天津市2019届高三数学4月份联考试卷

1、天津市届高三月份联考数学试题一、选择题（本大题共小题，共分）. 设全集，集合，则（）.【答案】【解析】【分析】首先求出集合，然后再求出集合的补集，然后再根据集合的交集运算即可求出结果.【详解】由于，所以，所以，故选 .【点睛】本题主要考查集合的补集、交集运算，熟练掌握补集、交集的运算公式是解决问题的关键 . 设，则“”是“”的（）.充分不必要条件.必要不充分条件.充要条件.既不充分也不必要条件【答案】【解析】【分析】首先解出不等式和，然后再根据充分必要条件的定义即可求出结果.【详解】由，得；由，得或；所以“”是“”的充分不必要条件，故选.【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，比较基础.

2、 若变量，满足约束条件，则目标函数的最大值为（）. 0.不存在1 / 16【答案】【解析】【分析】作出可行域，平移目标函数，结合的几何意义可得最值.【详解】作出可行域如图：可得目标函数在点处取到最大值，联立解得, 此时，故最大值为 .故选 .【点睛】本题主要考查线性规划. 线性规划问题求解方法注意可行域确定及的几何意义. 阅读如图所示的程序框图，则输出的数据为（）.【答案】的【解析】经过第一次循环得到的结果为，；2 / 16经过第二次循环得到的结果为，；经过第三次循环得到的结果为，；经过第四次循环得到的结果为，；经过第五次循环得到的结果为，此时输出结果.故选 . 抛物线的准线与双曲线的两条渐近

3、线所围成的三角形面积为，则的值为 ( ).【答案】【解析】【分析】求得抛物线的准线方程和双曲线的渐近线方程，解得两交点， 由三角形的面积公式，计算即可得到所求值【详解】抛物线的准线为，双曲线的两条渐近线为， 可得两交点为， 即有三角形的面积为，解得，故选【点睛】本题考查三角形的面积的求法，注意运用抛物线的准线方程和双曲线的渐近线方程，考查运算能力，属于基础题.的图像经过怎样的平移后所得的图像关于点中心对称（）.向左平移个单位.向左平移个单位.向右平移个单位.向右平移个单位【答案】【解析】【分析】设出将函数（）的图象平移 个单位得到关系式，然后将代入使其等于，再由正弦函3 / 16数的性质可得到

4、 的所有值，再对选项进行验证即可【详解】假设将函数（）的图象平移 个单位得到（ ）关于点（，）中心对称将代入得到（ ）（ ） ， ，当时， ，向右平移，故选：【点睛】 本题考查的是三角函数的平移问题，首先保证三角函数同名，不是同名通过诱导公式化为同名， 在平移中符合左加右减的原则，在写解析式时保证要将的系数提出来，针对本身进行加减和伸缩. 已知定义在上的函数满足，且对任意（， ) 都有，若，则下面结论正确的是（）.【答案】【解析】【分析】由条件，可知函数关于对称，由对任意（， ) 都有，可知函数在（，) 时单调递减， 然后根据单调性和对称性即可得到的大小【详解】因为，得函数关于对称，又对任意（

5、， ) 都有，所以函数在（， ) 时单调递减，因为，所以，又，所以，所以，故选 .4 / 16【点睛】本题主要考查函数值的大小比较, 利用条件求出函数的单调性和对称性, 利用单调性和对称性之间的关系是解决本题的关键. 边长为的菱形中，与交于点，是线段的中点，的延长线与相交于点. 若，则（）.【答案】【解析】【分析】根据两个三角形相似对应边成比例，得到，运用向量的加减运算和向量中点的表示， 结合向量数量积的定义和性质，向量的平方即为模的平方，将向量用表示，利用数量积公式计算即可得到结果【详解】由题意可知，做出菱形的草图，如下图：由题意易知，可得，所以，又，所以，故选 .【点睛】 本题考查平面向量

