3晶格振动_1.ppt

1、第三章 晶格振动和晶体的热性质(Lattice Vibration and Thermal Properties),3-1 一维单原子链 3-2 一维双原子链 3-3 晶格振动的量子化和声子 3-4 晶格振动谱的实验测量方法 3-5 晶格比热 3-6 非谐效应与热导率,分子、原子都在不停地运动。 气体、固体、液体的分子原子的运动形式不同。 晶体中的分子原子在其平衡位置做微振动。 原子间的相互作用使晶体中各个原子间的运动是相互耦合的、相互有关系的。 晶格系统可以看成是一个相互耦合的振动系统，这种运动就称为： 晶格振动(Lattice Vibrations)； 或晶体振动（Crystal Vibr

2、ations)。 晶格振动与晶体的热学性质(比热、热膨胀、融化、声的传播、电导率、热传导等等)密切相关，也与电学、光学、介电等性质也密切有关。 晶体是由大量电子和离子组成的多粒子体系，要严格求解这种复杂的多体问题是不可能的，研究时要进行简化。,绝热近似 用一个均匀分布的负电荷产生的常量势场来描述电子对离子运动的影响。 电子与离子的质量相差很大，离子的运动速度比电子慢得多，可以近似地把电子的运动与离子运动分开考虑，变成一个在晶格周期场中运动的多电子问题；在考虑离子的运动时，则认为电子能够即时跟上离子位置的变化，变成离子或原子如何围绕平衡位置运动的问题。 晶格振动理论就是在这个近似的基础上建立的。

3、 晶格具有周期性，晶格的振动具有波的形式 格波 格波的研究： 先计算原子之间的相互作用力。 根据牛顿定律写出原子运动方程，最后求解方程 。 先考虑一维情况，再推广到三维情况。,3.1 一维单原子链(布拉维晶格),简谐振子的运动方程：,显然， 弹簧的力常数k；质量M；离开平衡时的距离x。,运动方程：,解的形式：,频率：,周期：,动能：,势能：,总能量(哈密顿量)：,波速：,3.1.1 简谐近似,考虑一维单原子链：,设原子链为一维，则：原子间距为a; 第n个原子的平衡位置为rn=na ； 第n个原子离开平衡位置的位移为xn；,平衡位置时，两个原子间的互作用势能u(a)； 发生相对位移=xn-xn-

4、1 后，相互作用势能u=u(a+)； 简谐近似： 为了建立起运动方程，首先要对原子之间的相互作用力做些讨论。设在平衡时，两原子的相互作用势为u(a)，产生相对位移（例如=xn-xn-1 ）后，势能发生变化是u(a+) ，将它在平衡位置附近做泰勒展开： 首项是常数，可取为能量零点。由于平衡时势能取极小值，第二项为零，简谐近似下，我们只取到第三项，即势能展开式中的二阶项（2项），而忽略三阶及三阶以上的项。显然，这只适用于微振动，即值很小的情况。,值很小时， 相邻原子间的作用: 此处称为恢复力常数，其值为： 如果只考虑最近邻原子间的相互作用，则第n个原子离开平衡位置时受到的简谐振动力为：,相当于把相

5、邻原子间的相互作用力看作是正比于相对位移的弹性恢复力。,由牛顿定律，第n个原子的运动方程为: 当n=1，2，3.N时，每一个原子均有和上式类似的方程，即有由N个方程组成的方程组。 设方程的解为： 式中：A为振幅、为角频率、 qna为位相因子 把xn代入运动方程，则有： 方程的左端为：,方程的右端为： 方程的左右两边相等则有： 进行整理得：,该式表明与n无关，表明N个联立方程都归结为同一个方程方程。 或者说只要与q满足上式，则： 在简谐近似下，格波是简谐平面波。 满足：,格波的波形图,向上代表原子沿X轴向右振动,向下代表原子 沿X轴向左振动,3.1.2 格波频率与波矢关系,与q的这种函数关系称为

