八年级数学特殊三角形1.ppt

1、1.知识梳理 2.例题分析 3.练习巩固 4拓展延伸,腰,底边,底角,底角,顶角,定义： 有两条边相等的三角形.,性质： AB=AC B=C,等腰三角形是轴对称图形,D,1,2,ADBC,BD=DC,1=2,等腰三角形,判定: 定义：两条边相等。(AB=AC) 有两个角相等的三角形是等腰三角形。 (B= C),1.在ABC中,AB=BC, B=70,那么C=_.,4.在ABC中,AC=AB, AD是ABC的角平分线,已知BC=7, B=63.则BD=_, ADB=_, BAC=_.,55 ,2.等腰三角形顶角和一个底角之和为100， 则顶角度数为_。,3.等腰三角形两边长为4、6， 这个三角形

2、周长为_。,20,14或16,3.5,90,54,巩固一练,定义： 三条边都相等的三角形,性质： AB=ACBC B=C=A=60,三个三线合一,判定： AB=ACBC B=C=A=60,有一个角是60的等腰三角形。,等边三角形（正三角形）,1、满足下列条件的三角形不一定 是等边三角形的是（ ）,（A）在ABC中，AB=BC=AC （B）在ABC中，A=B=60 （C）在ABC中，AB=BC，A=60 （D）在ABC中，A=60,D,巩固一练,等腰三角形的性质与判定,1.性质(1)边：等腰三角形的两腰相等。 (2)角：等腰三角形的两个底角相等。(在同一个三角形中,等边对等角)(3)对称性：等腰

3、三角形是轴对称图形,顶角平分线所在直线是它的对称轴. (4)重要线段：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高 互相重合。(等腰三角形三线合一性质),2.判定定义：有两边相等的三角形是等腰三角形。判定定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形。 (在同一个三角形中,等角对等边),3.等边三角形: (1) 三个角都相等的三角形是等边三角形。(2) 有一个角等于60的等腰三角形是等边三角形。,（1）计算角的度数 利用等腰三角形的性质，结合三角形内角和定理及推论计算角的度数，是等腰三角形性质的重要应用。 已知角的度数，求其它角的度数已知条件中有较多的等腰三角形（此时往往设法用未知数表示图中的角，

4、从中得到含这些未知数的方程或方程组）（2）证明线段或角相等,等腰三角形性质与判定的应用,以等腰三角形为条件时的常用辅助线: 如图：若AB=AC 作ADBC于D，必有结论: 1=2，BD=DC 若BD=DC，连结AD，必有结论： 1=2，ADBC 作AD平分BAC必有结论： ADBC，BD=DC 作辅助线时，一定要作满足其中一个性质的辅助线，然后证出其它两个性质，不能这样作：作ADBC，使1=2.,例1. 等腰三角形两个内角之比为4:1， 求顶角的度数.,例题分析,说明: 因为等腰三角形的两底角相等,两个内角的比为4:1,尚未指明哪两个角,可能是顶角与底角的比,也可能是底角与顶角的比,所以分两种

5、情况求解. 此类题未说明哪两个角的比,解题时应审清题意,注意分类讨论.,例2.如图，已知在ABC中，AB=AC，BDAC于D，CEAB于E，BD与CE相交于M点。求证：BM=CM。,说明：本题易习惯性地用全等来证明，虽然也可以证明，但过程较复杂，应当多加强等腰三角形的性质和判定定理的应用。,例题分析,证明：AB=AC ABC=ACB （在同一个三角形 中等边对等角） BDAC于D，CEAB于E BEC=CDB=90 1+ACB=90， 2+ABC=90 （直角三角形两个锐角互余） 1=2（等角的余角相等） BM=CM （在同一个三角形中等角对等边）,例3.如图，在等边ABC中，AF=BD=CE