6、的基本定理， 向量数量积的定义及性质， 考查了学生的归纳分析能力，和运算能力，属于中档题二、填空题（本大题共小题，共分）5 / 16. 设复数，则【答案】【解析】【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简得到，再由共轭复数的概念得到，进而求出结果【详解】.【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了共轭复数的概念，是基础题. 已知正方体内切球的体积为 ，则正方体的体对角线长为【答案】【解析】【分析】正方体的内切球的直径与正方体的边长相等，即可得出结论【详解】正方体的内切球体积为，设内切球的半径为， ，所以内切球的半径为， 正方体的内切球的直径与正方体的边长相等，正方体的边长为，故该正方体的体对角

7、线长为【点睛】本题考查了学生的空间想象力，考查学生的计算能力，属于基础题. 已知直线为圆的切线，则【答案】【解析】【分析】由于直线与圆相切，利用圆心到直线的距离公式求出圆到直线的距离等于半径，即可求出结果 .【详解】因为直线为圆的切线，所以圆心到直线的距离为，又，所以，故填.【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，考查点到直线的距离公式的运用，属于基础题6 / 16. 已知函数是定义在上的奇函数，当时，则不等式的解集是【答案】【解析】【分析】由函数是定义在上的奇函数，则，则可以将定义域分为四个区间结合单调性进行讨论，可得答案【详解】依题意，当时，所以，得函数在上为增函数；又由，得函数在上为偶函数；

8、函数在上为减函数，又，所以，作出草图，由图可知解集是，故答案为.【点睛】 本题综合考查了导数的四则运算，导数在函数单调性中的应用，及函数奇偶性的判断和性质，解题时要能根据性质画示意图，数形结合解决问题. 已知，若，则的最小值为【答案】【解析】【分析】利用换元法，和对数的运算法则化简表达式，然后利用基本不等式求解最小值即可7 / 16【详解】令，则，所以，所以，当且仅当时取等号，故的最小值为 .【点睛】本题考查对数值的最小值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意均值不等式和对数性质的合理运用. 已知函数，若方程有八个不等的实数根，则实数的取值范围是【答案】【解析】【分析】利用导数求出函数的单调

9、性，然后作出的简图，由图象可得当时，有四个不同的与对应再结合题中“方程有个不同实数解“，可以分解为形如关于的方程在内有两个不等的实数根，然后再根据二次函数根的分布即可求出结果【详解】当时令，得，可知函数在上单调递减，在上单调递增，所以；当时，可知函数在上单调递增，在上单调递减，所以；由此作出函数的草图，如下图：8 / 16有图像可知当时，有四个不同的与（）对应，令，又方程有八个不等的实数根，所以在内有两个不等的实数根，令，可得，得.故答案为：【点睛】 本题考查函数的单调性的运用，主要考查方程与函数的零点的关系，掌握二次方程实根的分布是解题的关键，属于中档题三、解答题（本大题共小题，共分）. 在

10、中，内角所对的边分别为.，.（）求边的值；（）求的值 .【答案】（）（）【解析】【分析】（）由已知利用诱导公式，可求得值，利用正弦定理化简已知等式可求得的值，再根据余弦定理可解得的值；（）利用同角三角函数的基本关系式可求得的值，根据二倍角公式可求得9 / 16的值，进而根据两角和的余弦函数公式，即可求解.【详解】（）由，得，因为，由，得，由余弦定理，得，解得或（舍）（）由得，【点睛】本题主要考查了诱导公式、正弦定理、余弦定理，以及三角恒等变换公式的综合应用，其中解答中合理应用正弦定理和余弦定理，以及熟记三角恒等变换的公式化简、运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题. 点外卖现已

11、成为上班族解决午餐问题的一种流行趋势. 某配餐店为扩大品牌影响力，决定对新顾客实行让利促销，规定：凡点餐的新顾客均可获赠元或者元代金券一张，中奖率分别为和 ，每人限点一餐，且中奖. 现有公司甲、乙、丙、丁四位员工决定点餐试吃.( ) 求这四人中至多一人抽到元代金券的概率；( ) 这四人中抽到元、元代金券的人数分别用、表示，记，求随机变量的分布列和数学期望 .【答案】（）；（）答案见解析.【解析】【分析】() 设“这人中恰有人抽到元代金券”为事件. 由题意求解“四人中至多一人抽到元代金券”的概率即可；() 设“这人中恰有人抽到元代金券”为事件. 由题意可知可取. 求得相应的概率值， 列出分布列，

