（江苏专用）2020版高考数学总复习第十五章第三节离散型随机变量的均值与方差课件苏教版.pptx

1、第三节离散型随机变量的均值与方差,1.均值,2.方差,教材研读,考点一 离散型随机变量的均值与方差,考点二 离散型随机变量的均值与其他知识的综合应用,考点突破,1.均值 (1)若离散型随机变量的分布列为,教材研读,则称E=x1p1+x2p2+xnpn为的均值或数学期望,简称期望. (2)离散型随机变量的期望反映了离散型随机变量取值的平均水平.,2.方差 (1)若离散型随机变量所有可能的取值是x1,x2,xn,且取这些值的概率分别是p1,p2,pn,则称V=(x1-E)2p1+(x2-E)2p2+(xn-E)2pn为的方差. (2)=,叫标准差. (3)随机变量的方差反映了取值的稳定性. (4)

2、若B(n,p),则E=np,V=np(1-p).,1.(教材习题改编)假定某射手每次射击命中目标的概率为.现在有3发 子弹,该射手一旦射中目标,就停止射击,否则就一直射击到子弹用完.设耗用子弹数为X,求: (1)X的分布列; (2)均值E(X); (3)标准差.,解析(1)X的分布列为,即,(2)E(X)=1+2+3=1.444 4(发). (3)V(X)=+=0.4 691,= 0.684 9.,2.如图,李先生家住H小区,他工作在C处科技园区,从家开车到公司上班有L1,L2两条路线,L1路线上有A1,A2,A3三个路口,各路口遇到红灯的概率均为;L2路线上有B1,B2两个路口,各路口遇到红

3、灯的概率依次为,. (1)若走L2路线,求遇到红灯次数X的分布列和数学期望; (2)按照“平均遇到红灯次数最少”的要求,请你帮助李先生从上述两,条路线中选择一条最好的上班路线,并说明理由.,解析(1)依题意知X的可能取值为0,1,2. P(X=0)=, P(X=1)=+=, P(X=2)=. 故随机变量X的分布列为,所以E(X)=0+1+2=. (2)设选择L1路线遇到红灯次数为Y,随机变量Y服从二项分布YA, 所以E(Y)=3=.因为E(X)E(Y),所以选择L2路线上班最好.,考点一 离散型随机变量的均值与方差 角度一求离散型随机变量的均值与方差 典例1(2018江苏扬州高三第一次模拟)扬

4、州大学数学系有6名大学生要去甲、乙两所中学实习,每名大学生都被随机分配到两所中学的其中一所. (1)求6名大学生中至少有1名被分配到甲学校实习的概率; (2)设X,Y分别表示分配到甲、乙两所中学的大学生人数,记=|X-Y|,求随,考点突破,机变量的分布列和数学期望E().,解析(1) 记 “6名大学生中至少有1名被分配到甲学校实习” 为事件A,则P(A)=1-=. 故6名大学生中至少有1名被分配到甲学校实习的概率为. (2) 的所有可能取值是0,2,4,6,记“6名学生中恰有i名学生被分到甲学校实习”为事件Ai(i=0,1,6), 则P(=0)=P(A3)=, P(=2)=P(A2+A4)=P

5、(A2)+P(A4)=+=,P(=4)=P(A1+A5)=P(A1)+P(A5)=+=, P(=6)=P(A0+A6)=P(A0)+P(A6)=+=, 所以随机变量的分布列为,所以随机变量的数学期望E()=0+2+4+6=.,角度二已知离散型随机变量的均值与方差,求参数 典例2(2018江苏南京高三第二次调研)一个摸球游戏,规则如下:在一不透明的纸盒中,装有6个大小相同、颜色各异的玻璃球.参加者交费1元可玩1次游戏,从中有放回地摸球3次.参加者预先指定盒中的某一种颜色的玻璃球,然后摸球.当所指定的玻璃球不出现时,游戏费被没收;当所指定的玻璃球出现1次,2次,3次时,参加者可相应获得游戏费的0倍

