x届高考数学一轮复习常考热点拔高提分学案《函数的图象》

1、x节函数的图象知识能否忆起一、利用描点法作函数图象其基本步骤是列表、描点、连线，首先：确定函数的定义域；化简函数解析式；讨论函数的性质(奇偶性、单调性、周期性)；其次：列表(尤其注意特殊点、零点、最大值点、最小值点、与坐标轴的交点)；最后：描点，连线二、利用基本函数的图象作图1平移变换(1)水平平移：yf(xa)(a0)的图象，可由yf(x)的图象向左()或向右()平移a个单位而得到(2)竖直平移：yf(x)b(b0)的图象，可由yf(x)的图象向上()或向下()平移b个单位而得到2对称变换(1)yf(x)与yf(x)的图象关于y轴对称(2)yf(x)与yf(x)的图象关于x轴对称(3)yf(

2、x)与yf(x)的图象关于原点对称(4)要得到y|f(x)|的图象，可将yf(x)的图象在x轴下方的部分以 x轴为对称轴翻折到x轴上方，其余部分不变(5)要得到yf(|x|)的图象，可将yf(x)，x0的部分作出，再利用偶函数的图象关于y轴的对称性，作出x0时的图象3伸缩变换(1)yAf(x)(A0)的图象，可将yf(x)图象上所有点的纵坐标变为原来的A倍，横坐标不变而得到(2)yf(ax)(a0)的图象，可将yf(x)图象上所有点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变而得到小题能否全取1一次函数f(x)的图象过点A(0,1)和B(1,2)，则下列各点在函数f(x)的图象上的是()A(2,2)B(1

3、,1)C(3,2) D(2,3)解析：选D一次函数f(x)的图象过点A(0,1)，B(1,2)，则f(x)x1，代入验证D满足条件2函数yx|x|的图象大致是()解析：选A函数yx|x|为奇函数，图象关于原点对称3(教材习题改编)在同一平面直角坐标系中，函数f(x)ax与g(x)ax的图象可能是下列四个图象中的()解析：选B因a0且a1，再对a分类讨论4(教材习题改编)为了得到函数y2x3的图象，只需把函数y2x的图象上所有的点向_平移_个单位长度答案：右35若关于x的方程|x|ax只有一个解，则实数a的取值范围是_解析：由题意a|x|x令y|x|x图象如图所示，故要使a|x|x只有一解则a0

4、.答案：(0，)1.作图一般有两种方法：直接作图法、图象变换法其中图象变换法，包括平移变换、伸缩变换和对称变换，要记住它们的变换规律注意对于左、右平移变换，可熟记口诀：左加右减但要注意加、减指的是自变量，否则不成立2一个函数的图象关于原点(y轴)对称与两个函数的图象关于原点(y轴)对称不同，前者是自身对称，且为奇(偶)函数，后者是两个不同的函数对称作函数的图象典题导入例1分别画出下列函数的图象：(1)y|lg x|；(2)y2x2；(3)yx22|x|1.自主解答(1)y图象如图1.(2)将y2x的图象向左平移2个单位图象如图2.(3)y图象如图3.由题悟法画函数图象的一般方法(1)直接法：当

5、函数表达式(或变形后的表达式)是熟悉的基本函数时，就可根据这些函数的特征直接作出(2)图象变换法：若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移、翻折、对称得到，可利用图象变换作出，但要注意变换顺序，对不能直接找到熟悉的基本函数的要先变形，并应注意平移变换与伸缩变换的顺序对变换单位及解析式的影响以题试法1作出下列函数的图象：(1)y|xx2|；(2)y.解：(1)y即y其图象如图1所示(实线部分)(2)y1，先作出y的图象，再将其向右平移1个单位，并向上平移1个单位即可得到y的图象，如图2.识图与辨图典题导入例2(xx高考)已知定义在区间0,2上的函数yf(x)的图象如图所示，则yf(2x)的图象为

