函数的图像与零点试题

1、高三数学函数的图像、零点高三数学函数的图像、零点 一：选择题 1.已知函数 f（x）=x22x+b 在区间（2，4）内有唯一零点，则 b 的取值范围是（D） A、RB、 （，0） C、 （8，+）D、 （8，0） 2.设，用二分法求方程在（1，3）内近似解的 过程中，f（1）0，f（1.5）0，f（2）0，f（3）0，则方程的根落在区间（A ） A、 （1，1.5）B、 （1.5，2） C、 （2，3）D、无法确定 3.已知函数 3 1 ) 2 1 ()(xxf x ，那么在下列区间中含有函数)(xf零点的是（ B ） （A）) 3 1 , 0( （B）) 2 1 , 3 1 ( （C）) 3

2、 2 , 2 1 ( （D）) 1 , 3 2 ( 4.设函数，则函数 y=f（x） （A） A、在区间（0，1） ， （1，2）内均有零点B、在区间（0，1）内有零点，在区间 （1，2）内无零点 C、在区间（0，1） ， （1，2）内均无零点D、在区间（0，1）内无零点，在区间 （1，2）内有零点 5.已知 1 x是方程32 x x的根, 2 x是方程 2 log3xx的根，则 21x x的值为（ B ） A.2 B.3 C.6 D.10 6.已知 x0是函数 f（x）=2x+的一个零点若 x1（1，x0） ，x2（x0，+） ，则（ B ） A、f（x1）0，f（x2）0B、f（x1）0，

3、f（x2）0 C、f（x1）0，f（x2）0D、f（x1）0，f（x2）0 解答：解：x0是函数 f（x）=2x+的一个零点f（x0）=0 f（x）=2x+是单调递增函数，且 x1（1，x0） ，x2（x0，+） ， f（x1）f（x0）=0f（x2） 故选 B 7.如图是函数 f（x）=x2+ax+b 的部分图象，函数 g（x）=exf（x）的零点所在的区间是 （k，k+1） （kz） ，则 k 的值为（C） A 1 或 0 B 0C 1 或 1 D 0 或 1 解答： 解；二次函数 f（x）图象的对称轴 x= （1， ） ， 1a2， 由 g（x）=ex2xa=0 得 ex=2x+a 分别

4、作出函数 y=ex和 y=2x+a 的图象，如图所示 从而函数 y=ex和 y=2x+a 的图象的两个交点的横坐标分别在区间（1，0）和（1，2）上 函数 g（x）=exf（x）的零点所在的区间是（1，0）和（1，2） ； 函数 g（x）=exf（x）的零点所在的区间是（k，k+1） （kz） ， k=1 或 1 故选 C 8.若函数 f（x）的零点与 g（x）=4x+2x2 的零点之差的绝对值不超过 0.25，则 f（x）可以 是（A） A f（x）=8x2 B f（x）=（x+1）2 C f（x）=ex1 D f（x）=ln（x ） 解答： 解：g（x）=4x+2x2 在 R 上连续，且

5、g（ ）=0，g（ ） =2+12=10 设 g（x）=4x+2x2 的零点为 x0，则 又 f（x）=8x2 零点为 x= ；f（x）=（x+1）2的零点为 x=1 f（x）=ex1 零点为 x=0；f（x）=ln（x ）零点为 x= ， |，即 A 中的函数符合题意 故选 A 9若2a，则方程033 23 axx在(0,2)上恰好有（B ）个根 A0 B 1 C2 D 3 10.已知函数 f（x）=，若方程 f（x）+2a1=0 恰有 4 个实数根，则 实数 a 的取值范围是（A） A （ ，0 B ，0 C 1， ） D （1， 解答： 解：由 f（x）=，要使方程 f（x）+2a1=0

6、 有 4 个不同的实根， 即函数 y=f（x）与函数 y=12a 的图象有 4 个不同的交点，如图， 由图可知，使函数 y=f（x）与函数 y=12a 的图象有 4 个不同的交点的 12a 的范围是1，2） ， 实数 a 的取值范围是（ ，0 故选 A 11.函数 f（x）=tanx（2x3）的所有零点之和等于（B） A B 2C 3D 4 解答： 解：函数 f（x）=tanx（2x3）的零点即函数 y=tanx 与函数 y= 的交点的横坐标 由于函数 y=tanx 的图象关于点（，0）对称， 函数 y=的图象也关于点（，0）对称， 故函数 y=tanx 与函数 y=的交点关于 点（，0）对称

