轨迹

1、第四章 根轨迹法,课程回顾,已知单位负反馈系统开环传递函数为,试画出 时的闭环系统的概略根轨迹，并求出 。,解；根据根轨迹绘制法则，按步计算：,n=4，有四条根轨迹； 起始于开环极点0，-20，-2+j4, -2-j4，终于无穷远处； 实轴上的根轨迹在（-20，0）区间； n=4,m=0,则有4条根轨迹趋于无穷远，它们的渐近线与实轴的交点和夹角为,取,根轨迹的起始角。,分离点坐标d。,舍,用极值法求解：,根轨迹与虚轴交点。,解得,43 广义根轨迹,一、开环零点变化时的根轨迹,设系统开环传递函数为,令,显然，利用上式就可以画出关于零点变化的根轨迹，它就是 广义根轨迹。,例题 T为可调整参数，研究

2、系统根轨迹,所以，转换成标准型之后，相当于n=2 ,m=1, z=0,p1,2=-0.1j0.995 。,二、开环极点变化时的根轨迹,设一负反馈系统的开环传递函数为,现在研究 变化的根轨迹。,等效开环传递函数为,根据上式可画出 变化时的广义根轨迹。,例已知系统的开环传递函数为 试绘制当开环增益K为 时，时间常数 变化时的根轨迹。,解： 题目显然是求广义根轨迹问题。,系统特征方程为,等效开环传递函数为,等效开环传递函数有3个零点，即0，0， -1；2个极点，不同K值可计算出不同极点。,三、零度根轨迹,若开环相角遵循2k条件，而不是(2k+1)条件，则根轨迹为零度根轨迹。一般来说，零度根轨迹的来源

3、包含两个方面，其一是非最小相位系统；其二是控制系统中包含有正反馈回路。非最小相位系统，指s平面右半部分具有开环零极点的控制系统。,上图所示的正反馈回路中，其闭环传递函数为,回路的特征方程为,相应的根轨迹方程为,其模值方程和相角方程分别为,(1)实轴上的根轨迹：实轴上根轨迹区段的右侧实轴上，开环零点和极点数目之和应为偶数。,(2)根轨迹的渐近线：渐近线与实轴的交点 与常规根轨迹相同；而渐近线与正实轴的夹角应改为,(3)根轨迹的起始角和终止角：,例,正反馈系统的结构图如图所示，,试绘制开环系统根轨迹增益 变化时的根轨迹。,其中,解：,该系统是正反馈系统。,当 变化时的根轨迹是零度根轨迹。利用零度根

4、轨迹法则绘制该系统的闭环根轨迹。,终止于开环零点,实轴根轨迹在 区间内。,起始于开环极点,44 系统闭环零、极点分布 与阶跃响应的关系,主要任务：,一、用闭环零、极点表示的阶跃响应解析式,阶系统的闭环传递函数可写为：,设输入为单位阶跃：r(t)=1(t),有：,假设(s)中无重极点，上式分解为部分分式,将C(s)表达式进行拉式反变换得：,从上式看出，系统单位阶跃响应将由闭环极点及系数决定，而系数也与闭环零、极点分布有关。,3)远近分布决定快慢。具体讲就是：si位于虚轴左边时离虚轴越远过渡过程衰减得越快。所以离虚轴最近的闭环极点主宰系统响应的时间最长，被称为主导极点。,1)左右分布决定终值。具体

5、讲就是:si位于虚轴左边时暂态分量最终衰减到零，si 位于虚轴右边时暂态分量一定发散，si正好位于虚轴(除原点)时暂态分量为等幅振荡。,2)虚实分布决定振型。具体讲就是:si位于实轴上时暂态分量为非周期运动,si位于虚轴上时暂态分量为周期运动。,j,二、闭环零、极点分布与阶跃响应的定性关系,快速性,闭环极点远离虚轴；,小，闭环极点之间间距大,零点与极点间间距小。,三、主导极点和偶极子,主导极点：就是对动态过程影响占主导地位的极点，一般是离虚轴最近的极点。,偶极子：就是一对靠得很近的闭环零、极点。,Why?,四、利用主导极点估算系统的性能指标,既然主导极点在动态过程中起主要作用，那么，计算性能指

6、标时，在一定条件下就可以只考虑暂态分量中主导极点对应的分量，将高阶系统近似看做一、二阶系统，直接应用第三章中计算性能指标的公式和曲线。,例,试近似计算系统的动态性能指标 。,解： 这是三阶系统，有三个闭环极点 其零、极点分布如图所示。,某系统的闭环传递函数为,这时系统可以看做是一阶系统。 传递函数为 式中：T=0.67s 根据时域分析可知 一阶系统无超调， 调节时间,例,系统闭环传递函数 试估计系统的性能指标。,解：,系统近似为二阶系统,对应性能指标,45系统阶跃响应的根轨迹分析,解：,系统开环传递函数有两个极点0，2；有一个零点4。 此类带零点的二阶系统的根轨迹，其复数部分为一个圆，其圆心在

7、开环零点处。 根轨迹如下图所示。,系统根轨迹分离点,对应开环增益,当开环增益在（00.686）内，闭环为两个负实数极点，系统在阶跃信号下响应为非周期的。 当开环增益在（0.68623.4）内，闭环为一对共轭复数极点，其阶跃响应为振荡衰减过程。,3.当开环增益在 内，闭环又为负实数极点，其阶跃响应又为非周期的。,例,例,例：设系统A和B有相同的被控对象，且有相同的根轨迹。已知A有一个闭环零点-1，B没有闭环零点。试求系统A和B的开环传递函数和它们所对应的闭环结构图。,系统A和B的闭环传递函数分别为：,解：由于两系统的根轨迹完全相同，因而它们对应的开环传递函数和闭环特征方程式也完全相同。由上页图可知系统A和B的开环传递函数为：,例 设系统开环传递函数为,证明该系