6、色散关系(dispersion relation) 或色散曲线。,与q的函数关系如图所示：,求极值对应的q： 令 解得： q的取值范围为： q的取值区间称为布里渊区(Brillion zone)。,的物理意义 比较一般连续介质波： x可以连续取值。 n只可以为整数。 显然： 称为波矢（wave vector） 注意到： 即qa改变2的整数倍，原子的振动是一样的。 这样，q的取值范围只需要控制在之间/a即可。这个区间称为第一布里渊区,这一点在从波形上也易于理解。 例如: q=(/2a)和q= q+(2/a)=(5/2a) 分别对应波长为=(2/q)=4a和 =(2/q)=(4/5)a,两种波长的

7、格波描述一维不连续原子的同一种运动,3.1.3 晶格振动的色散关系,色散关系的特点 ： 一是偶函数：(q) =(-q)， 二是周期函数： 这表明，当二个波矢相差为倒格矢的整数倍时，它们对应的频率是一样的。 色散关系的上述二个性质对更为复杂的晶格振动也是适用的。 它们实际上与晶格振动系统的对称性有关，前者涉及时间反演对称性，后者与晶格的周期结构有关。 由于色散关系的周期性，可以把它约化到第一(或简约)布里渊区中来表示。,单原子链的色散曲线, q空间的周期: 2/a,频率极小值,频率极大值,只有频率在 之间的格波才能在晶体中传播，其它频率的格波被强烈衰减, 低通滤波器。,色散关系,相速度和群速度

8、由于有色散关系，格波可用相速度和群速度来描述： 相速度： 相速度是指特定频率为，波矢为q的波的传播速度； 群速度则描述平均频率为，平均波矢为q的波包（波矢紧密相近的波群）速度，它表征能量和动量的传输速度。 长波和短波近似 在布里渊区中心附近(q0)，由于qa很小 ， 此时频率与波矢为线性关系。相速度与群速度相等，为与波矢无关的常数。 由于q取小值属于长波振动模(=2/q)，故上述线性关系为长波近似时的结果。,群速度：,由于长波近似下，格波的波长远大于原子间距，晶格就象一个连续介质。 在连续介质中传播的波为弹性波，其波速为声速，它是与波矢无关的常数。 故单原子链中传播的长波近似下的格波叫声学波。

9、 格波的色散关系与连续介质中弹性波的一致,长波近似：,格波的色散关系与连续介质中弹性波的不一致；不同频率的格波传播速度不同。,短波近似：,长波极限下，q0：,相邻两个原子振动相位差为0,晶格可看作是连续介质,相邻原子的振动相位相反,短波极限下，q/a：,3.1.4 周期边界条件,对长度有限的原子链，必须考虑边界条件。 Born-Von Karman提出了周期边界条件： 由N个原子组成一个环状链原子数目有限，但各原子完全等价。第j个原子的运动与T周期中的第 Tn+j个原子的运动情况完全一样。,在Born Von Karman条件下，第一个原子与第N+1个原子的运动状态一样：,因此：,结论1：表明

10、描述有限晶格振动状态的波矢q不能连续取值，只能取一些分立的值，即波矢q是量子化的。,对一维布拉维晶格：,a为原子间距，N为原胞数。 对一维单原子链组成的布拉维晶格： l 的取值只能取从-N/2到N/2包括0在内的l 个整数值。 q也只能取l 个不同的值。 在一维单原子链情况下，每个q值对应一个,一组（，q）对应一个格波，故共有N个格波。这N个格波的频率与波矢q的关系由一条色散曲线所概括，所以这N个格波构成一支格波。一维单原子链只有一支格波。 结论2：q 的取值数目恰好等于晶体中原胞的数目。,3.2 一维双原子链,3.2.1 运动方程 许多晶体的原胞里含有的原子数多于一个。 为了表示复式格子的晶

11、格振动特性，考虑由两个不同原子组成的一维双原子链： 红色原子质量M，绿色原子质量m。,对绿色原子:,对红色原子:,当原子链包含N个原胞（即有N个绿色原子和N个红色原子共2N个原子）时，应有2N个方程组成的联立方程组。 令方程有解：,把解代入该式子:,得:,因此：,同理：,联立述两个方程组成方程组，其与n无关：,为求常数A、B整理后得到:,改写为：,齐次方程组有非零解的条件是：,故:,可以得到两个2的值：,把2+和2- 代回方程组，则有:,由格波解： 可知：相邻原胞之间的位相差为2qa (原胞长度为2a) 。,如果把2qa改变2倍，则原子的运动状态没有改变：,即为一维双原子链的布里渊区。在这个范

