经济应用数学-n维向量及其相关性

1、n维向量及其相关性, 9.8.1 定义及其背景, 9.8.2-3向量的线性相关性,9.8.4 向量组的极大线性无关组 与矩阵的秩, 9.9线性方程组解的结构,概要及小节,确定小鸟或飞机的飞行 状态，需要以下若干个参数：,小鸟重心在空间的位置参数,小鸟身体的水平转角,小鸟身体的仰角,鸟翼的转角,所以，为确定小鸟的飞行状态，会产生一组有序数组,（一）、引入,小鸟身体的质量,鸟翼的振动频率,还有,9.8.1、向量的定义及其背景,（二）、,个数组成的有序数组,称为一个元向量，其中称为第个分量. 向量含有分量的个数也叫向量的维数,如：,元向量写成一行，称为行向量，也就是1n矩阵，,如：,向量一般用希腊字

2、母,等来表示.,元向量写成一列，称为列向量，也就是n1矩阵，,利用矩阵转置的记号n元列向量可记为,定义,、行向量和列向量总被看作是两个不同的向量；,、行向量和列向量都按照矩阵的运算法则进行运算；,、当没有明确说明时,本教材中的向量当作实的列向量.,2、元素全为零的向量称为零向量.,元素含复数的向量称为复向量.,（三）、几种特殊向量,1、元素是实数的向量称为实向量.,4、对应分量相等的向量相等，也就是两个向量完全相同.,本教材基本上不涉及,如：,3.向量,的负向量记作,注意,（四）、向量与矩阵的关系,其第个列向量记作,个维行向量.,按行分块,按列分块,个维列向量.,其第个行向量记作,矩阵与向量的

3、关系中注意什么是向量的个数、什么是向量的维数，二者必须分清.,（五）、向量的运算,1、加法,规定,2、数乘,规定,称为数与向量的数量积.,向量的加法与数乘合称为向量的线性运算.,称为与的和向量.,称为与的差向量.,4、乘法,对于维行向量,为一阶方阵，即一个数.,为阶方阵；,3、转置,原来向量是可以这样来运算的呀，好像很熟悉呢,5、运算规律,（1） （加法交换律）,（2） （加法结合律）,（3),（4）,（5） （减法）,(设,均是维向量,k,t为实数),（6）,（7）,（8）,（9）,特别,易见，向量的运算性质和矩阵的运算性质是一致的。所以也可以从矩阵的运算性质推出向量中的这些运算性质。,例

4、1,设向量,解,（六）、向量运算应用举,，,.,(1) 计算,（2）计算,(1),(2),向量乘法与矩阵的乘法一样，注意两个向量什么时候可以相乘，什么时候是数，什么时候是矩阵。,例2,，其中为设4阶单位矩阵,计算矩阵AB.,解答：,已知4维列向量,矩阵A和B分别是,向量乘法运算的结合律,一、预备知识,二、线性关系的定义和判别法,三、相关结论以及应用举例,9.8.2 向量的线性相关性,任意n个同维数的列向量或同维数的行向量，所组成的集合称为向量组,例如,对于一个 矩阵有个维列向量.,记作：,向量组,称为矩阵A的列向量组,矩阵的按列分块，每一列就是一个向量。所有列组成一个向量组。,（一）矩阵与向量

5、组的关系,一、预备知识,同样的，矩阵A有个维行向量.,向量组,称为矩阵A的行向量组,矩阵的按行分块，每一行就是一个向量。所有行组成一个向量组。,矩阵分块和向量的关系我看明白了吗？,反之，由若干个向量所组成的向量组也可以构成一个矩阵.,个维列向量所组成的向量组,构成一个矩阵.,个维行向量.所组成的向量组,也构成一个矩阵.,注意：矩阵与向量组之间的对应关系,（二）线性方程组的向量表示,方程组与增广矩阵的列向量组之间一一对应,即,或,其中A是系数矩阵，x是未知量矩阵，b是常数项矩阵。,向量,几何形象：可 随 意 平行移动的有向线段,代数形象：向 量 的 坐标表示式,(三)、向量的身份比较,几何中的向

