例析完全平方公式的应用

1、例析完全平方公式的应用石阡县中坝镇初级中学 冯明波在义务教育课程标准实验教科书数学七年级下册的第四章第4.3.2小节我们学习了完全平方公式：。即：两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的2倍。完全平方公式是初中数学的基础和重点，在解决数学问题中有着广泛的应用，而且在中考等各种考试中也经常考到。下面结合学生在学习完全平方公式中可能遇到的问题例析完全平方公式的应用。一、 完全平方公式在顺用和简便运算中的应用例1 已知：，求代数式的值。分析：本题可顺用完全平方公式求解，但仔细观察已知和所求会发现，与互为相反数，与也互为相反数，由于互为相反数的两个数的平方相等，于是采用整体代入

2、的方法求解比较简便。解：原式= = =评析：本题关键应用了互为相反数的两个数的平方相等及整体代入的数学思想。另外，注意到所求代数式具有可逆用平方差公式的特点，化简后，又可采用结合已知条件综合顺用完全平方公式和整体代入求解或者直接解关于、的二元一次方程组代入求解。例2 计算： 分析：直接顺用完全平方公式求解。解：原式= =解析：此题看起来只是完全平方公式的简单应用，但实际上可利用它来简便计算个位数为5的两个相同两位数相乘的情况，即: 个位数为5的两个相同两位数相乘等于十位上的数与比十位数多1的数的和的100倍与25的和。如：。此外，顺用完全平方公式还可进行如：的简便运算等。二、 完全平方公式在逆

3、用和非负数中的应用例3 若是完全平方式，则 。分析：由是完全平方式和，逆用完全平方公式则可得出：，然后根据两个多项式相等的概念求解。解：因为=，所以，即：。解析：完全平方式经常在练习和考试中出现，主要考查学生对完全平方公式特点的认识，学生也经常忘记对完全平方差公式的考查。此题逆用完全平方公式对完全平方式进行了全面考查。例4 因式分解： 分析：此题具有逆用完全平方公式的特点，可根据因式分解的概念一步一步的尝试进行因式分解。解：原式= =评析：因式分解是逆用完全平方公式的一种重要应用。此外，逆用完全平方公式在解方程及分式化简等中也都有广泛的应用。例5已知：，求代数式的值。分析：此题已知具有平方项和

4、逆用完全平方公式的特点，可进一步利用两个非负数之和等于0的性质求解。解： =评析：完全平方式为非负数常常结合其它非负数绝对值和算数平方根以及几个非负数之和为0一起来考查，在解题中经常出现，希望学生能够引起重视。 三、 完全平方公式在公式变形和综合中应用例6 已知：，则 ， 。分析：此题可将要求的代数式，变形为含有已知条件与的形式，然后利用整体代入的方法求值。解：= = = = = = =13 = =评析：此题是将要求的代数式化为含已知条件的形式求解，同时也可以将已知条件化为含所求代数式的形式求解，但实质上都是一些完全平方公式的变形应用。如：、等。例7 若，则 ， 。分析：由于所求和具有完全平方

5、公式展开式中项的特点，所以尝试将已知条件中的完全平方式展开观察、比较，然后综合利用完全平方公式和整体的数学思想求解。解：由题意可得： 解得评析：本题是综合运用完全平方公式和整体数学思想的典范。有很多数学问题，单独利用一个条件很难解决，必须综合运用多个条件和有一种整体的数学思想才能有效解决。四、 完全平方公式在特殊关系和降次代入中的应用例8 已知：，求， 和的值。分析：本题若根据已知先求，再代入求解比较麻烦，从而进一步寻找所求与已知的关系，由于，所以将已知两边同时除以即得的值，然后根据互为倒数的两数的平方的特殊关系进一步求解。解： = = 评析：本题的关键是找到互为倒数的两数关系，然后主要依据互

6、为倒数的两数的平方的特殊关系和整体代入的方法求解，注意正数的平方根有2个。例9 已知：，求的值。分析：此题含有，若能将其降次，问题将变得简便。解：由，得= = = =评析：本题的关键是利用一次式代替平方项逐级降次，从而达到化繁为简的目的。五、 完全平方公式在推广中的应用例10 计算:分析：本题是三项式的平方，同学们似乎感觉只能按多项式的乘法来计算，但若将三项式的前两项或后两项堪为一个整体，即可利用完全平方公式逐步求解。解：原式= = = =评析：本题实际上是完全平方公式的推广，同学们可以通过计算仔细观察、分析和归纳得出三项式平方的计算公式为：，从而也可以直接利用公式得到结果。以上几种完全平方公式的应用只是我们数学问题中最常见最基本的应用，其它更多的应用需要同学们进一步的学习。总之，学习完全平方公式不能只局限于教师在课