理论力学第七版第四章空间力系.ppt

1、第四章 空间力系,4-1 空间汇交力系 4-2 力对点的矩和力对轴的矩 4-3 空间力偶 4-4 空间任意力系向一点的简化主矢和主矩 4-5 空间任意力系的平衡方程 4-6 重心,4-1 空间汇交力系,平面汇交力系合成的力多边形法则对空间汇交力系是否适用？,对空间多个汇交力是否好用？ 用解析法,1.直接（一次）投影法,一、力在直角坐标轴上的投影,已知力F与正交坐标系0 xyz三轴间的夹角,2.间接（二次）投影法,例4-1,径向力,轴向力,圆周力,二、空间汇交力系的合力与平衡条件,1.空间汇交力系的合力 等于各分力的矢量和，合力的作用线通过汇交点。,2.空间汇交力系平衡的充分必要条件,(4-7)

2、,该力系的合力等于零，即,空间汇交力系平衡的充要条件：该力系中所有各力在三个坐标轴上的投影的代数和分别等于零。,解：画受力图如图,一、空间力对点的矩 1.空间力对点的矩以矢量表示 力矩矢,42 力对点的矩和力对轴的矩,平面力对点之矩（代数量）：力矩的大小、转向； 空间力对点之矩（矢量）：力矩的大小、转向、力矩作用面的方位； 方位不同，作用效果也不同。,矢量的模 ； 矢量的方位与力矩作用面的法线方向相同； 矢量的指向按右手螺旋法则确定。,这三个因素用力矩矢 描述。,空间力对点的矩矢过矩心O的定位矢量,2.空间力对点之矩的矢积表示式和解析表示式,（48）,空间力对点的矩矢等于矩心到该力作用点的矢径

3、与该力的矢量积。,又,（4-9）力对点之矩矢的解析表示式,力对点O之矩矢 在三个坐标轴上的投影为,（411）,1.定义 力对轴的矩是力使刚体绕该轴转动效果的度量，是一个代数量，其绝对值等于该力在垂直于该轴平面上的投影对轴与该平面交点之矩。,2.符号规定 从z轴正端看，若力的这个投影使物体绕该轴逆时针转动，则取正号，反之取负号。也可按右手螺旋法则确定其正负号。,二、力对轴的矩代数量转化为平面力对点之矩,3.力对轴之矩等于零的情况 力与轴相交或与轴平行（力与轴在同一平面内），力对该轴的矩为零.,（411）,.力对轴之矩的解析表示式,已知：,求：,解：把力 分解如图,例4-4,三、力对点的矩矢与力对

4、过该点的轴的矩的关系,比较（4-10）、（4-12）式可得,即力对点的矩矢在通过该点的某轴上的投影，等于 力对该轴的矩。,4-3 空间力偶,一、力偶矩以矢量表示,力偶矩矢,图中两力偶对刚体的转动效应是否相同？,第三个要素：力偶作用面的方位。,空间力偶对刚体的作用效应，用力偶矩矢度量，用力偶中的两个力对空间某点之矩的矢量和来度量。,或,力偶对空间任一点的矩矢与矩心无关，力偶矩矢是 自由矢量。,以 或 表示。,空间力偶对刚体的作用效应取决于三个要素,（1）矢量的模，即力偶矩大小；,（3）矢量的指向与力偶的转向服从右手螺旋法则。,（2）矢量的方位与力偶作用面相垂直；,二、力偶的性质,力偶矩矢,2.力

5、偶对任意点取矩都等于力偶矩，不因矩心的改变而改变。,1.力偶中两力在任意坐标轴上投影的代数和为零,力偶没有合力，力偶平衡只能由力偶来平衡。,3.只要保持力偶矩矢不变，力偶可在其作用面内任意移转，且可以同时改变力偶中力的大小与力偶臂的长短，对刚体的作用效果不变.,=,=,=,4.只要保持力偶矩矢不变，力偶可从其所在平面移至另一与此平面平行的任一平面，对刚体的作用效果不变.,=,=,=,=,滑移矢量 定位矢量 自由矢量,作用在同一刚体上的两个空间力偶，如果其力偶矩矢相等，则它们彼此 等效。,力偶矩矢是自由矢量 （搬来搬去，滑来滑去）,三、空间力偶等效定理,四、空间力偶系的合成与平衡条件,=,=,如

6、同右图,任意个空间分布的力偶可合成为一个合力偶，合力偶矩矢等于各分力偶矩矢的矢量和。,1.空间力偶系的合成,合力偶矩矢的大小和方向余弦,合力偶矩矢的解析表达式,其中：,即合力偶矩矢在x、y、z轴上的投影等于各分力偶矩矢在相应轴上投影的代数和。,例4-5 已知：在工件四个面上同时钻5个孔，每个孔所受切削力偶矩均为80Nm.,解：把力偶用力偶矩矢表示，平行移到点A .,求：工件所受合力偶矩在 轴上的投影 .,列力偶平衡方程,有,即空间力偶系平衡的充分必要条件为：该力偶系中所有各力偶矩矢在三个坐标轴上投影的代数和分别等于零。,空间力偶系平衡的充分必要条件是 :合力偶矩矢等于零，即,2.空间力偶系的平

