专题达标检测5.ppt

1、专题达标检测 一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分) 1.（2008湖南理，9）长方体ABCDA1B1C1D1的8个顶点在同一个球面上,且AB=2,AD= ,AA1=1，则顶点A、B间的球面距离是 （ ） A. B. C. D. 解析 如图，由题意知球心O为长方体的体对角线BD1的中点.又,长方体外接球半径为 . |OA|=|OB|= . 又|AB|=2， |OA|2+|OB|2=|AB|2.AOB= . A、B间的球面距离为 答案 C,2.若 、 为两个确定的相交平面,a、b为一对异面 直线，则下列条件中能使a、b所成的角为定值的有 （ ） a ,b a ,b a ,b a ,

2、b A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 解析 不可；不可；a与b所成的角和平面 ， 所成角相等或互补；不可，故选B.,SB,3.若a、b表示互不重合的直线， 、 表示不重合的 平面，则a 的一个充分条件是 （ ） A. ,a B. ,a C.ab,b D. =b,a ,ab 解析 A，B，C选项中，直线a都有可能在平面 内，不能满足充分性，故选D.,D,4.正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AA1=2AB，则异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为 （ ） A.B.C.D. 解析 连结D1C，AC，易证A1BD1C，AD1C即为异面直线A1B与AD1所成的角.设AB=1，则AA1=2，A

3、D1=D1C= ，AC= ， cosAD1C =,D,5.两个腰长均为1的等腰直角三角形ABD、ABE，若 它们构成的二面角为60，则D、E两点间的距离 为 （ ） A.1B.1或 C.1或 或D.1或 解析 （1）AB=BD=BE=1，且DBE=60， 显然，DBE为正三角形，此时DE=1； （2）AB=AD=BE=1，且DAB=ABE=90，此 时DE= ； （3）AD=BD=AE=BE=1，且 ADB=AEB =90，此时DE= .,C,6.如图在正方体ABCD-A1B1C1D1中， 当动点M在面ABCD内运动时，总有 D1A=D1M，则动点M在面ABCD内的 轨迹是下列哪个图形上的一段

4、弧（） A.圆 B.椭圆 C.双曲线 D.抛物线 解析 因为满足条件的动点在底面ABCD内运动时， 动点的以D1D为轴线，以D1A为母线的圆锥，所以 动点M在面ABCD内的轨迹是圆的一部分. 故选A.,A,7.在正三棱锥SABC中，M、N分别 是棱SC、BC的中点，且MNAM， 若侧棱SA=2 ，则正棱锥S ABC 外接球的表面积是 （ ） A.12 B.32 C.36 D.48 解析 由于MNAM， MNBS，则BSAM， 又根据正三棱锥的性质知BSAC，则BS平面 SAC，于是有ASB=BSC=CSA=90，SA、 SB、 SC为三棱锥SABC外接球的内接正方体的三 条棱，设球半径为R，则

5、4R2=3SA2=36，球表面积 为4 R2=36 .,C,8.（2008陕西理，9）如图, , =l, A ,B ,A,B到l的距离分别是a和b,AB与 , 所成的角分别是 和 ,AB在 , 内的射影分别是m和n.若ab,则 （ ） A. ,m ,mn C. n 解析 如图所示.AB与 成的角为ABC= , AB与 成的角为BAD= ,sin=sinABC= , sin=sinBAD= . ab,sinsin. BC,即mn. 答案 D,9.已知直线l平面 ,直线m平面 ,有下面四个 . 命题： lm； lm； lm lm 其中正确的两个命题是 （ ） A.与B.与 C.与D.与 解析 命题

6、即：如果两个平面互相平行，那么一 出个平面上的垂线一定垂直于另一个平面内的直线. 命题正确.,命题即：如果两个平面互相垂直，那么一个平面 的垂线一定平行于另一个平面内的一条直线，为 假命题. 命题即：一个平面的垂线如果平行于另一个平面 内的一条直线，那么这两个平面互相垂直，命题正 确. 命题即：一个平面的一条垂线如果垂直于另一个 平面内的一条直线，那么这两个平面互相平行，命 题错误. 注意：由正确，可排除B，C；由错误，可排除 A，故选D.用这种排除法更简捷. 答案 D,10.如图，已知ABC为直角三角形，其中 ACB =90，M为AB的中点，PM垂直于ABC所在平 面，那么 （ ）,A.PA

