高考数学理全国通用大一轮复习课件第五篇数列必修5第4节数列求和及综合应用

1、第4节数列求和及综合应用,考点专项突破,知识链条完善,易混易错辨析,知识链条完善 把散落的知识连起来,【教材导读】 数列求和有哪些方法? 提示:公式法、倒序相加法、裂项相消法、分组求和法、错位相减法.,知识梳理,1.数列求和的基本方法 (1)公式法 直接用等差、等比数列的求和公式求解. (2)倒序相加法 如果一个数列an满足与首末两项等“距离”的两项的和相等(或等于同一常数),那么求这个数列的前n项和,可用倒序相加法. (3)裂项相消法 把数列的通项拆成两项之差,在求和时中间的一些项可以相互抵消,从而求得其和. (4)分组求和法 一个数列的通项公式是由几个等差或等比或可求和的数列的通项公式组成

2、,求和时可用分组求和法,分别求和而后相加.,(5)并项求和法 一个数列的前n项和中,若项与项之间能两两结合求解,则称之为并项求和.形如an=(-1)nf(n)类型,可采用并项法求解. (6)错位相减法 如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的,那么这个数列的前n项和可用此法来求,如等比数列的前n项和公式就是用此法推导的. 2.数列应用题的常见模型 (1)等差模型:当增加(或减少)的量是一个固定量时,该模型是等差模型,增加(或减少)的量就是公差. (2)等比模型:当后一个量与前一个量的比是一个固定的数时,该模型是等比模型,这个固定的数就是公比. (3)递推模型:找到数列

3、中任一项与它前面项之间的递推关系式,可由递推关系入手解决实际问题,该模型是递推模型.等差模型、等比模型是该模型的两个特例.,【拓展提升】,对点自测,1.数列1+2n-1的前n项和为( ) (A)1+2n (B)2+2n (C)n+2n-1(D)n+2+2n,C,2.设an是公比为q的等比数列,Sn是其前n项和,若Sn是等差数列,则q为( ) (A)-1(B)1(C)1 (D)0,B,解析:据题意可知,2S2=S1+S3,知2(a1+a1q)=a1+(a1+a1q+a1q2),即a1q=a1q2,因为a10,q0,所以q=1.故选B.,A,5.32-1+42-2+52-3+(n+2)2-n=.,

4、考点专项突破 在讲练中理解知识,考点一,数列求和(高频考点),考查角度1:分组求和法 【例1】 设数列an满足a1=2,a2+a4=8,且对任意nN*,函数f(x)=(an-an+1+an+2)x+an+1cos x-an+2sin x满足f =0. (1)求数列an的通项公式;,(2)若bn=2(an+ ),求数列bn的前n项和Sn.,分组法求和的常见类型 (1)若an=bncn,且bn,cn为等差或等比数列,可采用分组法求an的前n项和. (2)通项公式为an= 的数列,其中数列bn,cn是等比数列或等差数列,可采用分组法求和.,反思归纳,考查角度2:裂项相消法 高考扫描:2011高考新课

5、标全国卷,2015高考新课标全国卷.,(1)常见的裂项方法(其中n为正整数),反思归纳,(2)利用裂项相消法求和时,应注意抵消后不一定只剩下第一项和最后一项,也有可能前面剩两项,后面也剩两项,再就是将通项公式裂项后,有时候需要调整前面的系数,使前后相等.,考查角度3:错位相减法求和 高考扫描:2014高考新课标全国卷. 【例3】 (2016山东卷)已知数列an的前n项和Sn=3n2+8n,bn是等差数列,且an=bn+bn+1. (1)求数列bn的通项公式;,错位相减法求和策略 (1)如果数列an是等差数列,bn是等比数列,求数列anbn的前n项和时,可采用错位相减法,一般是和式两边同乘以等比

6、数列bn的公比,然后作差求解. (2)在写“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“Sn-qSn”的表达式. (3)在应用错位相减法求和时,若等比数列的公比为参数,应分公比等于1和不等于1两种情况求解.,反思归纳,考点二,与数列求和有关的综合问题,(1)数列与函数的综合问题主要有以下两类:已知函数条件,解决数列问题,一般利用函数的性质、图象;已知数列条件,解决函数问题,一般要充分利用数列的范围、公式、求和方法对式子化简变形. (2)数列与不等式的恒成立问题.此类问题常构造函数,通过函数的单调性、最值等解决问题. (3)与数列有关的不等式证明问题.解决此类问题

7、要灵活选择不等式的证明方法,如比较法、综合法、分析法、放缩法等.,反思归纳,【即时训练】 已知各项不为零的数列an的前n项和为Sn,且满足Sn=a1(an-1),数列bn满足anbn=log2an,数列bn的前n项和为Tn. (1)求an,Tn;,解:(1)当n=1时,a1=S1=a1(a1-1), 因为a10, 所以a1=2. 当n2时,Sn=a1(an-1), Sn-1=a1(an-1-1), -得,an=a1(an-an-1)=2(an-an-1), 所以an=2an-1, 所以数列an是首项为2,公比为2的等比数列, 所以an=2n.,(2)若nN*,不等式t2+2t+3Tn恒成立,求

8、使关于t的不等式有解的充要条件.,备选例题,【例1】 (2016全国卷)Sn为等差数列an的前n项和,且a1=1,S7=28.记bn=lg an,其中x表示不超过x的最大整数,如0.9=0,lg 99=1. (1)求b1,b11,b101; (2)求数列bn的前1 000项和.,解:(1)设an的公差为d,据已知有7+21d=28, 解得d=1.所以an的通项公式为an=n. b1=lg 1=0,b11=lg 11=1,b101=lg 101=2.,【例2】 (2016湖南八校联考)已知数列an与bn满足an+1-an=2(bn+1-bn)(nN*). (1)若a1=1,bn=3n+5,求数列an的通项公式;,解:(1)因为an+1-an=2(bn+1-bn),bn=3n+5, 所以an+1-an=2(bn+1-bn)=2(3n+8-3n-5)=6, 所以an是等差数列,首项为a1=1,公差为6,即an=6n-5.,(2)若a1=6,bn=2n(nN*)且an2n+n+2对一切nN*恒成立,求实数的取值范围.,【例3】 (2016河南郑州模拟)已知数列an的首项为a1=1,前n项和为Sn,且数列 是公差为2的等差数列. (1)求数列an的通项公式;,(2)若bn