12、最后求解数学期望即可.【详解】 () 设“这人中恰有人抽到元代金券”为事件.易知“四人中至多一人抽到元代金券”的概率：10 / 16.() 设“这人中恰有人抽到元代金券”为事件.由题意可知可取.，.故的分布列为：.【点睛】 本题主要考查离散型随机变量的分布列，离散型随机变量的期望的求解，古典概型计算公式等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 如图，在底面是直角梯形的四棱锥中，面，（）若为的中点，求证面；（）求证：面面；（）求与面所成角的大小【答案】（）见解析（）见解析（）【解析】【分析】11 / 16（）取中点，连接和，由中位线定理可知，且，再根据平行线的传递性可知，且所以四边形为平行

13、四边形，所以，再根据线面平行的判定定理即可证明结果；（）由线面垂直的判定定理即可证明面，再根据面面垂直的判定定理即可证明结果；（），所以面，所以即为与面所成角，再根据正弦定理即可求出结果.【详解】（）取中点，连接和，且，且,则且所以四边形为平行四边形，所以面，面，所以面；（），所以；（），所以，所以即为所求 .，所以与面所成角的大小为.【点睛】本题主要考查线面平行判定定理，线面垂直、面面垂直的判定定理，以及线面角的求法，熟练掌握这些判定定理是解题的关键，本题属于基础题. 已知等差数列的公差为，前项和为，且成等比数列（）求数列的通项公式；（）令，求数列前 项和；12 / 16（）若对于，恒成立，

14、求范围 .【答案】（）（）（）或【解析】【分析】（）已知等差数列的公差为，前项和为，且成等比数列可得，将代入，即求出结果（）由（）可知，由于为偶数，再采用裂项相消即可求出结果；（）由（）可知，解不等式即可求出结果.【详解】（）成等比，解得.（）（）；或【点睛】 本题考查了等差数列的通项公式与求和公式、分组与“裂项求和”方法、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题. 已知椭圆（）的左右焦点分别为，左右顶点分别为， ，过右焦点且垂直于长轴的直线交椭圆于，两点， ，的周长为过点作直线交椭圆于第一象限的点，直线交椭圆于另一点，直线与直线交于点 .（）求椭圆的标准方程；13 / 16（）若的

15、面积为，求直线的方程；（）证明：点在定直线上【答案】（）；（）；（）见解析 .【解析】【分析】（）利用三角形周长和通径列出关于的方程，即可得解；（） 利用待定系数法设出直线与椭圆方程联立， 利用韦达定理表示出的面积公式， 求出系数；（）求出点的坐标可得结论.【详解】（），解得：；所以椭圆方程为：（）设（，），（，），当直线斜率存在时：设方程为（），联立得：（），（），；（，）到直线的距离为，；当时，直线方程过（， ）直线与椭圆的交点不在第一象限（舍）；所以方程为当直线斜率不存在时，（舍）综上：直线方程为：（）设：（）（），与椭圆联立：，同理设：（）（），可得，所以的方程为：，以及方程过（， ）

16、，14 / 16将，坐标代入可得： （） ?（），又因为与交于点，即，将代入得，所以点在定直线上.【点睛】本题主要考查椭圆的方程及直线方程的求解. 方程求解一般是利用待定系数法. 定值问题综合性较强，难度稍大一些. 已知函数.（）求在点处切线方程；（）若函数与在内恰有一个交点，求实数的取值范围；（）令，如果图象与轴交于，中点为，求证 :.【答案】（）（）（）见解析【解析】【分析】（）利用导数的几何意义，求出斜率和切点，然后再根据点斜式即可求出结果；（）利用导数求出函数在的单调性，根据函数单调性做出草图，即可求出实数取值范围；（）由点在图象上，把点坐标代入解析式得方程组，两式相减得关于的方程，假设的成立，求导，得关于方程，由中点坐标公式转化关于方程，两方程消去，得关于方程，整理此方程，分子分母同除以，整理方程，右边为，设，左边得关于的函数，求此函数的导数，得函数的单调性，得函数值恒小于，所以方程不成立，所以假设不成立，所以【详解】（），则，且切点坐标为；所以所求切线方程为：15 / 16