7、=PBPCB.PA=PBPC C.PA=PB=PC D.PAPBPC 解析 M是RtABC斜边AB的中点，MA=MB=MC.又PM平面ABC，MA、MB、MC分别是PA、PB、PC在平面ABC上的射影，PA=PB=PC.应选C. 答案 C,11.（2009四川理，5）如图，已知六棱锥P ABCDEF的底面是正六边形，PA平面ABC， PA=2AB，则下列结论正确的是 （ ） A.PBAD B.平面PAB平面PBC C.直线BC平面PAE D.直线PD与平面ABC所成的角为45,解析 若PBAD，则ADAB，但AD与AB成60角，A错误；平面PAB与平面ABD垂直，所以平面PAB一定不与平面PB

8、C垂直，B错误；BC与AE是相交直线，所以BC一定不与平面PAE平行，C错误；直线PD与平面ABC所成角为PDA，在RtPAD中，AD=PA，PDA=45，D正确. 答案 D,12.如图所示，在长方体ABCD-A1B1C1D1中， AA1 =A1D1=1，AB=2，E为AB的中点，则C1到平面 D1DE的距离为 （ ） A. B.2 C. D.,解析 如图所示，采用等体积的方法解决.三棱锥C1-DD1E的高即C1点到面DD1E的距离.由 易求得高为 .故选A.,答案 A,二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分） 13.（2009陕西文，15）如图，球O的半径为2，圆O1是一小圆，OO

9、1= ，A、B是圆O1上两点，若AO1B= ,则A、B两点间的球面距离为 . 解析 则OAB为正三角形， 故AOB= .A、B两点间的球面距离为,14.（2009安徽理，15）对于四面体ABCD，下列命 题正确的是 . （写出所有正确命题的编号） 相对棱AB与CD所在的直线异面； 由顶点A作四面体的高，其垂足是BCD三条 高线的交点； 若分别作ABC和ABD的边AB上的高，则这 两条高所在的直线异面； 分别作三组对棱中点的连线，所得的三条线相 交于一点； 最长棱必有某个端点，由它引出的另两条棱长 度之和大于最长棱.,解析 假设AB与CD不是异面直线，则AB、CD共面，这与ABCD是四面体矛盾，

10、故AB、CD是异面直线，因此正确，由于该四面体的相对棱不一定互相垂直，因此过顶点A作四面体的高其垂足不一定是BCD三条高的交点，因此不正确.当ABC与ABD是全等的三角形时，两个平面内AB边上的高的垂足重合，此时两条高相交，故不正确.分别作三组相对棱中点的连线，所得三条线段相交于一点，下面用向量法证明该结论正确. 设P1、P2、P3分别是EG、FH、MN的中点，又设,= a, =b, =c,则 同理， （a+b+c）, (a+b+c). 所以三点P1、P2、P3重合，从而四面体三条相对棱的中点的连线相交于一点，故正确.由于三角形的任何两边之和大于第三边，因此最长棱必有某个端点，由它引出的另外两

11、条棱的长度之和大于最长棱.因此正确. 答案 ,（a+b+c）.,15.如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中， AB=BC =2，AA1=1，则BC1与平面BB1D1D所成角的正 弦值为 . 解析 如图，在平面A1B1C1D1内过点C1作B1D1 的垂线，垂足为E.连结BE.,C1EB1D1 C1EBB1 C1E平面BDD1B1. C1BE的正弦值就是所求值. BC1= ，C1E= ， sinC1BE= . 答案,16.如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，M、 N分别为A1B1，CC1的中点，P为AD上一动点， 记 为异面直线PM与D1N所成的角，则 的取值 集合为 .,三、解答

