专题08 不等式选讲-2018年高考数学考前回归课本之典型考点练习指导 Word版含解析

1、专题八 不等式选讲【高考考点再现】不等式选讲为高考选考内容之一。一道解答题，满分10分，考查难度定位中等偏易，是考生容易突破的一道题目，主要考查解绝对值不等式，根据给定条件求参数的取值范围，用基本不等式研究代数式的最值及不等式证明的比较法、综合法、分析法等，交汇考查集合的概念、绝对值的概念、函数的概念、函数的图像与性质、二次不等式、基本不等式等.下面从学生存在的主要问题剖析出发，提出相应的教学对策。【典型考点分析】（一）含绝对值不等式的求解【例题1】【2013课标全国，文24】 已知函数（）当时，求不等式的解集；（）设，且当x时，求a的取值范围 法二：当时，不等式化为设函数， 则其图像如图所示

2、从图像可知，当且仅当时，.所以原不等式的解集是 【名师点评】对于含绝对值的不等式的求解方法一般采用零点分段法，其解题步骤大致为：求零点；分区间、去绝对值号；分别解各区间上所得不等式；取所得结果的并集. 注意在分段时不要遗漏区间的端点值也可以采用图像法，通过作出函数图像，利用数形结合的思想求解.【例题2】2016课标1卷已知函数.（）在右图中画出的图像；（）求不等式的解集. 【名师点睛】本题的关键在于能准确作出函数的图像才能通过图像判断不等式的解集.（二）给定条件，求参数的取值范围【例3】(2012高考全国课标卷24)已知函数（）当时,求不等式的解集； （）若的解集包含,求的取值范围。【解析】（

3、）当时, 或或 或所以原不等式的解集为（）原命题在上恒成立在上恒成立，在上恒成立所以所求的取值范围是【名师点评】本题解题的关键在于能将“的解集包含”等价转换为“在上恒成立”的问题求解. 关于不等式恒成立问题均可转化为函数最值问题来处理：若不等式在区间上恒成立, 等价于在区间上；若不等式在区间上恒成立, 则等价于在区间上，.【例题4】已知函数（）若不等式的解集为，求实数的值 ；（）若在（）的条件下，使得，求实数的取值范围.【解析】（）不等式的解集为，.（）由已知得，即成立，即，解得求实数的取值范围是【名师点评】本题属于“能成立”问题，解题的关键还是转化：将“使得”等价转化为“”，最终转化为求函数

4、最值问题. 关于“能成立”问题有：不等式在区间上能成立，即存在,使得，等价于在区间上；不等式在区间上能成立，即存在,使得，等价于在区间上.【例题5】（2011高考全国课标卷24）设函数，其中.（）当时，求不等式的解集；（）若不等式的解集为 ，求的值.【解析】（）当时，可化为由此可得或，故不等式的解集为或. （）由得，此不等式化为如下不等式组：或即或. 由于，所以不等式组的解集为，由题设可得，故. 【名师点评】本题属于“恰成立”问题，对于“恰成立”问题，解决此类问题只需按照正常解不等式进行，再根据集合相等的条件即可求解.（三）不等式的证明【例题6】(2017课标II，理23)已知.求证：（）；（

5、）.【证明】（） 【你是点评】不等式证明的常用方法有比较法、分析法、综合法、反证法等.如果已知条件与待证结论直接联系不明显，可考虑用分析法；如果待证命题是否定性命题、唯一性命题或以“至少”“至多”等方式给出的，则考虑用反证法.在必要的情况下，可能还需要使用换元法、构造法等技巧简化对问题的表述和证明.利用基本不等式证明不等式是综合法证明不等式的一种情况，证明思路是从已证不等式和问题的已知条件出发，借助不等式的性质和有关定理，经过逐步的逻辑推理最后转化为需证问题。若不等式恒等变形之后若与二次函数有关，可用配方法。【典型考点过关练习】一、解答题1已知函数.(1)求的值域；(2)若对任意实数和，求实数

6、的取值范围.【答案】（1）；（2）【解析】分析：（1）去掉绝对值号，得到分段函数，利用分段函数的性质，即可求解函数的值域.（2）若对任意实数，分类讨论，当且仅当时，即可求实数的取值范围.详解：(1)的值域为.(2)当,即时，可化为,即恒成立,.当时,，当且仅当,即时，等号成立，即当时,的最小值等于1.,即.由(I)知,.当且仅当时,.综上所述,实数的取值范围是点睛：本题考查绝对值不等式的性质，考查恒成立问题的求解，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.2已知.（1）当时，求不等式的解集；（2）若关于的不等式恒成立，求的取值范围.【答案】（1）解集为；（2）的取值范围是. （2）不等

