3-4单调性与凹凸性

1、公式 称为 的 n 阶泰勒公式 .,公式 称为n 阶泰勒公式的拉格朗日余项 .,泰勒中值定理 :,阶的导数 ,时, 有,其中,则当,3.3内容回顾,公式 称为n 阶泰勒公式的佩亚诺(Peano) 余项 .,称为麦克劳林（ Maclaurin ）公式 .,则有,在泰勒公式中若取,此时条件可降低为,(或 ),证明: 当,仅证明:,(n-1次洛必达法则),=0,(5),(4),(3),(2),(1),注:,几个初等函数的麦克劳林公式,泰勒公式的应用,1 在近似计算中的应用,误差,M 为,在包含 0 , x 的某区间上的上界.,2利用泰勒公式求极限,3. 利用泰勒公式证明不等式,解:,已知,求,另解：

2、原式,所以,解:,设f(x)在x=0的附近二阶可导且,求,及极限,所以,或,两边同乘 n !,= 整数 +,假设 e 为有理数,( p , q 为正整数) ,则当 时,等式左边为整数;,矛盾 !,证明 e 为无理数 .,证:,故 e 为无理数 .,等式右边不可能为整数.,一、函数单调性的判定法,二、曲线的凹凸性与拐点,3.4 函数的单调性与,曲线的凹凸性,第三章,一、 函数单调性的判定法,定理 1. 设函数,则 在 I 上严格单调递增,(递减),证: 不妨设,任取,由拉格朗日中值定理得,故,这说明 在 I 内严格单调递增.,在区间 I 上连续在区间 I 内可导,若,1.定义(略P12),2.判

3、定定理,定理 1. 设函数,则 在 I 上严格单调递增,(递减),在区间 I 上连续在区间 I内可导,若,2.判定定理,注:1,是函数在区间上单调的充分条件,并非必要函数单调增(减)可能在个别点的导数为零，如,在(-,+)上递增但,甚至不可导，如,在(-,+)上递增但,不存在.,注:2,函数单增与单减的分界点只能是导数为零的点或,导数不存在的点.,它们将函数的定义域分成若干个单调,区间.,(请阅读P147例3后的一段话),例1. 确定函数,的单调区间.,解:,令,得,故,的单调增区间为,的单调减区间为,或,或,例2. 确定函数,的单调区间.,解:,令,得,故,的单调增区间为:,的单调减区间为:

4、,在x=2处不可导.,例3. 证明：,时,证: 令,另证:,总之x0时,时,时,即,1定义 . 设函数,在区间 I 上连续 ,(1) 若恒有,则称,图形是凹的;,(2) 若恒有,则称,连续曲线yf(x)上的凹凸分界点 称为拐点 .,图形是凸的 .,二、曲线的凹凸与拐点,2. 凹凸判定法:,(1) 在 I 内,则 在 I 上图形是凹的 ;,(2) 在 I 内,则 在 I 上图形是凸的 .,证:,利用一阶泰勒公式可得,两式相加,说明 (1) 成立;,(2),在区间I 上连续,在I内二阶可导,证毕,例4. 判断曲线,的凹凸性.,解:,故曲线,在,上是向上凹的.,说明:,1) 若在某点二阶导数为 0

5、,2) 根据拐点的定义及上述定理, 可得拐点的判别法如下:,若曲线,或不存在,则点,是曲线,的一个拐点.,则曲线的凹凸性不变 .,在其两侧二阶导数不变号,例5. 求曲线,凹凸区间与拐点.,解:,0,因此曲线,凹区间为 :,凸,凹,凹,拐点,凸区间为 :,拐点为:,内容小结,1. 可导函数单调性判别:,2.曲线凹凸与拐点的判别,拐点, 连续曲线yf(x)上的凹凸分界点,思考与练习,上,则,或,的大小顺序是 ( ),提示: 利用,单调增加 ,及,B,设在,作业 P152 3 (2),(7) ; 5, (4) ; 9 (3), (6) ; 10 (3) ; 13 ; 14 ; 15,证明:,当,时，,有,证明:,令,即,在,上是凸的,证明:,在a,b上连续,在(a,b)内二阶可导且,证:,当x(a,b)时,则,(反证设),使得,+,0,+,0,0 ,矛盾.,所以,不妨设,+,例12已知,解,可导,设,则F(x)在x=0处可导,例13,具有一阶连续导数,且,当,求:a、b,解：,(),()式两边取极限得，,(),有（）两边除以h并取极限得,0=,(3),联立