6、()自主解答法一：由yf(x)的图象知f(x)当x0,2时，2x0,2，所以f(2x)故yf(2x)法二：当x0时，f(2x)f(2)1；当x1时，f(2x)f(1)1.观察各选项，可知应选B.答案B由题悟法“看图说话”常用的方法(1)定性分析法：通过对问题进行定性的分析，从而得出图象的上升(或下降)的趋势，利用这一特征分析解决问题(2)定量计算法：通过定量的计算来分析解决问题(3)函数模型法：由所提供的图象特征，联想相关函数模型，利用这一函数模型来分析解决问题以题试法2.(1)如图，函数f(x)的图象是曲线OAB，其中点O，A，B的坐标分别为(0,0)，(1,2)，(3,1)，则f的值等于_

7、(2)(x东城模拟)已知函数对任意的xR有f(x)f(x)0，且当x0时，f(x)ln(x1)，则函数f(x)的图象大致为()解析：(1)由图象知f(3)1，1.ff(1)2.(2)对xR有f(x)f(x)0，f(x)是奇函数f(0)0，yf(x)的图象关于原点对称，当x0时，f(x)f(x)ln(x1)ln(1x)，由图象知符合上述条件的图象为D.答案：(1)2(2)D函数图象的应用典题导入例3(x新课标全国卷)已知函数yf(x)的周期为2，当x1,1时f(x)x2，那么函数yf(x)的图象与函数y|lg x|的图象的交点共有()A10个B9个C8个 D1个自主解答根据f(x)的性质及f(x

8、)在1,1上的解析式可作图如下：可验证当x10时，y|lg 10|1；0x10时，|lg x|10时|lg x|1.结合图象知yf(x)与y|lg x|的图象交点共有10个答案A若本例中f(x)变为f(x)|x|，其他条件不变，试确定交点个数解：根据f(x)的性质及f(x)在1,1上的解析式可作图如下：由图象知共10个交点由题悟法1利用函数的图象研究函数的性质对于已知或易画出在给定区间上图象的函数，其性质(单调性、奇偶性、周期性、最值(值域)、零点)常借助于图象研究，但一定要注意性质与图象特征的对应关系2利用函数的图象研究方程根的个数当方程与基本函数有关时，可以通过函数图象来研究方程的根，方程

9、f(x)0的根就是函数f(x)图象与x轴的交点的横坐标，方程f(x)g(x)的根就是函数f(x)与g(x)图象的交点的横坐标以题试法3已知函数f(x)2x2，g(x)x.若f(x)*g(x)minf(x)，g(x)，那么f(x)*g(x)的最大值是_(注意：min表示最小值)解析：画出示意图(实线部分)，f(x)*g(x)其最大值为1.答案：11函数f(x)2x3的图象()A关于y轴对称B关于x轴对称C关于直线yx对称 D关于原点对称解析：选D显然函数f(x)2x3是一个奇函数，所以其图象关于原点对称2函数y的图象大致是()解析：选B当x0时，函数的图象是抛物线；当x0时，只需把y2x的图象在

10、y轴右侧的部分向下平移1个单位即可，故大致图象为B.3(x北京海淀二模)为了得到函数ylog2(x1)的图象，可将函数ylog2x的图象上所有的点的()A纵坐标缩短到原来的，横坐标不变，再向右平移1个单位长度B纵坐标缩短到原来的，横坐标不变，再向左平移1个单位长度C横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再向右平移1个单位长度D横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再向左平移1个单位长度解析：选A本题考查图象的平移和伸缩将ylog2x的图象横坐标不变，纵坐标缩短到原来的，得ylog2x的图象，再将ylog2x的图象向右平移1个单位长度即可4(xx高考)设函数f(x)(xR)满足f(x)f(x)，f(

