椭圆及其标准方程

1、2.2.1椭圆及其标准方程,制作人：李鹏辉,2010.9.13,欣赏:,轻轻松松三分钟!,课堂练习,1.动点P到两个定点F1(-4,0)、F2 (4,0) 的距离之和为8，则P点的轨迹为( ) A. 椭圆 B. 线段F1F2 C. 直线F1F2 D. 不能确定,课堂练习,课堂练习,课堂练习,注意:椭圆定义中容易遗漏的三处地方： （1） 必须在平面内; （2）两个定点-两点间距离确定;(常记作2c) （3）绳长-轨迹上任意点到两定点距离和确定. (常记作2a, 且2a2c),1 .椭圆定义： 平面内与两个定点的距离和等于常数（大于 ）的点的轨迹叫作椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫

2、做椭圆的焦距 ,二.讲授新课：,若2a=F1F2轨迹是什么呢？,若2aF1F2轨迹是什么呢？,轨迹是一条线段,轨迹不存在,求曲线方程的一般步骤是什么？,证明化简后的方程为所求方程(可以省略 不写,如有特殊情况，可以适当予以说明),探讨建立平面直角坐标系的方案,方案一,2.求椭圆的方程：,原则：尽可能使方程的形式简单、运算简单； (一般利用对称轴或已有的互相垂直的线段所在 的直线作为坐标轴.),(对称、“简洁”),解：取过焦点F1、F2的直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系(如图).,设M(x, y)是椭圆上任意一 点，椭圆的焦距2c(c0)，M 与F1和F2的距离的和

3、等于正 常数2a (2a2c) ，则F1、F2的坐标分别是(c,0)、(c,0) .,（问题：下面怎样化简？）,由椭圆的定义得，限制条件：,代入坐标,两边除以 得,由椭圆定义可知,整理得,两边再平方，得,移项，再平方,叫做椭圆的标准方程。,它所表示的椭圆的焦点在x轴上， 焦点是 ，中心在坐标原点 的椭圆方程 ,其中,能找出表示a,c, (即b)线段吗？,如果椭圆的焦点在y轴上,那么椭圆的标准方程又是怎样的呢?,合作探究,如果椭圆的焦点在y轴上（选取方式不同，调 换x,y轴）如图所示,焦点则变成 只要将方程中 的 x,y 调换，即可得,.,p,0,也是椭圆的标准方程。,总体印象：对称、简洁，“像

4、”直线方程的截距式,焦点在y轴：,焦点在x轴：,3.椭圆的标准方程:,1、方程的右边是常数1,2、方程的左边是和的形式，每一项的分子是 x2、y2，分母是一个正数。,椭圆的标准方程的特点：,问题1,（1）,（2）,根据上述讨论，如何判断椭圆的焦点的位置？,问题2,若 x2 项的分母大，则其焦点就在 x 轴上，若 y2 项的分母大，则其焦点就在 y 轴上，,F1(-c,0)，F2(c,0),F1(0,-c)，F2(0,c),看分母的大小,焦点在分母大的那一项对应的坐标轴上.,例1：已知一个运油车上的贮油罐横截面的外轮廓线是一个椭圆，它的焦距为2.4m，外轮廓线上的点到两个焦点距离的和为3m，求这

5、个椭圆的标准方程。,解：以两焦点所在直线为X轴，线段 的垂直平分线为y轴,建立平面直角坐标系xOy。,则这个椭圆的标准方程为:,根据题意:2a=3,2c=2.4,所以：b2=1.52-1.22=0.81,因此，这个椭圆的方程为：,练习1.下列方程哪些表示椭圆？,若是,则判定其焦点在何轴？ 并指明 ，写出焦点坐标.,?,练习2. 已知椭圆的方程为： ，请填空： (1) a=_，b=_，c=_，焦点坐标为_，焦距等于_. (2)若C为椭圆上一点，F1、F2分别为椭圆的左、右焦点， 并且CF1=2,则CF2=_.,5,4,3,(-3,0)、(3,0),8,6,例2.求适合下列条件的椭圆的标准方程：,

6、(2)焦点为F1(0,3)，F2(0,3),且a=5；,(1)a= ,b=1,焦点在x轴上；,(3)两个焦点分别是F1(2,0)、F2(2,0),且过P( )点；,(4)经过点P(2,0)和Q(0,3).,小结：求椭圆标准方程的步骤：,定位：确定焦点所在的坐标轴；,定量：求a, b的值.,例3.已知方程 表示焦点在x轴上的椭圆，则m 的取值范围是 .,(0,4),变1：已知方程 表示焦点在y轴上的 椭圆，则m的取值范围是 .,(1,2),变2：方程 ,分别求方程满足下列条件的m的取值范围： 表示一个圆； 表示一个椭圆； 表示焦点在x轴上的椭圆。,m=9/2,-16m25,-16m9/2,练习.BP42. 1,2,3,补充例. 已知椭圆 的两个焦点 , p为椭圆上一点，若 为直角三角形，求 的面积,三、回顾小结1：,求椭圆标准方程的方法,求美意识， 求简意识，前瞻意识,图 形,方 程,焦 点,F(c，0),F(0，c),a,b,c之间的关系,c2=a2-b2,MF1 + MF2 =2a (2a2c0),定 义,注:,共同点：椭圆的标准方程表示的一定是焦点在坐标轴