6、，请说明DEF也是等边三角形的理由.,解：ABC是等边三角形 AC=BC，A=C CE=BD BCBD=ACCE 即CD=AE 在AEF和CDE中 AEFCDE（SAS） EF=DE 同理可证EF=DF EF=DE=DF DEF是等边三角形,说明： 证明等边三角形有三种思路： 证明三边相等证明三角相等 证明三角形是有一个角为60的等腰三角形。 具体问题中可利用不同的方式进行思考求解。,例题分析,例4. 已知等腰三角形一腰上的中线将三角形周长分成2:1两部分，已知三角形底边长为5，求腰长？,解：如图，令CDx，则ADx，AB2x,底边BC5,BCCD5x ABAD3x,(5+x)：3x2:1 或

7、3x：(5+x)=2:1,x,x,2x,5,例题分析,巩固练习,1. 下列结论叙述正确的个数为（ ） （ 1）等腰三角形高、中 线、角平分线重合； （ 2）等腰三角形两底角的外角相等； （ 3）等腰三角形有且只有一条对称轴； （ 4）有一个角等于60的等腰三角形是等边三角形。 （A）0个 （B）1个 （C）2个 （D）3个,2.如图，在ABC中，AB=AC，1=2， 则AD平分BAC，请说明理由。,3.如图，在ABC中，ABC和ACB的平分线相交于F，过点F作DE/BC,交AB于点D，交AC于点E，若DB=5，EC=4，求线段DE的长。,4. 已知一腰和底边上的高，求作等腰三角形。,分析：我们

8、首先在草稿上画好一个示意图，然后对照此图写出已知和求作并构思整个作图过程,已知：线段a、h 求作：ABC，使AB=AC=a，高AD=h 作法： 1、作PQMN，垂足为D 2、在DM上截取DA=h 3、以点A为圆心，以a为半径作弧， 交PQ于点B、C 4、连结AB、AC 则ABC为所求的三角形。,5.已知ABC中AB=AC，AB垂直平分线交AC于E，交AB于D，连结BE， 若A=50，EBC=_。 6.ABC中，AB=AC，ADBC于D， 若ABC的周长为50，ABD的周长为40，则AD=_。 7.若等腰三角形顶角为n度，则腰上的高与底边的夹角为_。,7.如图，线段OD的一个端点O在直线a上，以

9、OD为一边画等腰三角形，并且使另一个顶点在直线a上，这样的等腰三角形能画多少个?,150,a,8、如图，D是正ABC边AC上的中点，E是BC延长线上一点，且CE=CD，请说明BD=DE的理由.,1,2,解: ABC是正三角形 ABC= ACB=600 （ ） D是AC边上的中点 1= ABC=300（ ）,CE=CD 2= E（ ） 2+ E= ACB=600（ ） E=300， 1= E BD=DE（ ）,9.已知：如图，C=90，BC=AC，D、E分别在BC和AC上，且BD=CE，M是AB的中点.求证：MDE是等腰三角形.,分析：要证MDE是等腰三角形，只需证MD=ME。连结CM，可利用B

10、MDCME得到结果。,证明：连结CM C=90，BC=AC A=B=45 M是AB的中点 CM平分BCA （等腰三角形顶角的平分线和底边上的中线重合） MCE=MCB=BCA=45 B=MCE=MCB CM=MB （在同一个三角形中等角对等边） 在BDE和CEM中 BDMCEM（SAS） MD=ME MDE是等腰三角形,10.如图2-8-1,中，AB=AC，D为AB上一点，E为AC延长线上一点，且BD=CE，DE交BC于G请说明DG=EG的理由.,思路 因为GDB和GEC不全等，所以考虑在GDB内作出一个与GEC全等的三角形。,说明 本题易明显得出DG和EG所在的DBG和ECG不全等，故要构造

11、三角形的全等，本题的另一种证法是过E作EFBD，交BC的延长线于F，证明DBGEFG，同学们不妨试一试。,11.如图，在RtABC中，ACB=900， CAB的平分线AD交BC于D，AB边上的高线CE交AB于E，交AD于F， 求证：CD=CF,1,2,3,F,分析：,CD=CF,1=2,1=B+BAD,2=3+DAC,3=B,1=90BAD,=90CAD,ACB =90，CE是AC边上高,小 结,1、等腰三角形的有关概念。 2、等腰三角形的识别。 3、应用等腰三角形的性质定理 和三线合一性质解决有关问题。 4、通过习题，能总结代数法求 几何角的大小、线段长度的方法。,课本第51页(目标与评定)