11、x2)f(x)，则yf(x)的图象可能是()解析：选B表达式“f(x)f(x)”，说明函数是偶函数，表达式“f(x2)f(x)”，说明函数的周期是2，再结合选项图象不难看出正确选项为B.5 (x济南模拟)函数ylg的大致图象为()解析：选D由题知该函数的图象是由函数ylg|x|的图象左移一个单位得到的，故其图象为选项D中的图象6(x天津高考)对实数a和b，定义运算“”：ab设函数f(x)(x22)(xx2)，xR.若函数yf(x)c的图象与x轴恰有两个公共点，则实数c的取值范围是()A.B.C.D.解析：选B由题意可知f(x)作出图象，由图象可知yf(x)与yc有两个交点时，c2或1c0时，函

12、数g(x)logf(x)有意义，由函数f(x)的图象知满足f(x)0的x(2,8答案：(2,88函数f(x)图象的对称中心为_解析：f(x)1，把函数y的图象向上平移1个单位，即得函数f(x)的图象由y的对称中心为(0,0)，可得平移后的f(x)图象的对称中心为(0,1)答案：(0,1)9如图，定义在1，)上的函数f(x)的图象由一条线段及抛物线的一部分组成，则f(x)的解析式为_解析：当1x0时，设解析式为ykxb，则得yx1.当x0时，设解析式为ya(x2)21，图象过点(4,0)，0a(42)21，得a.答案：f(x)10已知函数f(x)(1)在如图所示给定的直角坐标系内画出f(x)的图

13、象；(2)写出f(x)的单调递增区间；(3)由图象指出当x取什么值时f(x)有最值解：(1)函数f(x)的图象如图所示(2)由图象可知，函数f(x)的单调递增区间为1,0，2,5(3)由图象知当x2时，f(x)minf(2)1，当x0时，f(x)maxf(0)3.x若直线y2a与函数y|ax1|(a0且a1)的图象有两个公共点，求a的取值范围解：当0a1时，y|ax1|的图象如图1所示，由已知得02a1，即0a.当a1时，y|ax1|的图象如图2所示，由已知可得02a1，即0a，但a1，故a.综上可知，a的取值范围为.x已知函数f(x)的图象与函数h(x)x2的图象关于点A(0,1)对称(1)

14、求函数f(x)的解析式；(2)若g(x)f(x)，g(x)在区间(0,2上的值不小于6，求实数a的取值范围解：(1)设f(x)图象上任一点坐标为(x，y)，点(x，y)关于点A(0,1)的对称点(x,2y)在h(x)的图象上，2yx2，yx，即f(x)x.(2)由题意g(x)x，且g(x)x6，x(0,2x(0,2，a1x(6x)，即ax26x1.令q(x)x26x1，x(0,2，q(x)x26x1(x3)28，x(0,2时，q(x)maxq(2)7，故a的取值范围为7，)1.(x威海质检)函数yf(x)(xR)的图象如图所示，下列说法正确的是()函数yf(x)满足f(x)f(x)；函数yf(

15、x)满足f(x2)f(x)；函数yf(x)满足f(x)f(x)；函数yf(x)满足f(x2)f(x)ABC D解析：选C由图象可知，函数f(x)为奇函数且关于直线x1对称，所以f(1x)f(1x)，所以f1(x1)f1(x1)，即f(x2)f(x)故正确2若函数f(x)的图象经过变换T后所得图象对应函数的值域与函数f(x)的值域相同，则称变换T是函数f(x)的同值变换下面给出四个函数及其对应的变换T，其中变换T不属于函数f(x)的同值变换的是()Af(x)(x1)2，变换T将函数f(x)的图象关于y轴对称Bf(x)2x11，变换T将函数f(x)的图象关于x轴对称Cf(x)2x3，变换T将函数f

16、(x)的图象关于点(1,1)对称Df(x)sin，变换T将函数f(x)的图象关于点(1,0)对称解析：选B对于A，与f(x)(x1)2的图象关于y轴对称的图象对应的函数解析式为g(x)(x1)2(x1)2，易知两者的值域都为0，)；对于B，函数f(x)2x11的值域为(1，)，与函数f(x)的图象关于x轴对称的图象对应的函数解析式为g(x)2x11，其值域为(，1)；对于C，与f(x)2x3的图象关于点(1,1)对称的图象对应的函数解析式为2g(x)2(2x)3，即g(x)2x3，易知值域相同；对于D，与f(x)sin的图象关于点(1,0)对称的图象对应的函数解析式为g(x)sin，其值域为1