7、，如图所示： 设函数 f（x）=tanx（2x3）的零点分别为：x1、x2、x3、x4， 则由对称性可得 x1+x4=，x2+x3=， x1+x2+x3+x4=2， 故选 B 12.定义域为 R 的偶函数 f（x）满足对xR，有 f（x+2）=f（x）f（1） ，且当 x2，3时， f（x）=2x2+12x18，若函数 y=f（x）loga（|x|+1）在（0，+）上至多三个零点，则 a 的 取值范围是（B） A （，1） B （，1） （1，+） C （0，） D （，1） 解答： 解：因为函数 f（x）是偶函数，所以令 x=1 得，f（1+2）=f（1）f（1）=f（1） ，解得 f（1）

8、=0，所以 f（x+2）=f（x）f（1）=f（x） ，即函数的周期是 2 由 y=f（x）loga（|x|+1）=0 得 f（x）=loga（|x|+1） ，令 y=f（x） ，y=loga（|x|+1） ，当 x0 时，y=loga（|x|+1）=loga（x+1） ，函数过点（0，0） 若 a1，则由图象可知，此时数 y=f（x）loga（|x|+1）在（0，+）上没有零点，所以此 时此时满足条件 若 0a1，则由图象可知，要使两个函数 y=f（x）与 y=loga（x+1） ，有三个交点， 则 y=m（x）=loga（x+1）不能过点 B（4，2） ，即 m（4）2，即 loga52，

9、解得， 此时 所以满足条件的 a 的取值范围 a1 或 故选 B 13.已知定义在 R 上的奇函数 f（x） ，当 x0 时，f（x）=则关于 x 的方程 6f（x）2f（x）1=0 的实数根个数为（B） A 6B 7C 8D 9 解答： 解：设 t=f（x） ，则关于 x 的方程 6f（x）2f（x）1=0，等价 6t2t1=0， 解得 t= 或 t=， 当 x=0 时，f（0）=0，此时不满足方程 若 2x4，则 0 x22，即 f（x）= （2|x3|1） ， 若 4x6，则 2x24，即 f（x）= （2|x5|1） ， 作出当 x0 时，f（x）=的图象如图： 当 t= 时，f（x）

10、= 对应 3 个交点 函数 f（x）是奇函数， 当 x0 时，由 f（x）=， 可得当 x0 时，f（x）= ，此时函数图象对应 4 个交点， 综上共有 7 个交点，即方程有 7 个根 故选：B 14.已知函数，若方程 f（x）=t（tR）有四个不同的实数 根 x1，x2，x3，x4，则 x1x2x3x4的取值范围是（C） A （30，34）B （30，36）C （32，34）D （32，36） 解答： 解：先画出函数，的图象，如图： a，b，c，d 互不相同，不妨设 abcd 且 f（a）=f（b）=f（c）=f（d） ，0a1，1b4，4c6，d6 log2a=log2b，c+d=12，c

11、d24 即 ab=1，c+d=12， abcd=cd=c（12c）=c2+12c （4c6）的范围为（32，34） 故选 C 二：填空题 15若函数 2 ( )4f xxxa的零点个数为3，则a _。4 16.已知函数 f（x）=k4xk2x+14（k+5）在区间0，2上存在零点，则实数 k 的取值范 围是（，45，+） 解答：解：令 t=2x，则 t1，4， f（t）=kt22kt4（k+5）=k（t1）25（k+4）在1，4上有零点， f（1）f（4）0 即可，即5（k+4） （4k20）0， 解得 k5 或 k4， 故答案为：（，45，+） 17.已知函数，则关于 x 的方程 f2（x）

12、3f（x）+2=0 的 实根的个数是5 解答： 解：方程 f2（x）3f（x）+2=0 等价于 f（x）=2 或 f（x）=1 函数，1x1，f（x）1，1，|x|1 时，f（1） 0， f（x）=1 时，cos或 x21=1，x=0 或 x=， f（x）=2 时，x21=2，x=， 综上知方程 f2（x）3f（x）+2=0 的实根的个数是 5 故答案为：5 18.若关于 x 的方程有四个不同的实根，则实数 k 的取值范围是k1 解答： 解：由于关于 x 的方程有四个不同的实根，x=0 是此方程的 1 个根， 故关于 x 的方程有 3 个不同的非零的实数解 方程 =有 3 个不同的非零的实数解

