幻灯片1 - 等差数列.ppt

1、专题四 数 列 第1讲 等差数列、等比数列 1.an与Sn的关系 Sn=a1+a2+an,2.等差数列和等比数列,3.求和先研究数列的通项，根据通项选择方法，化 归为基本数列求和. （1）若cn=anbn，an为等差数列，bn为等比数 列，则用错位相减法. （2）若cn=an+bn，则用分组求和，其中分组的方法 比较灵活. （3）裂项相减法形如an= 等. （4）倒序相加法.,一、等差数列的通项及前n项和 例1 已知an是一个等差数列，且a2=1,a5=-5. （1）求an的通项an； （2）求an前n项和Sn的最大值. 思维启迪 由a2及a5的值，可求出等差数列an的 首项a1及公差d，从而

2、求出通项公式an.再由Sn的公 式可求出Sn的表达式，利用二次函数求最值即可求 出Sn的最大值.,解 （1）设an的公差为d,由已知条件， 所以an=a1+（n-1）d=-2n+5. （2）Sn=na1+ =-n2+4n=4-（n-2）2. 所以当n=2时，Sn取得最大值4. 探究提高 （1）涉及等差数列的有关问题时往往用待定系数法“知三求二”进而解决问题； （2）等差数列前n项和的最值问题，经常转化为二次函数的最值；有时利用数列的单调性（d0,递增；d0,递减）；（3）等差数列的性质：设m、n、p、q为自然数，若m+n=p+q，则am+an=ap+aq. ,变式训练 1 （2009安徽理，5

3、）已知an为等差数 列，a1+a3+a5=105,a2+a4+a6=99,以Sn表示an的前n项和，则使得Sn达到最大值的n是 （ ） A.21 B.20 C.19 D.18 解析 (a2-a1)+(a4-a3)+(a6-a5)=3d, 99-105=3d,d=-2. 又a1+a3+a5=3a1+6d=105,a1=39. Sn=na1+ =-n2+40n=-(n-20)2+400. 当n=20时，Sn有最大值.,B,二、等比数列的通项及前n项和 例2 （2009枣庄模拟）设数列an是公差 为d的等差数列，a3+a5=2,S20=a1+a2+a20=150， 又bn= (nN*). （1）求a

4、1、d的值； （2）求证：bn是等比数列，并求bn； （3）设k为某个自然数（k0），求bkbk+1+bk+1bk+2+bn-1bn的值. 思维启迪 （1）用等差数列的基本量；（2）用 等比数列的定义判断；（3）先判断数列bn-1bn 为等比数列.,（1）解 由题设 （2）证明 bn= ,bn+1= , = . 3an+1-2an+2-an=3(an+d)-2(an+2d)-an=-d=-1, ,bn是等比数列. b1=1,bn= .,（3）解 由（2）得bkbk+1= , bkbk+1,bk+1bk+2,bn-1bn是首项为 ， 公比为 的等比数列， bkbk+1+bk+1bk+2+bn-1

5、bn,探究提高 （1）判断数列bn是否为等比数列，可 用定义： 为常数.也可用 =bn-1bn+1来判 断，但要注意bn0. （2）求等比数列的前n项和要注意： 当q1时，用公式Sn= 当q=1时，用公式Sn=na1.,变式训练 2 （2009山东文，20）等比数列an的 前n项和为Sn，已知对任意的nN*,点（n,Sn）均 在函数y=bx+r(b0且b1，b,r均为常数)的图象 上. (1)求r的值； （1）证明 由题意，Sn=bn+r, 当n2时，Sn-1=bn-1+r. 所以an=Sn-Sn-1=bn-1 (b-1). 由于b0且b1, 所以n2时，an是以b为公比的等比数列. 又a1=

6、b+r,a2=b(b-1),(2)解,三、等差、等比数列的综合问题 例3 将数列an中的所有项按每一行比上一行 多一项的规则排成如下数表: a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8 a9 a10 记表中的第一列数a1,a2,a4,a7,构成的数列为 bn,b1=a1=1.Sn为数列bn的前n项和,且满足,（1）证明：数列 成等差数列,并求数列bn的 通项公式； （2）上表中,若从第三行起,每一行中的数按从左到 右的顺序均构成等比数列,且公比为同一个正数.当 a81=- 时,求上表中第k（k3）行所有项的和. 思维启迪 （1）巧妙地对 变形 得到 是等差数列，进而求出bn. （2）通过此表

7、的分析得出a81在表中的位置，即确 定首项和公比，求出第k行的所有项的和.,（1）证明 由已知,当n2时, , 又Sn=b1+b2+bn, 所以 , 即 =1,所以 , 又S1=b1=a1=1. 所以数列 是首项为1,公差为 的等差数列. 由上可知 所以,当n2时,bn=Sn-Sn-1= .,因此, （2）解 设上表中从第3行起,每行的公比都为q,且 q0. 因为1+2+12= =78, 所以表中第1行至第12行共含有数列an的前78项, 故a81在表中第13行第3列,因此a81=b13q2=- . 又b13=- ,所以q=2. 记表中第k（k3）行所有项的和为S, 则S=,n=1, n2.,

8、探究提高 数列项的变化呈规律性，这是等差、等比数列的特征，在高考中，这种变化的规律性经常用数表或图形给出，也可以是给出信息根据新信息解题，对考查学生的创新能力提出了较高的要求.新课标教材的学习，十分重视创新、立意鲜明、背景鲜明、设问灵活.解这类问题要先读懂题意，从题目中获取有用信息，然后根据相关知识作进一步的演算和推理，综合运用新的信息和数学知识分析，解决新情境问题.,变式训练 3 （2009全国理，19）设数列an 前n项和为Sn,已知a1=1.Sn+1=4an+2. （1）设bn=an+1-2an，证明：数列bn是等比数列； （2）求数列an的通项公式. 解 （1）由已知有a1+a2=4a