6、量,1、基本概念,给定向量组,，对于某数域中的一组数,，称向量,为向量组的,一个线性组合.,为某数域P中的常数，也称为组合系数.,设向量组,及向量满足关系式,则称为向量组的一个线性组合，或称可经向量组,线性表示.,也称为在该线性组合下的组合系数.,二、线性关系的定义和判别方法,定义,定义,2、向量的线性组合和线性表示的平面显示,+,+,+,由上述定义，显然零向量O可经任意一组向量,线性表示，这是因为,任意n元向量,均可经向量组,线性表示.,那是因为,一般情况下，一个取定的向量,未必能用某个确定的向量组,线性表示。下面假定向量的分量是已知的，,能用,线性表示的条件。,设取定的,，确定的向量组,，

7、则,能（否）用,线性表示相当于能（否）找到数域中的数,，使得,。,具体写出来就是,来讨论向量,即,，这表明数域中是否有,使得该式成 立，,相当于线性方程组,在数域中是否有解。,按系数矩阵,的列分块方法，上述线性方程组可以改写为,，根据线性方程组,解的判别方法，可得下列命题,命题,向量,能（否）经向量组,线性表示,有解（无解）,等于（不等于）秩,其中,线性方程组,秩,是怎么回事同学们有没有弄清楚呢？,据此命题判断某个向量能否经某向量组线性表示，可归结为非齐次线性方程组是否有解，从而取决于该方程组系数矩阵和增广矩阵的秩是否相等，所以该问题最终是用初等行变换化增广矩阵为阶梯形矩阵来解决的。,同学们，

8、谁能解释一下前面所述的两个问题，一定能够线性表示的原因呢？,例1：零向量可经任意一组向量,线性表示，其缘由在于齐次线性方程组,必有解，至少零解是明显的解。,任意n元向量,均可经向量组,线性表示，其缘由是,，所以线性方程组,必有解，,就是它的解。,例2：设向量组,（1）问,能否经向量组,线性表示？,（2）问,能否经向量组,线性表示？,（3）问,取何值时,能经向量组,线性表示？问,取何值时,不能经向量组,线性表示？,解 （1）据命题知，此问题归结为非齐次线性方程组,是否有解，故可用初等行变换化增广矩阵,为阶梯形矩阵。,若能线性表示，请写出线性表示式。,这表明,所以该方程组有解，且解唯一,所以,可经

9、,线性表示，且表示式唯一：,（2）该问题归结为方程组,是否有解，此时增广矩阵通过初等行变换化为：,这表明,，而,故方程组无解，从而,不能经,线性表示。,（3）类似上面两个小题的做法，归结为方程组,是否有解，此时增广矩阵经初等行变换为 :,当,时，,这表明此时非齐次线性方程组,有解，所以,能经,线性表示。,时，,两者不相等。这表明此时非齐次线性方程组,无解，所以,不能经,线性表示。,当,这里所描述的是单个向量和一组向量之间的关系，是一个向量能否经过一组向量来表示的关系。 下面我们来讨论向量组的另外一种关系，主要是向量组内部之间的一种关系，即是否至少有一个向量可以由其它向量来线性 表示的关系。,通

10、俗说法,如果向量组,可以由其余向量来线性表示，我们称向量组内部是有关系的， 把这种关系称为线性相关，反之，若向量组,中的某个向量,中的任意一个向量,都不能由其它向量来线性表示，,我们称向量组内部没有关系，把它称为线性无关。,定义,设,是,个,元向量，如果存在数域,中不全为零的数,，使得,则称向量组,线性相关，,则只有在,时成立，那么就称向量组,线性无关。,否则就称线性无关。,其实线性无关也可以这样表达：,如果有,注意：一个向量组或者线性相关或者线性无关，两者只能居其一，而且必居其一。,一个典型例子,设向量组,证明：,（1）,是线性无关的。,是线性相关的。,（2）,证：（1）设有,，即,得,从而