17、,1，易知两函数的值域相同3已知函数yf(x)的定义域为R，并对一切实数x，都满足f(2x)f(2x)(1)证明：函数yf(x)的图象关于直线x2对称；(2)若f(x)是偶函数，且x0,2时，f(x)2x1，求x4,0时的f(x)的表达式解：(1)证明：设P(x0，y0)是函数yf(x)图象上任一点，则y0f(x0)，点P关于直线x2的对称点为P(4x0，y0)因为f(4x0)f(2(2x0)f(2(2x0)f(x0)y0，所以P也在yf(x)的图象上，所以函数yf(x)的图象关于直线x2对称(2)因为当x2,0时，x0,2，所以f(x)2x1.又因为f(x)为偶函数，所以f(x)f(x)2x

18、1，x2,0当x4，2时，4x0,2，所以f(4x)2(4x)12x7.而f(4x)f(x)f(x)，所以f(x)2x7，x4，2所以f(x)1设D(x，y)|(xy)(xy)0，记“平面区域D夹在直线y1与yt(t1,1)之间的部分的面积”为S，则函数Sf(t)的图象的大致形状为()解析：选C如图平面区域D为阴影部分，当t1时，S0，排除D；当t时，SSmax，排除A、B.2(x深圳模拟)已知定义在区间0,1上的函数yf(x)的图象如图所示，对于满足0x1x2x2x1；x2f(x1)x1f(x2)；1，在(0,1)上不恒成立；由题图知，0x1x2，正确；图象是上凸的，正确答案： 第四节函数的

19、奇偶性及周期性知识能否忆起一、函数的奇偶性奇偶性定义图象特点偶函数如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(x)f(x)，那么函数f(x)是偶函数关于y轴对称奇函数如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(x)f(x)，那么函数f(x)是奇函数关于原点对称二、周期性1周期函数对于函数yf(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(xT)f(x)，那么就称函数yf(x)为周期函数，称T为这个函数的周期2最小正周期如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期小题能否全取1(x广东高考)下列函数为偶函数的是

20、()Aysin xByx3Cyex Dyln 解析：选D四个选项中的函数的定义域都是R.ysin x为奇函数幂函数yx3也为奇函数指数函数yex为非奇非偶函数令f(x)ln ，得f(x)ln ln f(x)所以yln为偶函数2已知f(x)ax2bx是定义在a1,2a上的偶函数，那么ab 的值是()A B.C. D解析：选Bf(x)ax2bx是定义在a1,2a上的偶函数，a12a0，a.又f(x)f(x)，b0，ab.3(教材习题改编)已知定义在R上的奇函数f(x)，满足f(x4)f(x)，则f(8)的值为()A1 B0C1 D2解析：选Bf(x)为奇函数且f(x4)f(x)，f(0)0，T4.

21、f(8)f(0)0.4若函数f(x)x2|xa|为偶函数，则实数a_.解析：法一：f(x)f(x)对于xR恒成立，|xa|xa|对于xR恒成立，两边平方整理得ax0，对于xR恒成立，故a0.法二：由f(1)f(1)，得|a1|a1|，故a0.答案：05(x广东高考)设函数f(x)x3cos x1.若f(a)x，则f(a)_.解析：观察可知，yx3cos x为奇函数，且f(a)a3cos a1x，故a3cos a10.则f(a)a3cos a11019.答案：9 1.奇、偶函数的有关性质：(1)定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件；(2)奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关

22、于y轴对称；反之亦然；(3)若奇函数f(x)在x0处有定义，则f(0)0；(4)利用奇函数的图象关于原点对称可知，奇函数在原点两侧的对称区间上的单调性相同；利用偶函数的图象关于y轴对称可知，偶函数在原点两侧的对称区间上的单调性相反2若函数满足f(xT)f(x)，由函数周期性的定义可知T是函数的一个周期；应注意nT(nZ且n0)也是函数的周期函数奇偶性的判断典题导入例1(x福州质检)设Q为有理数集，函数f(x)g(x)，则函数h(x)f(x)g(x)()A是奇函数但不是偶函数B是偶函数但不是奇函数C既是奇函数也是偶函数D既不是偶函数也不是奇函数自主解答当xQ时，xQ，f(x)f(x)1；当xRQ