13、， 即函数 y= 的图象和函数 g（x）=的图象有 3 个交点， 画出函数 g（x）的图象，如图所示： 故 0 1，解得 k1， 故答案为：k1 三：解答题 19.已知函数（k，m 为常数） （1） 当 k 和 m 为何值时，f（x）为经过点（1，0）的偶函数？ （2）若不论 k 取什么实数，函数 f（x）恒有两个不同的零点，求实数 m 的取值范围 解答：解：（1）因为函数 f（x）为偶函数， f（x）=f（x） 由此得 6kx=0 总成立，故 k=0 ，又该函数过点（1，0） ， ，得 m= 所以，当 m= ，k=0 时，f（x）为经过点（1，0）的偶函数 （2）由函数 f（x）恒有两个不同

14、的零点知， 方程恒有两个不等实根 ，故=0 恒成立， 即恒成立， 而9k2+12k=， 故只须，即，解得 0m 所以，当 0m 时，函数 f（x）恒有两个不同的零点 20.已知 A，B，C 是直线 l 上的不同的三点，O 是直线外一点，向量，满足 ，记 y=f（x） （1）求函数 y=f（x）的解析式； （2）若关于 x 的方程 f（x）=2x+b 在0，1上恰有两个不同的实根，求实数 b 的取值范 围 解答： 解：（1） A，B，C 三点共线， （2）方程 f（x）=2x+b 即 令， 当时，（x）0，（x）单调递减， 当时，（x）0，（x）单调递增， （x）有极小值为=即为最小值 又 （0

15、）=ln2，又ln2 =ln5 ln2 要使原方程在0，1上恰有两个不同实根，必须使ln2 21.已知函数 f（x）=lnx， （I）设函数 F（x）=ag（x）f（x） （a0） ，若 F（x）没有零点，求 a 的取值范围； （II）若 x1x20，总有 mg（x1）g（x2）x1f（x1）x2f（x2）成立，求实数 m 的取值 范围 解答： 解：（I）F（x）=ag（x）f（x）= ax2lnx， F（x）=ax = （x0） 函数 F（x）在（0，）上为减函数，在（，+）上为增函数 若 F（x）没有零点，须且只须 F（）0， 即+ lna0，即0 设 g（a）=，g（a）= g（a）在（

16、0，1）而为减函数，在（1，+）上为增函数，而 g（1）=10 g（a）0，即当 a0 时，0 恒成立 故若 F（x）没有零点，则 a 的取值范围为（0，+） （II）若 x1x20，总有 mg（x1）g（x2）x1f（x1）x2f（x2）成立， 即若 x1x20，总有 mg（x1）x1f（x1）mg（x2）x2f（x2）成立， 即函数 h（x）=mg（x）xf（x）= mx2xlnx，在（0，+）上为增函数， 即 h（x）=mxlnx10 在（0，+）上恒成立 即 m在（0，+）上恒成立 设 G（x）=，则 G（x）= G（x）在（0，1）上为增函数，在（1，+）上为减函数， G（x）G（1

17、）=1 m1 22.定义在 R 上的函数 g（x）及二次函数 h（x）满足： 且 h（3）=2 （）求 g（x）和 h（x）的解析式； （）对于 x1，x21，1，均有 h（x1）+ax1+5g（x2）x2g（x2）成立，求 a 的取值范围； （）设，讨论方程 ff（x）=2 的解的个数情况 解答： 解：（），在中以x 代替 x 得： ，即， 由联立解得：g（x）=ex3 h（x）是二次函数，且 h（2）=h（0）=1，可设 h（x）=ax（x+2）+1， 由 h（3）=2，解得 a=1 h（x）=x（x+2）+1=x22x+1， g（x）=ex3，h（x）=x22x+1 （）设 （x）=h（x）+ax+5=x2+（a2）x+6，F（x）=ex3x（ex3）=（1x）ex+3x3， 依题意知：当1x1 时，（x）minF（x）max， F（x）=ex+（1x） （ex3）+3=xex+3，在1，1上单调递减，F（x）min=F（1） =3e0， F（x）在1，1上单调递增， F（x）max=F（1）=0， ，解得：3a7， 实数 a 的取值范围为3，7 （）设 t=a+5，由（）知，2t12，f（x）的图象如图所示： 设 f（