11、,所以,线性无关。,（2）因前面已知,，所以有,这表明有一组不全为零得数,使得,所以向量组,线性相关。,那么对于一组一般的已知向量组来说，我们是不是可以不限于定义，而有其它方法来判定这组向量的线性关系呢？,我们共同来探讨一下如何去判断一组向量的分量是已知的向量组的线性关系。,现在假定向量的分量是已知的，来讨论向量组,线性相关（线性无关）的判别法，据定义向量组,线性相关（线性无关），意指存在（不存在）一组不全为零的,中的数,，使得,写出乘法的形式即,这相当于齐次线性方程组,有非零解（只有零解），此处和下述的,因此有,命题2,设向量组,，则,（1）,线性相关,（2）,线性无关,look,根据这个命

12、题判断某个向量组线性相关 （线性无关），可归结为齐次线性方程组 有非零解（只有零解），从而取决于 方程组系数矩阵的秩和未知量个数（向量个数） 的关系，所以该问题最终是用初等行变换 化系数矩阵为阶梯形矩阵来解决的。,推论,也就是矩阵A的列数大于行数,注意到,是一个,一定小于等于矩阵的行数，即,这样当向量组含有的向量个数,大于向量的维数,就有,，所以下述结论成立。,矩阵，所以矩阵的秩,对于向量组,当,时，向量组线性相关。,时，任意,个,元向量必线性相关。特别地，,个,元向量也线性相关。,推论,事实上当,当,时，,矩阵，此时,；,所以下列结论当然也成立：,个,元向量,记,则,设,（1）,线性相关,（

13、2）,线性无关,是一个,原来行列式也可以用上！记住了吗？,例3 设向量组,（1）问向量组,线性相关，还是线性无关？为什么？,（2）问向量组,线性相关，还是线性无关？为什么？,（3）当,取何值时，向量组,线性线性相关？,当,取何值时，,线性无关？为什么？,请同学们结合例2自己完成！,例4 下述3组向量中哪一组是线性无关的？,（1）,（2）,是任意实数。,是任意实数。,（3）,解 三个向量组均是3个3元向量，所以可以利用行列式来解答。,这表明（1）与（2）均线性相关，（3）线性无关。,例5,设,是3个线性无关的向量，若,求证：向量组,线性无关。,这个向量组的分量都不知道的，怎么去证明它是线性无关呀

14、。,线性方程组的理论不仅可有效地判别向量的分量具体给出的向量 间的线性关系，即使向量的分量没有给出，有时也行之有效。,证 设有一组数,使,代入题设条件有,整理得,因,线性无关，,故,因系数行列式,得出,这表明要使得,成立的数,必全为0，故向量组,线性无关。,原来这样也可以啊！实际上如果我们学习了向量空间关于基和坐标的知识以后，这样的问题就很容易解决了。,单独一个向量线性相关当且仅当它是零向量,单独一个向量线性无关当且仅当它是非零向量,一向量组中含有一个零向量，则一定线性相关,一个向量组中若部分向量线性相关，则整个向量组也线性相关；一个向量组若线性无关，则它的任何一个部分组都线性无关,对于一个向

15、量组，不是线性相关就是线性无关,几何上：两向量线性相关两向量共线；, 两向量线性相关两向量对应分量成比例.,三向量线性相关三向量共面.,两向量线性无关两向量对应分量不对应成比例.,某 些 重 要 的 结 论,向量组线性无关任何一个向量都不能由其向量线性表示,向量组线性相关至少有一个向量可由其余向量线性表示,证,由向量组线性相关，,得证,至少有一个系数 不为零，,命题,还记得当初我们定义线性相关和线性无关时候的通俗说法吗？原来这是一个定理呢,如果向量组H为,线性相关，则 可由向量组H唯一线性表示.,线性无关，而向量组L为,证,设,线性无关，而向量组L线性相关，,因为，（否则与向量组H线性无关矛盾

