《直线的倾斜角与斜率》.ppt

1、1,2020/8/30,3.1.1直线的倾斜角与斜率,2,2020/8/30,在平面直角坐标系中，点用坐标表示，直线如何表示呢？,问题引入,为了用代数方法研究直线的有关问题，首先探索确定直线位置的几何要素，然后在坐标系中用代数方法把这些几何要素表示出来,问题,3,2020/8/30,对于平面直角坐标系内的一条直线 l ，它的位置由哪些条件确定？,问题引入,问题,4,2020/8/30,我们知道，两点确定一条直线一点能确定一条直线的位置吗？已知直线 l 经过点P，直线 l 的位置能够确定吗？,问题引入,问题,(1)它们都经过点P. (2)它们的倾斜程度不同.,5,2020/8/30,过一点P可以

2、作无数条直线l 1， l 2 ， l 3 ，它们都经过点P （组成一个直线束），这些直线区别在哪里呢？,问题引入,问题,l,l,6,2020/8/30,容易看出，它们的倾斜程度不同怎样描述直线的倾斜程度呢？,问题引入,问题,l,l,7,2020/8/30,当直线 l 与x轴相交时，我们取x轴作为基准，x轴正向与直线 l 向上方向之间所成的角 叫做直线 l 的倾斜角（angle of inclination） ,x,y,O,l,当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为 .,直线的倾斜角 的取值范围为：,直线的倾斜角,8,2020/8/30,直线的倾斜程度与倾斜角有什么关系？,平面直角坐标系中

3、每一条直线都有确定的倾斜角，,倾斜程度不同的直线有不同的倾斜角，,已知直线上的一个点不能确定一条直线的位置；同样已知直线的倾斜角也不能确定一条直线的位置 但是，直线上的一个点和这条直线的倾斜角可以唯一确定一条直线,直线的倾斜角,9,2020/8/30,确定平面直角坐标系中一条直线位置的几何要素是： 直线上的一个定点以及它的倾斜角， 二者缺一不可,确定直线的要素,10,2020/8/30,日常生活中，还有没有表示倾斜程度的量？,问题引入,问题,11,2020/8/30,问题引入,问题,例如，“进2升3”与“进2升2”比较，前者更陡一些，因为坡度（比）,12,2020/8/30,一条直线的倾斜角的

4、正切值叫做这条直线的斜率（slope）.,倾斜角是 的直线有斜率吗？,倾斜角是 的直线的斜率不存在,直线的斜率,如果使用“倾斜角”这个概念，那么这里的“坡度（比）”实际就是“倾斜角的正切”,13,2020/8/30,如：倾斜角 时，直线的斜率,当 为锐角时，,如：倾斜角为 时，由,即这条直线的斜率为,直线的斜率,倾斜角不是90的直线都有斜率，并且倾斜角不同，直线的斜率也不同因此，可以用斜率表示直线的倾斜程度,14,2020/8/30,已知直线上两点的坐标，如何计算直线的斜率？,两点的斜率公式,问题,给定两点P1 （ x1 ，y1）， P2 （ x2 ，y2）， 并且x1 x2，如何计算直线P1

5、 P2的斜率k,15,2020/8/30,当 为锐角时，,在直角 中,设直线P1 P2的倾斜角为（ 90 ），当直线P1 P2的方向（即从P1指向P2的方向）向上时，过点P1作 x 轴的平行线，过点P2作 y 轴的平行线，两线相交于点 Q，于是点Q的坐标为（ x2，y1 ）,两点的斜率公式,16,2020/8/30,当 为钝角时，,在直角 中,两点的斜率公式,17,2020/8/30,同样，当 的方向向上时，也有,两点的斜率公式,18,2020/8/30,思考？,1、当直线平行于x轴，或与x轴重合时，上述公式还适用吗？为什么？,答：成立，因为分子为0，分母不为0，K=0,19,2020/8/3

6、0,2、当直线平行于y轴，或与y轴重合时，上述公式还适用吗？为什么？,思考？,答：不成立，因为分母为0。,20,2020/8/30,答：与A、B两点的顺序无关。,3 、已知直线上两点 、 ，运用上述公式计算直线AB的斜率时，与A、B的顺序有关吗？,思考？,21,2020/8/30,当直线 与 轴平行或重合时，上述式子还成立吗？为什么？,经过两点 的直线的斜率公式为：,思考,成立,两点的斜率公式,22,2020/8/30,归纳： 对于斜率公式要注意下面四点： (1) 当x1=x2时，公式右边无意义，直线的斜率 不存在，倾斜角= 90o，直线与x轴垂直； (2) k与P1、P2的顺序无关，即y1,

7、y2和x1,x2在公 式中的前后次序可以同时交换，但分子与分母不能交换； (3) 斜率k可以不通过倾斜角而直接由直线上两点的坐标求得； (4) 当y1=y2时，斜率k=0，直线的倾斜角=0o，直线与x轴平行或重合.,23,2020/8/30,例1 如图 ，已知 ，求直线AB，BC，CA的斜率，并判断这些直线的倾斜角是锐角还是钝角,解：直线AB的斜率,直线BC的斜率,直线CA的斜率,由 及 知，直线AB 与CA的倾斜角均为锐角；由 知，直线BC的倾斜角为钝角,典型例题,24,2020/8/30,例2 在平面直角坐标系中，画出经过原点且斜率分别为1，-1，2及-3的直线 及 ,即,解：取 上某一点为 的坐标是 ，根据斜率公式有:,设 ，则 ，于是 的坐标是 过原点及 的直线即为 ,x,y,是过原点及 的直线， 是过原点及 的直线， 是过原点及 的直线,典型例题,25,2020/8/30,例3. 已知三点A(a, 2)、B(5, 1)、C(4, 2a) 在同一直线上，求a的