9、1+2,解得a2=3a1+2=5, 故b1=a2-2a1=3.又an+2=Sn+2-Sn+1 =4an+1+2-（4an+2）=4an+1-4an, 于是an+2-2an+1=2（an+1-2an)，即bn+1=2bn. 因此数列bn是首项为3,公比为2的等比数列.,（2）由（1）知等比数列bn中b1=3,公比q=2, 所以an+1-2an=32n-1,于是 , 因此数列 是首项为 ,公差为 的等差数列, 所以an=（3n-1）2n-2.,规律方法总结 1.在等差或等比数列中，已知五个元素a1,an,n, d(或q），Sn中的任意三个，运用方程的思想，便可求出其余两个，即“知三求二”.本着化多

10、为少的原则，解题时需抓住首项a1和公差d(或公比q). 2.数列an是等差或等比数列的证明方法 （1）证明数列an是等差数列的两种基本方法： 利用定义，证明an+1-an（nN*）为常数； 利用中项性质，即证明 =an-1+an+1(n2). （2）证明an是等比数列的两种基本方法： 利用定义，证明 (nN*)为一常数； 利用等比中项，即证明 =an-1an+1(n2).,3.常用性质 （1）等差数列an中，若m+n=p+q,则am+an=ap+ aq；等比数列an中，若m+n=p+q,则aman=apaq； （2）在等差数列an中，Sn,S2n-Sn,S3n-S2n,Skn-（k-1）n,成

11、等差数列，其中Sn为前n项的和，且Sn（nN+）； 在等比数列an中,Sn,S2n-Sn,S3n-S2n,Skn- S(k -1)n,成等比数列，其中Sn为前n项的和，且Sn0(nN+). （3）在等差数列an中，有S2n-1=(2n-1)an.事实上，对于等差数列an,有,（4）对于等差数列an 若项数为2n（nN*）,则 S2n=n（an+an+1）（an,an+1为中间两项） S偶-S奇=nd； ； 若项数为2n-1（nN*）,则 S2n-1=（2n-1）a中，S奇-S偶=a中， .,一、选择题 1.（2009重庆文，5）设an是公差不为0的等差数列，a1=2且a1，a3,a6成等比数列

12、，则an的前n项和Sn= （ ） A.B.C.D. 解析 a1,a3，a6成等比数列，则(a1+2d)2=a1(a1+5d),a1d=4d2,d= , Sn=na1+,A,2.（2009辽宁理，6）设等比数列an的前n项和为 Sn,若 =3, 等于 （ ） A.2 B. C. D.3 解析 由题意知 q3=2.,B,3.（2009菏泽调研）在等差数列an中，a1+3a8+ a15=120,则2a9-a10的值为 （ ） A.20 B.22 C.24 D.-8 解析 a1+3a8+a15=5a8=120 a8=24 2a9-a10=2（a8+d）-（a8+2d） =a8=24. 故选C.,C,4

13、.已知等比数列an中a2=1，则其前3项的和S3的取 值范围是 （ ） A.（-，-1 B.（-，0）（1，+） C.3，+） D.（-，-13，+） 解析 设等比数列的公比为q, a2=1,a1= ,a3=a2q=q. S3= +1+q,当q0时，S33(q=1时取等号)； 当q0时，S3-1(q=-1时取等号).,D,二、填空题 5.已知函数 f（x）=2x,等差数列an的公差为2.若 f（a2+a4+a6+a8+a10）=4,则log2f（a1）f（a2） f（a3）f（a10）= . 解析 f（a2+a4+a6+a8+a10）= =4,a2+a4+a6+a8+a10=2. 又a1+a3

14、+a5+a7+a9=（a2-d）+（a4-d）+（a10-d）=2-5d=-8, a1+a2+a10=2+（-8）=-6. log2f（a1）f（a2）f（a10）=log2（ ）=a1+a2+a10=-6.,-6,6.（2009辽宁理，14）等差数列an的前n项和为 Sn,且6S5-5S3=5,则a4= . 解析 由题意知 =15a1+45d=15（a1+3d）=15a4=5,故a4= . 7.等比数列an的公比为q，其前n项的积为Tn，并且 满足条件a11,a99a100-10， 1成立的最大自然数n等于198.其 中正确的结论是 .,解析 由,正确,正确.,错,由T198=a1a2a19

15、8=（a1a198）（a2a197）(a99a100） =（a99a100）991, T199=a1a2a199=（a1a199）（a2a198） (a99a101） a100=（a100）1991,正确. 答案 三、解答题 8.（2008四川理，20）设数列an的前n项和为Sn， 已知ban-2n=（b-1）Sn. （1）证明：当b=2时，an-n2n-1是等比数列； （2）求an的通项公式.,（1）证明 由题意知：a1=2，且ban-2n=（b-1）Sn, ban+1-2n+1=（b-1）Sn+1, -得b（an+1-an）-2n=（b-1）an+1, 即an+1=ban+2n. 当b=2时，由知，an+1=2an+2n. 于是an+1-（n+1）2n=2an+2n-（n+1）2n =2（an-n2n-1）， 又a1-121-1=10,所以an-n2n-1是首项为1,公 比为2的等比数列. （2）解 当b=2时，由（1）知,an-n2n-1=2n-1， 即an=（n+1）2n-1, 当b2时，由得,an+1- 2n+1=ban+2n- 2n+1 =ban- 2n=b 因此an+1- 2n+1=bn = ,9.（2009济南模拟）等差数列an的前n项和为 Sn,a1=1+ ,S3=9+3 . （1）求数列an的通项a