12、,布置作业,1.知识梳理 2.例题分析 3.练习巩固 4拓展延伸,直角三角形,从角的方面：,从边的方面：,两锐角互余，即A+B=90,D,直角三角形，斜边上的中线等于斜边的一半。,直角三角形，两直角边的平方和等于斜边的平方,a,b,c,可逆,可逆,可逆,定义：有一个角是直角的三角形,性质：,RtABC中,C=Rt，A: B=1:2, 则A=_. B=_.,30,60,2.已知一个三角形的三个内角之比为1：1：2，求这个三角形的三个内角的度数，并说明是什么形状的三角形。,等腰直角三角形,3.已知RtABC中，斜边上的中线CD=5，则斜边AB=_.,(1) 若A=30，则BC =_.,D,10,5

13、,(2) 若ADC=130，则B=_.,65,(3) 若AC=8，则BC=_.,6,直角三角形斜边上的中线,直角三角形斜边上的高线,4.如图,RtABC中,C=Rt，CDAB ,(1)若A=37,则BCD=_.,(2)若AC=3, BC=4,则CD=_.,37,2.4,勾股定理及其逆定理,5、以下列线段为边长能构成一个直角三角形的是（ ） （A）1，2，3 （B）2，3，4 （C）6，8，10 （D）4，5，6,C,6.已知ABC中，AB=AC=4.ADBC, AD=3cm，则BC=_.,7.已知ABC中，ACB=Rt. CDAB, BC=5，CE是斜边AB上的中线，CE= , 则AB=_,

14、AC=_,CD=_.,13,12,ASA, AAS 2) SAS 3) SSS 4) HL,直角三角形特殊的全等判定方法“HL,8.如图，AD与BC相交于点O，已知ADBD， BCAC, AC=BD, 则OA=OB请说明理由。,1 、满足下列条件的ABC，不是直角三角形的是：（ ） A、b2=a2-c2 B、 C=A-B C、A：B：C=3：4：5 D、a:b:c=12:9:15 2、下列条件中，不能判定两个直角三角形全等的是：（ ） A、一条直角边和一个锐角分别相等 B、两条直角边对应相等 C、斜边和一条直角边对应相等 D、斜边和一个锐角对应相等,A,C,练一练,15、在ABC中，AB=AC

15、=10，BC=12， 则ABC的面积=_。,24,16.在直角三角形中，斜边与较小直角边的和、差 分别是8、2，则较长的直角边长为_.,4,22、如图，在RtABC中，A=90，BC=10，分别以 AB、AC,BC为直径向外做半圆，求这三个半圆的面积之和。,4、如图，某校A与公路距离为3000米，又与该公路旁上的某车站D的距离为5000米，现要在公路边建一个商店C，使之与该校A及车站D的距离相等，则商店与车站的距离约为（ ） （A）875米（B）3125米（C）3500米（D）3275米,3、如图，一个长为25分米的梯子，斜立在一竖直的墙上， 这时梯足距墙底端7分米，如果梯子的顶端沿墙下滑4分

16、米。 那么梯足将滑（ ） （A）15分米（B）9分米（C）8分米（D）5分米,C,A,例3、如图，已知四边形ABCD中，B=90AB=4， BC=3,AD=12，DC=13 ， 求四边形ABCD的面积,思考：若A城与B地的方向保持不变，为了确保A城不受台风影响至少离B地多远？,解：作AD BF 由已知可得： FBA=300 AD=1/2AB=150KM 而 150200 所以A城会受到台风的影响,D,应 用 与 延 伸,例2、如图，已知AB=AD，CB=CD，AC，BD相交于点O， 若AB=5，AC=7，BD=6,求BCD的度数,解：AB=AD 点A在线段BD的中垂线上 同理点C也在BD的中垂线上 ACBD且平分BD BD=6 BO=3 AB=5 由勾股定理得 AO=4 AC=7 OC=3 BOC等腰直角三角形 BCO=45 同理DCO=