12、题（本大题共6小题，共74分） 17.（12分）(2009陕西理，18)如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，AB=1，AC=AA1= ，ABC=60. (1)证明：ABA1C； （2）求二面角AA1CB的大小. 方法一 （1）证明 三棱柱 ABCA1B1C1为直三棱柱， ABAA1. 在ABC中，AB=1，AC= ，ABC=60,由正弦定理得ACB=30, BAC=90,即ABAC，AB平面ACC1A1. 又A1C平面ACC1A1，ABA1C.,（2）解 如图（1），作ADA1C交A1C于点D，连结BD，由三垂线定理知BDA1C， ADB 为二面角AA1CB的 平面角.在RtAA1C中， 在

13、RtBAD中，tanADB= ADB=arctan , 二面角A-A1C-B的大小为arctan . 方法二（1）证明 三棱柱ABCA1B1C1为直三棱柱， AA1AB，AA1AC,在ABC中，AB=1，AC= ，ABC=60, 由正弦定理得ACB=30, BAC=90,即ABAC. 如图（2），建立空间直角坐标系， 则A（0，0，0），B（1，0，0），C（0， ，0），A1（0，0， ）， =(1,0,0), =(0, ,- ). =10+0 +0(- )=0, ABA1C. (2)解 如图（2），可取m = =(1,0,0)为平面AA1C的法向量，设平面A1BC的法向量为,n=(l,m,

14、n), 则,18.(12分)(2009成都模拟)如图1，在平行四边形ABCD 中， AB=1，BD= ，ABD=90，E是BD上的 一个 动点.现将该平行四边形沿对角线BD折成直 二面角A-BD-C，如图2所示. （1）若F、G分别是AD、BC的中点，且AB平面 EFG，求证：CD平面EFG； （2）当图1中AE+EC最小时，求图2中二面角A- EC-B的大小.,（1）证明 AB平面EFG， 平面ABD平面EFG=EF，ABEF. F是AD的中点，E是BD中点. 又G是BC的中点，GECD. CD平面EFG， CD平面EFG. （2）解 由图1可知，当AE+EC最小时，E是BD的 中点. 平面

15、ABD平面BCD，ABBD， AB平面BCD. 故以B为坐标原点，平行于CD的直线为x轴， BD所在的直线为y轴，AB所在的直线为z轴， 建立如图所示的空间直角坐标系.,则A（0，0，1），C（1， ，0），D（0， ，0），E（0， ，0）； =（0， ，1）， =（1， ，0）. 设平面AEC的法向量为n1=（x1,y1,z1）,则 n1 =0 0 x1- y1+1z1=0 n1 =0 1x1+ y1+0z1=0,x1=-z1 y1= z1, 平面ACE的一个法向量为n1=(-1, ,1). 而平面BCE的一个法向量为n2=（0，0，1）. cosn1，n2= ， 显然，二面角A-EC-B

16、为锐角， 二面角A-EC-B的大小为60.,解得,19.（12分）已知侧棱垂直于底面的四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面是菱形，且DAB=60，AD =AA1，F为棱BB1的中点，点M为线段AC1的中点. （1）求证：直线MF平面ABCD； （2）求证：平面AFC1平面ACC1A1; （3）求平面AFC1与平面ABCD所成的锐二面角的大小. （1）证明 延长C1F交CB的延长线于点N，连结AN.因为F是BB1的中点，所以F为C1N的中点，B,为CN的中点.又M是线段AC1的中点，故MFAN. 又MF平面ABCD，AN平面ABCD， MF平面ABCD. （2）证明 连结BD，由直四棱柱ABC

17、D-A1B1C1D1，可知：A1A平面ABCD，又BD平面ABCD，A1ABD. 四边形ABCD为菱形，ACBD. 又ACA1A=A，AC、A1A平面ACC1A1， BD平面ACC1A1. 在四边形DANB中，DABN且DA=BN， 所以四边形DANB为平行四边形. 故NABD，NA平面ACC1A1.,又NA平面AFC1 平面AFC1平面ACC1A1. （3）解 由（2）知BD平面ACC1A1， 又AC1平面ACC1A1， BDAC1，BDNA，AC1NA. 又由BDAC可知NAAC， C1AC就是平面AFC1与平面ABCD所成锐二面角的平面角. 在RtC1AC中，tanC1AC= ，故C1A