16、）,所以 可由H 线性表示.,下证唯一性：,两式相减有,H线性无关，,即表达式唯一.,即有,设,命题,由,1、设向量组,线性相关，则 .,2、设向量组,则（ ）,A、必可由线性表示；,B、必可由线性表示；,C、必可由线性表示；,D、必不可由线性表示.,三、应 用 举 例,9.8.4 向量组的极大线性无关组 与向量组的秩,一、向量组的极大线性无关组,二、矩阵的秩,一个向量组可能包含很多向量，甚至无穷多个向量。比如齐次线性 方程组,的解向量，当,故一般而言很难甚至不可能对一个向量组的向量逐个研究，为此就 有必要从中选出若干个作为“代表”，用这些“代表”来表示向量组的 所有向量。,时就有无穷多个。,

17、这种想法当然是可以实现的，比如前述的,个,元向量,，他们的线性组合就能表示所有的,元向量，故,就是所有,元向量（无穷多个）的代表。,上节的例子让我们注意到,是线性无关的，再任意添加一个,元向量,后，,就线性相关了。,为了描述这种“代表”，下面我们引入向量组的极大线性无关组的概念。,定义,设向量组（）：,的一部分向量组，不妨设为,，若满足,（1）,（2）从原向量组的其余向量（如果有）中任意取一个,添加进去，所得的,个向量,均线性相关。,线性无关；,则称,是（）的一个极大线性无关组。,引进这个概念到底会有什么用呢？,条件（2）也可以表述为：,中任意一个向量,均可经,从定义的表述，当向量组（）：,（

18、）的极大线性无关组就是自身。,线性表示。,线性无关时，,那么是不是每一个向量组都有极大线性无关组呢？,全由零向量组成的向量组，因其任何一部分组都是线性相关的， 所以没有极大线性无关组。除此之外，一般来说任意一组不全为零 向量组成的向量组,中总可选出一个极大线性无关组来，,具体做法可以是：,因,不全为零向量，不妨设,，则,线性无关。考察,让,取遍,，若,均线性相关，则,就是一个极大线性,线性无关，就对,重复上述讨论。,中选出一个极大线性无关组。,无关组。否则不妨设,如此继续，即可从,很明显这样方法很繁琐，下面通过一个例子来介绍一种简单的求 向量组极大线性无关组的方法。,例 已知,求,的极大线性无

19、关组。,解 将,作为列向量，构作矩阵,，仅用初等行变,化为阶梯形。,换把矩阵,即,行变换，所以变换后所得矩阵的秩就是原来矩阵的秩，而且变换后 矩阵中哪些列的秩就是原来矩阵中对应位置上那几列的秩。因此由,，因仅作初等,推知,，得出,线性相关。,由,推知,，得出,线性相关。,由,推知,，得出,线性无关。,由,推知,，得出,线性无关。,这能说明什么问题呢？,这就表明,线性无关，,线性相关，故,是,的一个极大线性无关组.,同时表明,线性无关，,线性相关，故,也是,关组.请同学们利用这个方法,找出,的一个极大线性无,的其它极大线性无关组.,由这个例子我们可以发现，每一个由不全为零向量组成的向量组都 有极

20、大线性无关组，极大线性无关组可以不唯一，而且每个极大线 性无关组所含有的向量个数都是一样的。事实上，有下列结论向量 组的任意两个极大线性无关组所含的向量个数相等，我们将向量组 的极大线性无关组所含向量的个数，称为该向量组的秩，它是由向量 组唯一确定的。所以上述例子中向量组,的秩为3，,显然 全为,零向量组成的向量组的秩为零。由上述例子的求解过程，我们可以 发现:,向量组,的秩即为矩阵,的秩。,命题,由极大线性无关组的定义：,至此，可归结出求向量组,的秩与极大线性无关组的一种,作为列向量构作矩阵A，即,将A只用初等行变换化为阶梯形矩阵B。,向量组,的秩,3、向量组,中任意s个线性无关的向量都是它