23、时，xRQ，f(x)f(x)1.综上，对任意xR，都有f(x)f(x)，故函数f(x)为偶函数g(x)g(x)，函数g(x)为奇函数h(x)f(x)g(x)f(x)g(x)f(x)g(x)h(x)，函数h(x)f(x)g(x)是奇函数h(1)f(1)g(1)，h(1)f(1)g(1)1，h(1)h(1)，函数h(x)不是偶函数答案A由题悟法利用定义判断函数奇偶性的方法(1)首先求函数的定义域，定义域关于原点对称是函数为奇函数或偶函数的必要条件；(2)如果函数的定义域关于原点对称，可进一步判断f(x)f(x)或f(x)f(x)是否对定义域内的每一个x恒成立(恒成立要给予证明，否则要举出反例)注意

24、判断分段函数的奇偶性应分段分别证明f(x)与f(x)的关系，只有对各段上的x都满足相同的关系时，才能判断其奇偶性以题试法1判断下列函数的奇偶性(1)f(x)；(2)f(x)3x3x；(3)f(x)；(4)f(x)解：(1)由得x1，f(x)的定义域为1,1又f(1)f(1)0，f(1)f(1)0，即f(x)f(x)f(x)既是奇函数又是偶函数(2)f(x)的定义域为R，f(x)3x3x(3x3x)f(x)，所以f(x)为奇函数(3)由得2x2且x0.f(x)的定义域为2,0)(0,2，f(x)，f(x)f(x)，f(x)是奇函数(4)f(x)的定义域为R，关于原点对称，当x0时，f(x)(x)

25、22(x22)f(x)；当x0的解集为()A(2,0)(2，)B(，2)(0,2)C(，2)(2，) D(2,0)(0,2)自主解答(1)yf(x)x2是奇函数，且x1时，y2，当x1时，y2，即f(1)(1)22，得f(1)3，所以g(1)f(1)21.(2)f(x)为偶函数，0.xf(x)0.或又f(2)f(2)0，f(x)在(0，)上为减函数，故x(0,2)或x(，2)答案(1)1(2)B本例(2)的条件不变，若n2且nN*，试比较f(n)，f(1n)，f(n1)，f(n1)的大小解：f(x)为偶函数，所以f(n)f(n)，f(1n)f(n1)又函数yf(x)在(0，)为减函数，且0n1

26、nn1，f(n1)f(n)f(n1)f(n1)f(n)f(2a)，则实数a的取值范围是_解析：(1)当x0，所以f(x)x2x，f(x)ax2bx，而f(x)f(x)，即x2xax2bx，所以a1，b1，故ab0.(2)因为f(x)x22x在0，)上是增函数，又因为f(x)是R上的奇函数，所以函数f(x)是R上的增函数，要使f(3a2)f(2a)，只需3a22a，解得3a0时，x0，则h(x)x2x(x2x)h(x)，当x0，则h(x)x2x(x2x)h(x)x0时，h(0)0，故h(x)为奇函数5(x杭州月考)已知函数f(x)为定义在R上的奇函数，当x0时，f(x)2x2xm(m为常数)，则

27、f(1)的值为()A3 B1C1 D3解析：选A函数f(x)为定义在R上的奇函数，则f(0)0，即f(0)20m0，解得m1.则f(x)2x2x1，f(1)212113，f(1)f(1)3.6若函数f(x)为奇函数，则a()A. B.C. D1解析：选Af(x)是奇函数，f(1)f(1)，a13(1a)，解得a.7(x孝感模拟)已知f(x)是偶函数，当x0时，f(x)_.解析：x0，x0时，f(x)x2x.答案：x2x8.(x“江南十校”联考)定义在2,2上的奇函数f(x)在(0,2上的图象如图所示，则不等式f(x)x的解集为_解析：依题意，画出yf(x)与yx的图象，如图所示，注意到yf(x

