第3章(2)概率论与数理统计.ppt

1、第三章 多维随机变量及其分布,1 二维随机变量, 实际问题：确定炮弹位置的坐标；观察儿童的身高 和体重等等，都会产生二维随机变量。,定义：设E是一个随机试验，其样本空间S=e，设X=X(e) 和Y=Y(e)是定义在S上的随机变量，由它构成的一个 向量(X,Y)叫做二维随机向量或二维随机变量。, 为了研究随机向量的统计性质，引入如下定义,定义：设(X,Y)是二维随机变量，对于任意实数x,y，二元函数,称为二维随机变量(X,Y)的分布函数或X和Y的联合分布函数。, 随机向量(X,Y)落入矩形 的概率为,(1.1), 分布函数具有如下性质：,1. 单调性：F(x,y)是变量x和y的不减函数：,2.

2、有界性： ，且,对固定x, ； 对固定y,3. 右连续性：,4. 如下不等式成立：, 二维随机变量分为两种：离散型和连续型, 离散型随机变量,如果随机变量(X,Y)的全部可能取到的不同值是有限 或可列无限多对，则称(X,Y)是离散型随机变量。, 离散型随机变量的表示：,设二维离散型随机变量(X,Y)所有可能取值为,，,，记,，,称为二维离散随机变量(X,Y)的分布律，或X和Y的联合分布律。,显然有,，,联合分布律可用二维表格表示：,例1 设随机变量X在1，2，3，4四个整数中等可能地 取一个值，另一个随机变量Y在1X中等可能地 取一整数值。试求(X,Y)的分布律。,解：由题意可知，(X,Y)所

3、有可能取值为(i,j), i,j=1,2,3,4。 由乘法公式，对,于是(X,Y)的 分布律为,X 1 2 3 4 Y 1 1/4 1/8 1/12 1/16 2 0 1/8 1/12 1/16 3 0 0 1/12 1/16 4 0 0 0 1/16, 离散型随机变量的联合分布函数为,(1.2), 连续型随机变量概念,对于二维随机变量(X,Y )的分布函数F(x,y)，若存在 非负的函数 f(x,y)使对任意 x,y，有,则称(X,Y)是连续型的二维随机变量，函数 f(x,y) 称为 二维随机变量(X,Y)的概率密度或X与Y的联合概率密度, 联合密度函数的性质,1. 非负性：,2. 规范性：

4、,3. 概率的计算公式：设G是xOy平面上的区域，(X,Y ) 落在G内的概率为,(1.3),4. 若f(x,y)在点(x,y)连续，则, 若f(x,y) 在点(x,y)连续，当和很小时，有,例2 设二维随机变量(X,Y)具有概率密度,（1）求分布函数F(x,y)；（2）求概率 。,解：（1）因,因此,（2）将(X,Y)看作是平面上随机点的坐标，即,，G为xOy平面上y=x及其下方的部分。,因此, n维随机变量,设E是一个随机试验，其样本空间是 ，设 ， ， ， 是定 义在S上的随机变量，由它们构成的一个n维向量 叫做n维随机向量或n维随机变量。,对于任意n个实数 ，n元函数,称为n维随机变量

5、 的分布函数或 随机变量 的联合分布函数。,2 边缘分布, 二维随机变量（X,Y）作为一个整体具有分布函数F(x,y)。 X和Y作为单个随机变量也各有其分布函数，记为 和 ，依次称为二维随机变量(X,Y)关于X和关于Y 的边缘分布函数。,容易知道,(2.1),同样,(2.2), 对于离散随机变量：,因此，进而得到X的分布律,同样，Y的分布律为, 边缘分布律：记,分别称 和 为(X,Y)关于 X和关于Y的边缘分布律。, 对于连续型随机变量(X,Y)，设它的密度函数为f(x,y)，因,因此,(2.3),同样,(2.4),分别称 为(X,Y)关于X 和关于Y 的边缘概率密度。,例1 一整数N等可能地

6、在1,2,3,10十个值中取一个值。 设D=D(N)是能整除N的正整数的个数，F=F(N)是 能整除N的素数的个数，试写出D和F的联合分布律， 并求边缘分布律。,解：该试验的样本空间及D,F取值的情况列出如下：,样本点 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 D 1 2 2 3 2 4 2 4 3 4 F 0 1 1 1 1 2 1 1 1 2,D的所有可能取值为1,2,3,4; F的所有可能取值为0,1,2。 由已知条件，(D,F )取(i,j), i=1,2,3,4, j=0,1,2的概率为,等,其联合分布律及边缘 分布律如右表所示：,1/10 0 0 0 0 4/10 2/10 1/1

7、0 0 0 0 2/10,1/10 7/10 2/10,1/10 4/10 2/10 3/10,PD=i,0 1 2,1 2 3 4,PF=j,D,F,1,即分布律为：,D 1 2 3 4 F 0 1 2 pk 0.1 0.4 0.2 0.3 pk 0.1 0.7 0.2,例3 设二维随机变量(X,Y)的概率密度为,其中， 都是常数，且 ， 则(X,Y )称为服从参数为 的二维正态分布，,记为 。求二维正态 随机变量的边缘概率密度。,解： ，因,因此,令 ，则,同理,注：单由关于X和Y的边缘分布，不能确定(X,Y)的联合分布。,3 条件分布, 离散型随机变量的条件分布,设(X,Y)为离散型随机

