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文档简介

1、第一章 矩阵与行列式,1.5 行列式的按行按列展开,2,3,4,5,设 在 阶行列式 中，划掉元,素 所在的行与列后所得到的 阶行列式,称为是元素 的余子式，记为 即,1.5.1 余子式及代数余子式,称 为元素 的代数余子式.,6,与其代数余子式乘积之和，即,行列式按行或列的展开定理,定理 设 为行列式 中元素,的代数余子式，则,行列式 等于它的任意一行或列各元素,7,证明 分三步来证明以上定理.,素均为零的情形，此时由行列式的定义,首先讨论 的第 行除 外，其余元,可得,8,零的情形，由行列式行交换和列交换性质将其,其次讨论 的第 行除 外，其余元素均为,化为中行列式，再利用的结果，可得,9

2、,最后讨论一般情形：利用行列式的分裂可加性,及中的结果有,10,按列展开同理可证.,此即行列式按第 行展开.,11,解答 将第一行的适当倍数加之其他行，得,例题 计算四阶行列式,12,按第3列展开,按第1行展开,13,定理 设,则有,14,对 作运算 化 为下三角行列式,15,对 的前 行作运算 ，对 的后 列作,运算 ，化 为下三角行列式,所以,16,提醒 上例中的公式可简记为,其中 是 个元素排成 行 列；,是 个元素排成 行 列；,是任意 个元素排成 行 列；,是任意 个数 排成 行 列；,提醒 由行列式性质1,及以上公式有,17,提醒 由行列式的性质3及前面两个公式有,其中 是 个元素

3、排成 行 列；,是 个元素排成 行 列；,18,例题 计算行列式,解答 直接由以上公式有,原行列式,19,例题 计算行列式,解答,上面公式,20,练习 计算行列式,课堂练习：行列式的计算,答案 该题答案为4.,21,定理 设 阶行列式,表 的第 行的元素 被,表 中元素 的代数余子式， 表,换为 后的行列式，则,22,即,提醒 对阶行列式的列，有类似的结论成立！,23,定理 行列式某一行的元素与另一行的对应元素,的代数余子式乘积之和等于零，即,提醒 行列式某一列的元素与另一列的对应元素,的代数余子式乘积之和等于零，即,24,例题 已知5阶行列式,求 和 其中,为 的第4行第,列元素的代数余子式.,25,解答 将行列式按第4行展开有,第2行元素与第4行元素的代数余子式乘积之和为零,联立以上两式可解得,26,练习 计算行

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