21、的一个极大,方法：,1、将,线性无关组，一般常取阶梯头所在的列作为一个极大线性无关组。,设向量组,的秩为s ，则向量组中任意s+1个向量（如果有）,必线性相关。,秩为r的向量组中任意r个线性无关的向量均可作为,该向量组的一个极大线性无关组。,对上述命题的证明留给大家，但请记住并理解这些结论！,命题,2、求出B的秩，比如,命题,个维列向量.,利用向量组的秩和对应矩阵秩的关系，我们可以进一步明确矩阵秩 的含义：设给出了一个数域 P上的,矩阵,其第个列向量记作,个维行向量.,按行分块,按列分块,其第个行向量记作,得到的两个向量组不过是由于两种不同的分块方法造成的，它们都来源于同一个矩阵A.,矩阵A按

22、行分块得到行向量组的秩称为A的行秩，按列分块得到列向量组的秩称为A的列秩。,设,则A的行秩,列秩。,证 由前述命题知A的列秩,。容易看出,所以有,的列秩,，而,的列秩即为A的行秩。故,的行秩,是可逆矩阵,的行向量组线性无关,的列向量组线性无关,这个结论表明我们可把矩阵的秩定义为它的行向量组的极大线性无 关组所含向量个数（行秩），也可定义为它的列向量组的极大线性 无关组所含向量的个数（列秩）。这就使得我们能从一个新的角度 （向量的角度）来刻画矩阵的秩，比如,A的列（行）向量组中有r个列（行）向量线性无关，,且任意r+1个（如果有）列（行）向量均线性相关。,利用这样的观点，我们对矩阵的理解可以更深

23、入一步,例 设A是,矩阵，,（A）A的3个列向量必线性无关。 （B）A的5个行向量必线性相关。 （C）A的任意3个行向量必线性无关。 （D）A的行向量中有3个行向量是线性无关的。,下述4个命题中不正确的是（ ）,解 由,知，A的列秩为3，A的列向量只有3个，所以A的3个,知，A的行秩为3，所以A的5个行向量必然线性相关，故（B）正确。 由A的行秩为3知,A的行向量中有3个行向量是线性无关的,故(D)正确.,列向量必然线性无关，故（A）正确。由,显然（C）不正确.,谁可以举出一个反例来说明选项C不正确呢？,这个矩阵可以说明问题吗？,例 设,矩阵A的秩为r ,证明：,A可通过若干次初等行变换使第r

24、+1,第,第m行全为零。,知，A的行秩为r，设A的行向量组,中极大线性无关组为,经过适当的行交换后，可将,依次排在第1，第2，第r行，此时第r+1,第r+2,第m行中的任意一行均可经,线性表示，故通过适当,证 由,的初等行变换后第r+1,第r+2,第m行全为零。,实际上这个例子阐述了在用消元法解线性方程组时，最后留下的 （系数不全为零）是那些系数与常数组成的行向量是线性无关的 方程，消失的（系数全为零）是那些可表为留下方程的系数与常数 组成行向量线性组合的方程，留下方程的个数即为极大线性无关组 所含向量的个数，也就是行秩。,类似与行向量组,请同学们结合这段描述比较和体会下面的问题！,9.9 线

25、性方程组解的结构问题,一、齐次线性方程组解的结构问题,二、非齐次线性方程组解的结构问题,若系数矩阵A为,矩阵，则一个n元列向量,称为,的一个解向量,当,时，,有无穷多个解。,我们的想法是能否从,的无穷多个解里面找出有限的若干个，,的解具有的一些性质,用这若干个解的某个线性组合来表示所有的其它解。为此，我们先,来看,若,是,的两个解，则,也是,的解，其中,为任意常数。,非齐次线性方程组解的结构问题,本节将用向量的理论来阐述线性方程组解的结构。什么是 线性方程组解的结构呢？其实所谓方程组解的结构就是指 方程组解与解之间的关系，回忆方程组解的情况无非三种， 即唯一解、无穷多解和无解。显然我们研究的方