18、C=30. 平面AFC1与平面ABCD所成锐二面角的大小为 30.,20.（12分）如图所示，在斜三棱柱 A1B1C1ABC中，底面是等腰三 角形，AB=AC，侧面BB1C1C 底面ABC. （1）若D是BC的中点， 求证：ADCC1； （2）过侧面BB1C1C的对角线BC1的平面交侧棱于 M，若AM=MA1， 求证：截面MBC1侧面BB1C1C； （3）AM=MA1是截面MBC1侧面BB1C1C的充要 条件吗？请你叙述判断理由.,（1）证明 AB=AC，D是BC的中点，ADBC. 底面ABC侧面BB1C1C，且交线为BC， AD侧面BB1C1C. 又CC1侧面BB1C1C， ADCC1. （

19、2）证明 取BC1的中点E，连结DE、ME. 在BCC1中，D、E分别是BC、BC1的中点， DE . 又AA1 CC1，DE AA1. M是AA1的中点（由AM=MA1知）， DE AM. AMED是平行四边形，AD ME.,由（1）知AD面BB1C1C， ME侧面BB1C1C， 又ME面BMC1, 截面BMC1侧面BB1C1C. （3）解 结论是肯定的，充分性已由（2）证明. 下面仅证明必要性（即由截面BMC1侧面BB1C1C 推出AM=MA1，实质是证明M是AA1的中点）， 过M作ME1BC1于E1. 截面MBC1侧面BB1C1C，交线为BC1. ME1面BB1C1C， 又由（1）知AD

20、侧面BB1C1C， ADME1，M、E1、D、A四点共面. 又AM侧面BB1C1C，,面AME1D面BB1C1C=DE1， 由线面平行的性质定理可知AMDE1. 又ADME1， 四边形AME1D是平行四边形， AD=ME1，DE1 AM. 又AMCC1，DE1CC1. 又D是BC的中点，E1是BC1的中点. DE1= CC1= AA1， AM= AA1，MA=MA1. AM=MA1是截面MBC1侧面BB1C1C的充要条件.,21.（12分）如图所示，四棱锥PABCD 中，PA平面ABCD，PB与底面所成 的角为45，底面 ABCD为直角梯形， ABC=BAD=90,PA=BC= AD. （1）

21、求证：平面PAC平面PCD； （2）在棱PD上是否存在一点E，使CE平面 PAB？若存在，请确定E点的位置；若不存在， 请说明理由.,（1）证明 设PA=1，由题意BC=PA=1，AD=2. PA平面ABCD， PB与平面ABCD所成的角为PBA=45, AB=1,由ABC=BAD=90, 易得CD=AC= ，由勾股定理逆定理得ACCD. 又PACD，PAAC=A， CD平面PAC， 又CD平面PCD， 平面PAC平面PCD.,（2）解 存在点E使CE平面PAB. 分别以AB、AD、AP为x轴、y轴、z轴建立空间直角 坐标系如图所示， 则P（0，0，1），C（1，1，0），D（0，2， 0），设E（0，y，z），则 =（0，y，z-1）， =（0，2，-1）. ，y （-1）- 2（z-1）=0 =(0,2,0）是平面PAB的法向量， 又 =（-1,y-1,z），若使CE平面PAB，则 .,（-1，y-1，z）（0，2，0）=0， y=1代入，得z= . E是PD的中点， 存在E点使CE平面PAB，此时E为PD的中点.,22.（14分）（2008安徽理，18）如图 所示，在四棱锥OABCD中，底面 ABCD是边长为1的菱形，ABC= ， OA底面ABCD，OA=2，M为OA的 中点，N是BC的中点. （1）证明:直线MN平面