6、,1倍,k倍的奖励(kN*),且游戏费仍退还给参加者,记参加者玩1次游戏的收益为X元.,(1)求概率P(X=0)的值; (2)为使X的数学期望不小于0,求k的最小值.,解析(1)事件“X=0”表示“有放回地摸球3次,所指定的玻璃球只出现1次”, 则P(X=0)=3=. (2)依题意知,X的可能取值为k,-1,1,0, 且P(X=k)=,P(X=-1)=,P(X=1)=3=, 结合(1)知,X的数学期望 E(X)=k+(-1)+1+0=, 因为X的数学期望不小于0, 所以k110,所以k的最小值为110.,方法技巧 离散型随机变量的均值与方差的常见题型及解题策略: (1)求离散型随机变量的均值与

7、方差:依据条件求出离散型随机变量的概率分布,然后利用均值、方差公式直接求解. (2)已知均值或方差求参数值:利用均值、方差公式得出含有参数的方程,解方程即可求出参数值. (3)特殊分布列的均值、方差可依据特殊分布列的均值、方差公式求解.,1-1(2018江苏淮阴中学高三12月阶段考试)从淮阴中学到某商场要经过3个十字路口,设各路口信号灯工作相互独立,且在各路口遇到红灯的概率分别为,. (1)记X表示一辆车从淮阴中学到该商场遇到红灯的个数,求随机变量X的分布列和数学期望; (2)若有2辆车独立地从淮阴中学到该商场,求这2辆车共遇到3个红灯的概率.,解析(1)X的所有可能取值为0,1,2,3. P

8、(X=0)=, P(X=1)=+=, P(X=2)=+=, P(X=3)=. 所以E(X)=0+1+2+3=. (2)设Y表示第一辆车遇到红灯个数,Z表示第二辆车遇到红灯个数,P(Y+Z=3)=P(Y=0,Z=3)+P(Y=1,Z=2)+P(Y=2,Z=1)+P(Y=3,Z=0)=2= 所以这两辆车共遇到3个红灯的概率为.,1-2设袋子中装有a个红球,b个黄球,c个蓝球,且规定:取出一个红球得1分,取出一个黄球得2分,取出一个蓝球得3分. (1)当a=3,b=2,c=1时,从该袋子中分两次任取(有放回,且每个球被取到的机会均等)2个球,记随机变量为取出2球所得分数之和,求的分布列; (2)从该

9、袋子中任取(每个球被取到的机会均等)1个球,记随机变量为取出此球所得分数.若E()=,V()=,求abc.,解析(1)由题意得=2,3,4,5,6. 故P(=2)=, P(=3)=, P(=4)=, P(=5)=,P(=6)=. 所以的分布列为,(2)由题意知的分布列为,所以E()=+=,V()=+ +=, 化简得 解得a=3c,b=2c,故abc=321.,考点二 离散型随机变量的均值与其他知识的综合应用 典例3(2017江苏,23,10分)已知一个口袋中有m个白球,n个黑球(m,nN*,n2),这些球除颜色外完全相同.现将口袋中的球随机地逐个取出,并放入如图所示的编号为1,2,3,m+n的

10、抽屉内,其中第k次取出的球放入编号为k的抽屉(k=1,2,3,m+n).,(1)试求编号为2的抽屉内放的是黑球的概率P; (2)随机变量X表示最后一个取出的黑球所在抽屉编号的倒数,E(X)是X的数学期望,证明:E(X).,解析(1)编号为2的抽屉内放的是黑球的概率P=. (2)证明:随机变量X的概率分布为,随机变量X的期望为 E(X)=. 所以E(X) = =(1+) =(+),=(+) =(+) =, 即E(X). 方法技巧 随机变量的均值经常与组合数的计算、性质、二项式定理等构成综合题,难度一般较大,需要较强的逻辑推理能力以及综合应用知识的能力.,2-1(2017江苏天一中学高三阶段性检测)一个袋中装有黑球、白球和红球共n(nN*)个,这些球除颜色外完全相同.已知从袋中任意摸出1个球,得到黑球的概率是.现从袋中任意摸出2个球. (1)若n=15,且摸出的2个球中至少有1个白球的概率是,设表示摸出的 2个球中红球的个数,求随机变量的概率分布及数学期望E(); (2)当n取何值时,摸出的2个球中至少有1个黑球的概率最大,最大概率为多少?,解析(1)设袋中黑球的个数为x(个),记“从袋中任意摸出一个球,得到黑球”为事件A,则P(A)=,x=6.设袋中白球的个数为y(个),记“从 袋中任意摸出两个球,至少得到一个白球”为事件B,则P