高中数学 1.3.1二项式定理课件 新人教B版选修2-3.ppt

1、二项式定理,问题,问：,我们学习了,牛顿剑桥大学毕业之初，创立了“二项式定理”。前面我们学习了由牛顿和莱布尼茨前后创立的“微积分定理”。知道牛顿创立微积分定理的着力点在于解决运动学问题，注重“数”的研究。而微积分定理是牛顿以二项式定理为基石，研究证明才得到的。 所以，我们这节课要学习的二项式定理在“数”方面的应用是尤为重要的。,我国南宋数学家杨辉早在1261年所著的详解九章算法一书里就已经出现了类似的结论。他是以“图”的形式-杨辉三角呈现的。这个发现要比欧洲早五百年左右。由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的。,学习目标： （1）应用二项式定理及通项公式 “数算” （2）应用二项式

2、定理的几何形式 杨辉 三角进行“图算” 学习重点：应用二项式定理及通项公式“数算”,问题探究 探究1. 归纳猜想,(a+b)2=,(a+b)3=,(a+b)4=?,(a+b)1=,a2+2ab+b2,a3+3a2b+3ab2+b3,1,1,1,2,1,1,3,3,1,1,4,6,4,1,1,5,10,10,5,1,观察展开式的结构特征： 1.展开式有多少项？ 2.各项的次数有什么共同点？ 3.字母a次数是怎样变化的？ 字母b的次数是怎样变化的？,杨辉三角,每一行的两端都是1，其余每个数都等于它“肩上”两个数的和。,a+b,问题探究 探究1.由 归纳猜想,探究2.用组合角度归纳猜想 展开式？,(

3、a+b)3=(a+b)(a+b)(a+b),=C30a3+C31a2b+C32ab2+C33b3,对(a+b)3的展开式进行分析：,展开后其项的形式为:a3,a2b,ab2,b3,3个括号中有1个取b,剩下的都是a,3个括号中都不取b,而全部取a,则a3前的系数为C30,则a2b前的系数为C31,则ab2前的系数为C32,(a+b)3=(a+b)(a+b)(a+b),复 习 引 入,项的系数是 什么？,3个括号中有2个取b,剩下的都是a,3个括号中有3个取b, 而不取a,a3项:,a2b项:,ab2项:,b3项:,思考,(a+b)4,a2b2,= a4,a3b,ab3,C40,C41,C42,

4、C43,C44,+,+,+,+,则b3前的系数为C33,若先选b，再选a,问题探究 探究1.由 归纳猜想,探究2.用组合数归纳猜想 展开式？,(a+b)n=,Cn0an+Cn1an-1b+.+Cnran-rbr+Cnnbn(nN+),二项展开式,?,通项：,二项式系数：,问题探究 探究1.由 归纳猜想,探究2.用组合数归纳猜想 展开式？,(a+b)n=,Cn0an+Cn1an-1b+.+Cnran-rbr+Cnnbn(nN+),二项展开式,探究3.二项展开式的特点,1.展开式有多少项？ 2.各项的次数有什么共同点？ 3.字母a次数是怎样变化的？ 字母b的次数是怎样变化的？,通项：,二项式系数：

5、,a降幂 b升幂,次数和为n,b的次数与 上标一致,n+1项,问题,问：,我们学习了,问题探究 探究1.由 归纳猜想,探究2.用组合数归纳猜想 展开式？,(a+b)n=,Cn0an+Cn1an-1b+.+Cnran-rbr+Cnnbn(nN+),二项展开式,探究3.二项展开式的特点,1.展开式有多少项？ 2.各项的次数有什么共同点？ 3.字母a次数是怎样变化的？ 字母b的次数是怎样变化的？,通项：,二项式系数：,a升幂 b降幂,次数和为n,b的次数为r,n+1项,问：a是？b是？,(a+b)1,(a+b)3,(a+b)4,(a+b)5,(a+b)2,1,1,1,2,1,1,3,3,1,1,4,

6、6,4,1,1,5,10,10,5,1,(a+b)6,(a+b)n=,Cn0an+Cn1an-1b+.+Cnran-rbr+Cnnbn(nN+),数算,图算,(a+b)n=,Cn0an+Cn1an-1b+.+Cnran-rbr+Cnnbn(nN+),二项式定理:,例 写出 的二项展开式,解：,=x5+5x3+10 x+10 x-1+5x-3+x-5,b是？,思考：a是？,通项：,二项式系数：,变式1：写出(x- )5的二项展开式,思考：a是？,b是？,-,x,(a+b)n=,Cn0an+Cn1an-1b+.+Cnran-rbr+Cnnbn(nN+),=x5-5x3+10 x-10 x-1+5x

7、-3-x-5,通项：,二项式系数：,-10,二项展开式各项的二项式系数与各项的系数的区别,注意,二项式定理:,变式1：写出(x- )5的二项展开式,思考：a是？,b是？,-,x,(a+b)n=,Cn0an+Cn1an-1b+.+Cnran-rbr+Cnnbn(nN+),通项：,二项式系数：,二项展开式各项的二项式系数与各项的系数的区别,注意,二项式定理:,变式2 (1)写出展开式中的第3项,（2）二项式系数：,系数：,240,(a+b)n=,Cn0an+Cn1an-1b+.+Cnran-rbr+Cnnbn(nN+),二项式定理:,通项：,二项式系数：,解：,（1）,（2）指出第3项的二项式系数

8、及系数,(3)求展开式中含 的项,变式3： 的展开式共7项，求其常数项？,工具,通项公式,(a+b)n=,Cn0an+Cn1an-1b+.+Cnran-rbr+Cnnbn(nN+),二项式定理:,解：,令3-r=0,得r=3,通项：,二项式系数：,由题意n=6,问题,问：,我们学习了,求二项展开式的第10项？ 求含 的项？,(2011安徽变式)设,则,(a+b)n=,Cn0an+Cn1an-1b+.+Cnran-rbr+Cnnbn(nN+),二项式定理:,高考链接,法一.通项（数算）,法三：杨辉三角（图算）,1,1,1,2,1,1,3,3,1,1,4,6,4,1,1,5,10,10,5,1,7,21,35,35,21,7,1,1,28,56,70,56,28,8,8,1,1,通项：,二项式系数：,(1)(a+b)n的二项展开式,(1)二项式系数，项的系数易混淆,【知识点】,【易错点】,(2)第r+1项和第r项易混淆,(2) 通项公式,(3)会灵活应用二项式定理解决与 二项展开式有关的简单问题,【思想方法】,（1）特殊到一般，一般到特殊 （2）数形结合引入计算（图算，数算）,(a+b)n=,Cn0an+