7、式，即为，即关于的不等式恒成立，而，当且仅当时等号成立，所以，解得或，解得或.所以的取值范围是.点睛：绝对值不等式的解法：法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；法三：通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想3设函数.()当时，求不等式的解集；()若函数 的图象与直线所围成的四边形面积大于20,求的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】试题分析：（1）根据绝对值定义将不等式化为两个不等式组，分别求解，最后求并集，（2）先根据绝对值定义化为分段函数形式，作图可得形状为梯形，根据梯形面积公式列不等式，解不等式可

8、得的取值范围. () 则的图象与直线所围成的四边形为梯形,令,得,令，得,则梯形上底为, 下底为 11,高为.化简得，解得，结合，得的取值范围为.点睛：含绝对值不等式的解法有两个基本方法，一是运用零点分区间讨论，二是利用绝对值的几何意义求解法一是运用分类讨论思想，法二是运用数形结合思想，将绝对值不等式与函数以及不等式恒成立交汇、渗透，解题时强化函数、数形结合与转化化归思想方法的灵活应用，这是命题的新动向4已知.（1）若，求的取值范围；（2）已知，若使成立，求的取值范围.【答案】（1）或；（2）【解析】分析：（1）根据绝对值三角不等式，可得，求解即可得出的取值范围；（2）当时， 不等式即， ，令

9、.（当时取“=”）.点睛：含绝对值不等式的解法有两个基本方法，一是运用零点区间讨论，二是利用绝对值的几何意义求解.法一是运用分类讨论的思想，法二是运用数形结合的思想，将绝对值不等式与函数以及不等式恒成立交汇、渗透，解题时强化函数、数形结合与转化化归思想方法的灵活使用.5【选修：不等式选讲】已知（1）当，解关于的不等式；（2）当时恒有，求实数的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】分析：（1）可利用绝对值的定义去掉不等式中绝对值符号，从而分段求解；（2）由绝对值的定义，知当时，从而只要解不等式，此题要注意，即这个隐含条件 （2），或又，综上，实数的取值范围为：.点睛：解含绝对值的不等式，一般可按

10、照绝对值定义，分类去掉绝对值符号，化含绝对值的不等式为不含绝对值的不等式，分别求解，最后求出并集即可，这也是解绝对值问题的常用方法，当然也有许多时候可用绝对值的性质或几何意义求得结论6选修4-5：不等式选讲 已知函数.（1）求不等式的解集；（2）若对恒成立，求的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】试题分析：（1）由已知，根据解析式中绝对值的零点（即绝对值等于零时的值），将函数的定义域分成若干段，从而去掉绝对值号，再分别计算各段函数的相应不等式的解集，从而求出原不等式的解集；（2）由题意，将不等式转化为，可构造新函数，则问题再转化为，由（1）可得，即，从而问题可得解.试题解析：（1）因为，所以

11、当时，由得；当时，由得；当时，由得.综上，的解集为. （方法二）设，则，当时，取得最小值5，所以当时，取得最小值5，故，即的取值范围为.7已知函数(1)当时，求该函数的最小值；(2) 解不等式：.【答案】(1)3；(2)答案见解析.【解析】试题分析：（1）根据绝对值不等式的性质即可求出函数最小值；（2）分区间讨论，去掉绝对值号，即可解出不等式；试题解析：（1）当时，即：（1）当时，（2）当时，当，不等式可化为：，则当，不等式可化为：，无解当，不等式可化为：，则 综上可知，不等式的解集为：当时，；当时，.8已知函数，若的解集是或.（1）求实数的值；（2）若，不等式恒成立，求实数的取值范围.【答案

12、】（1）；（2）.【解析】分析：（1）将函数的解析式写成分段函数的形式：，据此绘制函数图像，结合函数的图像得到关于实数a的方程组，求解方程组可得.（2）由题知，结合(1)的结论可知原问题等价于求解绝对值不等式，分类讨论求解绝对值不等式可得实数的取值范围为.详解：（1），作出函数的图象，如图所示： 由的解集为或及函数图象，可得解得.（2）由题知，不等式恒成立，即，不等式恒成立，由（1）可知，（当且仅当时取等号），当时，当时，成立；当时，综上所述，实数的取值范围为.点睛：绝对值不等式的解法：法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；法三：通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想9设函数.（1）解不等式；（2）若对一切实数均成立，求实数的取值范围.【答案】(1) 解集为或;(2) 的取值范围为.【解析】分析：（1）分段讨论去绝对值求解不等式即可；（2）要使成立，只需函数的最小值大于即可，利用绝对值三角不等式可得的最小值.详解：（1）当时，原不等式即为，解得，；当时， ，原不等式即为，解得，；当时， ，原不等式即为，解得，；综上，原不等式的解集为或.（2）.当时，等号成立.的最小值为，要使成立，解得，的取值范围为.点睛：（1）含绝对值不等式的解法法一：利用绝对值不等式的几何