8、变量，其分布律为,(X,Y)关于X和关于Y的边缘分布律分别为,设 ，下面考虑在事件 已发生的条件下 事件 发生的概率，即求事件,的条件概率。因此, 如上的条件概率满足性质：,1,2,定义 设(X,Y)是二维离散型随机变量，对于固定的j， 若 ，则称,(3.1),，为在条件下随机变量X的条件分布律。,同样地，对于固定的i，若 ，则称,(3.2),，为在条件下随机变量Y的条件分布律。,例2 一射手进行射击，击中目标的概率为 , 射击直至击中目标两次为止。设以X表示首次击中目标 所进行的射击次数，以Y表示总共进行的射击次数，试 求X和Y的联合分布律及条件分布律。,解：由题意，,Y=n=在第n次射击时

9、击中目标，且在第1次 至第n-1次射击中恰有一次击中目标,因各次射击相互独立，只要 ，概率 为,，得到X和Y的联合分布律为,，,容易计算,于是所求的条件分布律为,当 时，,当 时，, 二维连续型随机变量的条件分布,设(X,Y)是二维连续型随机变量，由于，因此不能直接 利用条件概率公式定义“条件分布函数”,设(X,Y)的概率密度为f(x,y)，（X,Y）关于Y的边缘概率密度 为 。给定y，对于任意x和固定 ，考察条件概率,设 ，则,(3.3),定义 设二维随机变量(X,Y)的概率密度为f(x,y)，(X,Y)关于 Y的边缘密度为 。若对于固定的y， ， 则称 为在Y=y的条件下X的条件概率密度，

10、记为,(3.4),称 为在Y=y条件下， X的条件分布函数，记为,(3.5),类似地，可定义条件密度 和 条件分布,例3 设G是平面上的有界区域，其面积为A。若二维随机 变量(X,Y)具有概率密度,则称(X,Y)在G上服从均匀分布。,现设(X,Y)在圆域： 上服从均匀分布， 求条件概率密度,解：二维随机变量(X,Y)具有概率密度,且具有边缘概率密度,于是当 时，有,4 相互独立的随机变量,定义 设F(x,y)及 分别是二维随机变量(X,Y) 的分布函数及边缘分布函数。若对于所有x,y有,(4.1),即,（4.2）,则称随机变量X和Y是相互独立的。,设(X,Y)是连续型随机变量， 分别 为(X,

11、Y)的概率密度和边缘概率密度，则X和Y相互独立的 条件(4.2)等价于,(4.3),几乎处处成立。,当(X,Y)是离散型随机变量时，X和Y相互独立的条件(4.2)式 等价于：对于(X,Y)所有可能的取值 , 有,(4.4),例如，设离散随机变量X,Y具有联合分布律,0 1 PY=j 1/6 2/6 1/2 1/6 2/6 1/2 1/3 2/3 1,X Y 1 2 PX=i,则有,因此 X,Y相互 独立。,设（X,Y）是二维正态随机变量，其概率密度为,其边缘概率密度 的乘积为,因此，若 ，则对于所有 ，有,反之，若X,Y相互独立，则 。 当 时，有,因此， 。, 正态分布的一个结论,对于二维正

12、态随机变量（X,Y）: X和Y相互独立的充分必要条件是参数 。, 一个常用结论, 例子,例 一负责人到达办公室的时间均匀分布在812时，他的 秘书到达办公室的时间均匀分布在79时，设他们两人 到达的时间相互独立，求他们到达办公室的时间相差 不超过5分钟（1/12小时）的概率。,解：设X和Y分别是负责人和他的秘书到达办公室的时间， 由假设X和Y的概率密度分别为,，,因X和Y相互独立，故(X,Y)的概率密度为,因此，所求概率为, n维随机变量,1） n维随机变量的分布函数：,若存在非负函数 ，使得,则称 为 的概率密度函数。,2） n维随机变量的边缘分布,关于X1，关于(X1,X2)等的边缘分布函

13、数：,关于X1，关于(X1,X2)等的边缘密度函数：,3） 独立性,称 随机变量是相互独立的，若对一切 ，有,称 与 是相互独立的，如果 对一切 ， ，有,4一个结果：,定理 设 与 相互独立， 则 和 相互独立。 又若 是连续函数，则 与 相互独立。,5 两个随机变量的函数的分布,（一） 的分布,设(X,Y)的概率密度为f(x,y)，则Z=X+Y的分布函数为,设积分区域为 。考虑到变量代换,，则,于是，随机变量的概率密度为,（5.1）,同理，由X,Y的对称性，又有,（5.2）,特别地，当X和Y独立时，则（5.1）和（5.2）式分别为,（5.3）,（5.4）,(5.3)和(5.4)称为卷积公式，记为 ，即, 一个重要例子,例1 设X和Y是两个相互独立的随机变量，它们服从 N(0,1)分布，其概率密度为,求Z=X+Y的概率密度。,解：由(5.4)式，得,即,一般结论：有限个相互独立的正态随机变量的 线性组合仍然服从正态分布。,