7、衡,可简写为:,解：取整体，受力图如图b所示.,解得,由力偶系平衡方程,4-4 空间任意力系向一点的简化主矢和主矩,一、空间任意力系向一点的简化,一空间汇交力系与空间力偶系等效代替一空间任意力系.,其中，各 ， 各,称为空间力偶系的主矩,称为力系的主矢,空间力偶系合力偶的矩矢,空间汇交力系合力的力矢,由力矩的解析表达式，有,由力对点的矩与力对轴的矩的关系，有,对 ， ， 轴的矩。,主矢与简化中心无关，而主矩一般与简化中心有关。,结论：空间任意力系向一点O简化，可得一力和一力偶。这个力的大小和方向等于该力系的主矢，作用线通过简化中心O；这个力偶的矩矢等于该力系对简化中心的主矩。,式中，各 分别表

8、示各力,二、空间任意力系的简化结果分析（最后结果）,1.合力偶,当 时，最后结果为一个合力偶。 此时主矩与简化中心的位置无关。,2.合力,当 时，最后结果为一个合力.,合力作用线过简化中心.,当 时，,最后结果为一合力.合力作用线距简化中心的距离为,左螺旋,右螺旋,3.力螺旋,当 时,简化结果为一力螺旋，力螺旋中心轴过简化中心。,由一力和一力偶组成的力系，其中的力垂直于力偶的作用面。,简化结果也为一力螺旋，力螺旋中心轴距简化中心的距离为,4.平衡,当 成角 且 既不平行也不垂直时,当 时，空间力系为平衡力系。,4-5 空间任意力系的平衡方程,空间任意力系平衡的充要条件：该力系的主矢和对任一点的

9、主矩都等于零.,一、空间任意力系的平衡方程 6个,空间任意力系平衡的充要条件：所有各力在三个坐标轴中每一个轴上的投影的代数和等于零，以及这些力对于每一个坐标轴的矩的代数和也等于零.,空间平行力系的平衡方程 3个,其它：空间汇交力系、平面任意力系,二、空间约束类型举例 P93表3-1,区分以下符号：,三、空间力系平衡问题的求解,选好研究对象与建立合适的坐标系是顺利求解的两个重要环节。,1.空间力系平衡问题的解题步骤（补充）,(1)明确已知条件（已知力、几何方位）与求解内容；,(2)选取研究对象，正确作出受力分析图(受力图宜尽量画在原图上，以便表现力的空间几何关系)；,(3)建立合适的坐标系，力投

10、影轴要尽可能与多数未知力垂直，取矩轴应尽量与未知力的共面（平行或相交）；,(4)列平衡方程求解，正确而熟练地计算力在轴上的投影和各力对轴之矩是关键，列平衡方程时要有明确的目的性；,(5)求解平衡方程，必要时讨论或说明所得结果。,例4-7,解：研究对象：小车,受力：,列平衡方程,结果：,2.算例分析,例4-8,曲轴受力：,解：以整个轴为研究对象，,列平衡方程,结果：,例4-9,已知：,各尺寸如图,（2）A、B处约束力,（3）O 处约束力,求:,解：研究对象1主轴、卡盘、齿轮及工件系统， 受力图如图,结果：,研究对象2：工件，受力图如图,列平衡方程,结果：,例4-10,解：取长方刚板为研究对象，各

11、杆均为二力杆，设均受拉力。,4-6 重 心,一、平行力系中心平行力系合力通过的一个点,结论：平行力系合力作用点的位置仅与各平行力的大小和作用点的位置有关，而与各平行力的方向无关。称该点为此平行力系的中心。,由合力矩定理可确定合力作用点C：,由合力矩定理,设力作用线方向的单位矢量为 ，,合力作用点坐标公式：,投影坐标公式：,点C为此平行力系的中心。,二、重心及其坐标计算公式,1.重心：物体各部分所受重力的合力的作用点。,2.重心坐标计算公式：,设物体由若干部分组成，其第i部分重为Pi，重心 ，则由平行力系中心的计算公式，重心坐标的公式为,（429）,计算重心坐标的公式,对均质物体,对均质等厚板状

12、物体,均质物体的重心就是其几何中心，即形心。,（429）,三、确定物体重心的方法,1.对称法（图解法） 适用于：几何形状简单的均质物体。,对于均质物体，若在几何形体上具有对称面、对称轴或对称点，则物体的重心或形心必在此对称面、对称轴或对称点上。,(补充)形心迹线各小部分形心的连线。 任两条形心迹线的交点就是重心或形心。,两个对称面重心或形心在二者交线上。 两根对称轴重心或形心在二者交点上。 对称点重心或形心在该点上。,在不对称图形上找对称因素,2.查表法,表32 P100,3.组合法,（1）分割法 适用于：由几个简单形状物体组合而成的均质物体，各组成部分的重心已知或易于求得。,（2）负面积法（负体积法） 适用于：带有空穴或孔的均质物体，可应用与分割法相同的公式求得，切去部分的面积或体积应取负值。,例4-12,求：其重心坐标。,已知：均质等厚Z字型薄板尺寸如图所示.,例4-13,求：其重心坐标.,而,小半圆（半径为 ）面积为 ,小圆（半径为 ）面积为 ，为负值。,已知：等厚均质偏心块的,得,由对称性，有,4.实验法,（1）悬挂法,图a中左右两部分的重量是否一定相等？,（2） 称重法,则,先测量 P、l、r，设汽车左右对称，重心在对称面内， 需求 和 。,后轮抬高H后，相同方法求得,整理后，得,由图中几何