28、)的图象与直线yx的交点坐标是和，结合图象可知，f(x)x的解集为.答案：9已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，其最小正周期为3，且x时，f(x)log2(3x1)，则f(2 0x)_.解析：f(2 0x)f(36701)f(1)f(1)log2(31)2.答案：210已知函数f(x)x2(x0，常数aR)(1)判断f(x)的奇偶性，并说明理由；(2)若f(1)2，试判断f(x)在2，)上的单调性解：(1)当a0时，f(x)x2，f(x)f(x)，函数是偶函数当a0时，f(x)x2(x0，常数aR)，取x1，得f(1)f(1)20；f(1)f(1)2a0，即f(1)f(1)，f(1)f(1)

29、故函数f(x)既不是奇函数也不是偶函数(2)若f(1)2，即1a2，解得a1，这时f(x)x2.任取x1，x22，)，且x1x2，则f(x1)f(x2)(x1x2)(x1x2)(x1x2).由于x12，x22，且x1x2.故x1x2，所以f(x1)f(x2)，故f(x)在2，)上是单调递增函数x已知函数f(x)是奇函数(1)求实数m的值；(2)若函数f(x)在区间1，a2上单调递增，求实数a的取值范围解：(1)设x0，所以f(x)(x)22(x)x22x.又f(x)为奇函数，所以f(x)f(x)，于是x0时，f(x)x22xx2mx，所以m2.(2)要使f(x)在1，a2上单调递增，结合f(x

30、)的图象知所以1a3，故实数a的取值范围是(1,3x已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且它的图象关于直线x1对称(1)求证：f(x)是周期为4的周期函数；(2)若f(x)(0x1)，求x5，4时，函数f(x)的解析式解：(1)证明：由函数f(x)的图象关于直线x1对称，得f(x1)f(1x)，即有f(x)f(x2)又函数f(x)是定义在R上的奇函数，故有f(x)f(x)故f(x2)f(x)从而f(x4)f(x2)f(x)，即f(x)是周期为4的周期函数(2)由函数f(x)是定义在R上的奇函数，有f(0)0.x1,0)时，x(0,1，f(x)f(x)，又f(0)0，故x1,0时， f(x).

31、x5，4，x41,0，f(x)f(x4).从而，x5，4时，函数f(x).1设f(x)是奇函数，且在(0，)内是增函数，又f(3)0，则xf(x)0的解集是()Ax|3x3Bx|x3，或0x3Cx|x3Dx|3x0，或0x3解析：选D由xf(x)0，得或而f(3)0，f(3)0，即或所以xf(x)0的解集是x|3x0，或0x32(xx高考)设f(x)是定义在R上且周期为2的函数，在区间1,1上，f(x)其中a，bR.若ff，则a3b的值为_解析：因为f(x)是定义在R上且周期为2的函数，所以ff，且f(1)f(1)，故ff，从而a1,3a2b2.由f(1)f(1)，得a1，故b2a.由得a2，

32、b4，从而a3b10.答案：103(x烟台模拟)已知函数f(x)的定义域是(0，)，且满足f(xy)f(x)f(y)，f1，如果对于0xf(y)，(1)求f(1)；(2)解不等式f(x)f(3x)2.解：(1)令xy1，则f(1)f(1)f(1)，f(1)0.(2)f(x)f(3x)2f，f(x)ff(3x)f0f(1)，fff(1)，ff(1)，则解得1xg(0)g(1)答案：f(1)g(0)g(1)2关于yf(x)，给出下列五个命题：若f(1x)f(1x)，则yf(x)是周期函数；若f(1x)f(1x)，则yf(x)为奇函数；若函数yf(x1)的图象关于x1对称，则yf(x)为偶函数；函数