26、程组解的 结构只是指在方程组有无穷多解时，解与解之间的关系。,命题,是,的解，所以,从而,故,也是,的解。,来说，有限个解的线性组合仍然还是,的解。即若,均为,的解，则,也是,的解。,其实对于,设,均为,的解。如果,线性无关；,的任意一个解向量都能经,线性表示，则称,为,的一个基础解系。,的一个基础解系实际上是,所有解向量的一个,（1）,（2）,显然，,极大线性无关组。,只是针对齐次线性方程组才有的一个概念,定义,先来介绍如何求齐次线性方程组的基础解系，然后介绍如何通过 基础解系来描述方程组解的结构。,设,满足,且,由方程组求解的知识可知,的解可以表达为：,其中,为任意常数。,将此式改写为向量

27、形式,分别记为,分别记该式右端的n-r个n元向量为,，容易知道,均为,的解向量，则齐次线性方程组,的通解可表为,其中,为任意常数。,上式说明,的任意一个解都可以经,其实这组解向量就是,的一个基础解系，为此我们只要说明,线性无关即可，明显有,，所以,线性无关，因此它就是齐次线性方程组,的一个基础解系，,称为用基础解系来表示,的通解。,线性表示，,注意到向量组的极大线性无关组可以不唯一，但每个极大线性无关 组所含向量个数是相同的，这就是说,但每个基础解系所含向量个数是唯一确定的，均为n-r个,的基础解系可以不唯一，,其中n方程组AXO的未知量个数（也就是系数矩阵A的列数），,r是系数矩阵A的秩.,

28、很明显地，基础解系含有的向量个数就是我们齐次线性方程组通解 中的自由未知量的个数，而且由于基础解系是所有解向量的极大线 性无关组，因此任意n-r个线性无关的解向量都可作为一个基础解系.,综合上面所述：,设A为数域P上,矩阵，且,则齐次线性方程组,的通解可用一个基础解系,来表达，表达式即为,基础解系可以不唯一，但每个基础解系,（未知量个数系数矩阵的秩），,个线性无关的解向量都可作为一个基础解系。,所含向量个数是唯一确定的：,且任意,例 解齐次线性方程组,且将其通解用基础解系表示。,命题,解 该方程组的系数矩阵经初等行变换后可化为,通解为,其中,为任意常数。,其中,为任意常数。,通解为,其中,这个

29、解法与前面求齐次线性方程组的通解来比较，只不过把解的 表达方式改进一下，写成向量形式罢了。,写成向量形式为,故一个基础解系为,为任意常数。,请同学们考虑这个线性方程组还有其它的基础解系吗？如果有的话，那么两组不同的基础解系所表达的通解是什么样的关系呢？,求基础解系的另一种方法是将第二章线型方程组的通解里面的自由变量的系数分别设为1，0和0，1后得到的向量就是所求的。,我们已经阐明了齐次线性方程组解的结构：借助基础解系（有限个解向量）的线性组合来表示方程组的全部解（无穷多个）。那么对于非齐次线性方程组是不是也有基础解系可以进行类似的表述非齐次线性方程组解的结构问题呢？,这里说明一点，对于非齐次线

30、性方程组来说，它自己的解向量的线性组合不一定是原来方程组的解，因此非齐次线性方程组没有基础解系。但是我们可以通过研究非齐次线性方程组和齐次线性方程组的关系来刻画非齐次线性方程组解的结构问题。,设非齐次线性方程组为,，其中A为,矩阵，且,称,为,对应的齐次线性方程组，或称为,的导出组.,和,的解之间存在着密切的联系，容易验证有,（1）若,均为,的解，则,为,（2）若,为,的解，,为,的解，则,为,的解。,的解.,非齐次线性方程组解的结构问题,命题,由于非齐次线性方程组和它的导出组的解之间有这样的关系， 因此我们可以通过导出组的基础解系来得到非齐次线性方程组的 解的构造。,设,是,的一个取定的解（

