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文档简介

1、一元线性回归与最小二乘法,一、什么是一元线性回归?,设物理量x与y 满足线性关系：y=a+bx，由 实验测得一组数据x1，x2xn和 y1，y2yn.,? 如何确定a和b的值得到最佳拟合直线？,解决这个问题即一元线性回归。,2. 逐差法： 逐差法多用于处理自变量是等间距变化的数据。,3.作图法,?:如何由一组实验数据找出一条精确的拟合直线. - 最小二乘法,最简单的情况: x,y为等精度测量，x的测量误差远小于y的误差。,yi的测量偏差为:,二、最小二乘法原理,其中:,可解得a、b的值及其标准偏差:,(y为测量值yi的标准误差),最终得到最佳的拟合直线方程(也称回归方程):,需要考虑的两个问题

2、 * 经验公式是否合适相关系数 * 测量列是否存在粗差肖维涅舍弃判据 附：相关系数表和肖维涅系数表,1.只有当x和y之间存在线性关系时，拟合的直线才有意义。,2.为了检验拟合的直线有无意义，引入一个叫相关系数r来判别，r的定义为:,2) |r|1，x与y 线性关系好， |r|0 ，x与y 无线性关系，拟合无意义。,1) |r|的值总是在0和1之间.,说明:,*相关系数 r,*肖维涅系数 Cu,例：已知变量x和y的测量值为,问：x、y是否为线性相关？如果是，检查测量值中是否带有粗差的数据？求出回归直线的截距a、斜率b及其标准偏差a、b。,解：,1.列表,由上表可求得：,则相关系数：,因n=17，

3、查表可知临界相关系数R0=0.606。可见RR0 ,表明x、y间是线性关系.则进一步求出：,其中，y 为测量值yi的标准偏差. 通过计算，应剔除（6.67，654）这组数据，则余下的16组数据.,利用肖维涅舍弃判据来剔除测量值中带有粗差的数据，列表如下（n=17时,Cu=2.17)：,2.剔除粗差,剔除粗差后，对余下的16组数据计算：,则相关系数：,因n=16，查表可知临界相关系数R0=0.623。可见RR0 ,表明x、y间是线性关系.则进一步求出：,利用肖维涅舍弃判据来剔除测量值中带有粗差的数据，列表如下（n=16时,Cu=2.15)：,其中，y 为测量值yi的标准偏差. 由上表可知，测量值中没有带有粗差的数据.,最后计算a, b的误差：,则：,即回归方程为：,把非线性相关问题变换成线性相关问题,例：,在实际问题题中，当变量间不是直线关系时，可以通过适当的变量变换，使不少曲线问题能够转化成线性相关的问题。,线性方程,注:表中n为数据个数，a

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