33、yf(1x)与函数yf(1x)的图象关于直线x1对称；若f(1x)f(1x)，则yf(x)的图象关于点(1,0)对称填写所有正确命题的序号_解析：由f(1x)f(1x)可知，函数周期为2，正确；由f(1x)f(1x)可知，yf(x)的对称中心为(1,0)，错；yf(x1)向左平移1个单位得yf(x)，故yf(x)关于y轴对称，正确；两个函数对称时，令1x1x得x0，故应关于y轴对称，错；由f(1x)f(1x)得yf(x)关于x1对称，错，故正确的应是.答案：3已知f(x)是偶函数，且f(x)在0，)上是增函数，如果f(ax1)f(x2)在x上恒成立，求实数a的取值范围解：由于f(x)为偶函数，

34、且在0，)上为增函数，则在(，0上为减函数，由f(ax1)f(x2)，则|ax1|x2|，又x，故|x2|2x，即x2ax12x.故x3ax1x,1a1，在上恒成立由于min0，max2，故2a0. 双_曲_线知识能否忆起1双曲线的定义平面内与定点F1、F2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线，这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距2双曲线的标准方程和几何性质标准方程1(a0，b0)1(a0，b0)图形性质范围xa或xaya或ya对称性对称轴：坐标轴对称中心：原点对称轴：坐标轴对称中心：原点顶点A1(a,0)，A2(a,0)A1(0，a)，A2

35、(0，a)渐近线yxyx离心率e，e(1，)，其中c实虚轴线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长|A1A2|2a；线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长|B1B2|2b；a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长通径过焦点垂直于实轴的弦叫通径，其长为a、b、c的关系c2a2b2(ca0，cb0)小题能否全取1(教材习题改编)若双曲线方程为x22y21，则它的左焦点的坐标为()A.B.C. D.解析：选C双曲线方程可化为x21，a21，b2.c2a2b2，c.左焦点坐标为.2(教材习题改编)若双曲线y21的一个焦点为(2,0)，则它的离心率为()A. B.C. D2解析：选C依题意得a214，a

36、23，故e.3设F1，F2是双曲线x21的两个焦点，P是双曲线上的一点，且3|PF1|4|PF2|，则PF1F2的面积等于()A4 B8C24 D48解析：选C由P是双曲线上的一点和3|PF1|4|PF2|可知，|PF1|PF2|2，解得|PF1|8，|PF2|6.又|F1F2|2c10，所以PF1F2为直角三角形，所以PF1F2的面积S6824.4双曲线y21(a0)的离心率为2，则该双曲线的渐近线方程为_解析：由题意知 2，解得a，故该双曲线的渐近线方程是xy0，即yx.答案：yx5已知F1(0，5)，F2(0,5)，一曲线上任意一点M满足|MF1|MF2|8，若该曲线的一条渐近线的斜率为

37、k，该曲线的离心率为e，则|k|e_.解析：根据双曲线的定义可知，该曲线为焦点在y轴上的双曲线的上支，c5，a4，b3，e，|k|.|k|e.答案：1.区分双曲线与椭圆中a、b、c的关系，在椭圆中a2b2c2，而在双曲线中c2a2b2.双曲线的离心率e1；椭圆的离心率e(0,1)2渐近线与离心率：1(a0，b0)的一条渐近线的斜率为 .可以看出，双曲线的渐近线和离心率的实质都表示双曲线张口的大小注意当ab0时，双曲线的离心率满足1e0时，e(亦称为等轴双曲线)；当ba0时，e.3直线与双曲线交于一点时，不一定相切，例如：当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交于一点，但不是相切；反之，当直线与双曲线相切时，直线与双曲线仅有一个交点双曲线的定义及标准方程典题导入例1(1)(x湖南高考)已知双曲线C：1的焦距为10，点P(2,1)在C的渐近线上，则C的方程为()A.1B.1C.1 D.1(2)(x辽宁高考)已知双曲线x2y21，点F1，F2为其两个焦点，点P为双曲线上一点，若PF1PF2，则|PF1|PF2|的值为_自主解答