31、一般称为特解），,是,的通解，则,的通解为：,首先明显有,是,的解，我们只需要证,的解均形如,即可.设,为,的任意一个解，则,可表示为,而,是,的解，这表明,包含了,的所有的解。,进一步，若,有一个基础解系为,，则,的通解可表示为,故,的通解可表示为,其中,是,的一个特解，,为任意常数。,定理,例 解线性方程组,且将其通解用其对应的齐次线性方程组(导出组)的基础解系来表示。,解 增广矩阵通过初等行变换可化为,通解为,其中,为任意常数。,写成向量形式为,其中,为任意常数。,记,则方程组的通解可表示为,其中,为任意常数。,就是一个特解，,就是导出组的一个基础解系。,此处,向量的观点让我们意识到原先

32、未能意识到的东西， 而且为分析理解问题提供了新的工具和手段。,例 设A，B分别为,（1）B的列向量是齐次线性方程组AXO的解向量.,（3）若秩(A)n，则BO.,则A的列向量组线性相关.,矩阵，若ABO，求证:,证 （1）将矩阵B按列向量分块，即,则有,从而有,这表明,均适合方程AXO，即B的列向量是AXO的解向量.,（2）AXO的基础解系含有的向量个数为n秩(A)，也就是AXO 所有解向量的极大线性无关组所含向量个数为n秩(A)。由上面小 题知，B的列向量全体是AXO的解向量的一部分，因而B的列向量 的极大线性无关组所含向量的个数不大于n秩(A),即,从而有秩(A)秩(B),从而有秩(A)秩

33、(B),（2）秩（A）秩（B）,（4）若,矩阵的按列分块，每一列就是一个向量。所有列组成一个向量组。,AXO的解向量，其中线性 无关的有n-秩(A)个,B的列向量,其中线性 无关的有秩(B)个,白色包含在黄色中，当然有秩(B)小于等于n-秩(A),(3)证法一 因秩(A)n知，AXO只有零解，而（1）表明B的列 向量均是AXO的解向量，从而B的列向量均为零向量，即得BO. 证法二 由（2）知，,得,故BO.,（4）证法一 因,由（1）知，齐次线性方程组AXO有非零解。,证法二 （反证法）若A的列向量线性无关，则秩(A)=n，由(3)可得BO，此为矛盾，故A的列向量线性相关。,例 设A是,矩阵，

34、且秩(A)=2.已知,是非齐次线性方程组AXb,的两个相异的解，请用AXO的基础解系来表示AXb的全部解。,解 因秩(A)=2,且AX=O的未知量个数为3,所以齐次线性方程组AX=O,是AXb的两个相异的解，,是AXO的解，所以,基础解系，从而AXb的全部解可表示为,t为任意常数。,的基础解系由一个非零向量组成。因,所以他们的差值,是AX=O的一个,故秩(A)n,此即A的列秩n，从而A的n个列向量必线性相关。,注意 非齐次线性方程组的通解是由一个特解和导出组的通解组成的， 所以我们解答的目标就在于找出这两个东西。另外，说AXb的 全部解可表示为,t为任意常数，或者说可表为,k为任意常数都是对的。这也表明非齐次线性方程组的通解表示 形式可有多种，但这些不同表示形式所表示的解集合是相同的。,满足这个问题的特解还有吗？有的话还有多少个呢？,实际上，任意一个解都可以事特解。而非齐次线性方程组解的线性组合式中，只要他们的组合系数之和是“1”，那么这个线性组合所表示的向量也是原来非齐次线性方程组的一个解，从而当然可以是特解。,开始，许多学生对数学只停留在形式上的掌握，没有进入实质 的理解；有些学生则在达到较高境界之后，再来回顾时才达到实 质（回味）的理解。令人惊奇的是，许多数学家回顾他们自己的 学习过程时都符合这个模式。任何东西