12、围内任意一个q有两个格波解，其频率为:,仍然采用周期性边界条件：,又因为：,所以：,即 l 共有N个不同的取值： 由N个原胞（共含2N个原子）组成的的一维双原子链，q可以取N个不同的值，每个q对应两个解。,一共2N个不同的格波，数目正好等于链的自由度得到了链全部的振动模式。, 3.2.2 双原子链的色散关系,色散关系的特点,短波极限,两种格波的频率,因为 Mm，所以, 不存在格波, 频率间隙, 一维双原子晶格叫做带通滤波器,晶格振动的波矢数=晶体的原胞数 晶格中格波的支数=原胞内的自由度数 每支格波都描述了晶格中原子振动的一类运动形式。原胞有多少个自由度，晶格原子振动就有多少种可能的运动形式，

13、就需要多少支格波来描述。 一维单原子链：仅存在一支格波，且为声学格波。 一维双原子链：存在两支格波声学波和光学波各一支。 一维p原子链：存在p支格波 1支声学波和p -1支光学波。 三维晶体：原胞的总自由度数为3N(N为原胞数),则晶体中原子振动可能存在的运动形式就有3N种，用3N支格波来描述。其中有3只声学格波，其余3(N-1)支光学格波。,晶格振动的一般结论,定性地说，初基元胞质心的运动主要由声学格波代表，初基元胞内两原子的相对运动主要由光学格波代表。 对于m维空间，N个原胞，每个原胞含p个不等效原子，则： 晶格振动的模式数(格波数、频率数)=晶体的自由度数 3维晶格：3p支格波，一个波矢

14、q对应3p个值，即对应3p个格波，允许的波矢q取值数为原胞数N，则共有3pN组(i,q )数组，晶体中有3pN个格波。 晶体中任何一原子的实际运动是这3pN个格波所确定的谐振动的线性叠加。 晶格振动是一种集体运动形式，表现为不同模式的格波。,3.2.3 声学波与光学波,研究q 0时(q)的关系具有特殊意义 对一维单原子链，与 q的函数关系如图所示：,显然，,对于连续介质的弹性波，有：,其中c为波速。,表明当q/a时，一维单原子链中的格波相当于连续介质中的弹性波。 如果相邻原子的相对位移为时，则： 相对伸长为:/a； 相互作用力为： 链的伸长模量为a； 链的密度为：m/a。 故： 即当把原子链看

15、成是弹性波时，c为弹性波的波速。,对一维双原子链，有：,光学波为：,声学波为：,双原子链的色散关系,对于声学波，当q 0时，- 0。同时有：,利用,所以：,故有：,进一步整理得：,这里令：,其中：伸长模量=(2a)，密度=（m+M/a）。,即长声学波的频率正比于波数，就是把一维链看成是连续介质时的弹性波。 对于长声学波，当q 0时，- 0，故有：,表明原胞里的两种原子的运动是一样的，振幅和位相都没有差别。 即长声学波代表了原胞的质心的振动； 而q =0时则代表了整个晶体的平动； 或者说声学波时两种原子是同向运动的。,长声学波示意图,对于光学波，因为：,当q =0时，则有：,即与n无关，表明N

16、个联立方程都归结为同一个方程。,进一步整理得：,这里令：,称为折合质量。,两种原子的振幅比为：,当 q 1时，cos(qa) 1，则有：,表明原胞内的两个原子以相反的位相、不同的振幅进行振动。,由上式可得：,即光学波的长波极限描述的是同一原胞里的两个原子相对于质心的振动。,或者说光学波时两种原子是反向运动的。,长光学波示意图,3.3 晶格振动的量子化和声子,理论考虑： 晶体中原子的集体振动-格波：可展开成简谐平面波的线性迭加。 对微弱振动(简谐近似)，每个格波就是一个简谐波，格波之间的相互作用可忽略，形成独立格波模式。 晶格振动中的简谐振子的能量量子-声子。 数学处理： 晶格振动总能量（哈密顿

17、量）= 动能 + 势能（含交叉项） 引进正则坐标，消去势能中的交叉项，哈密顿量对角化， 使晶格振动总能量（哈密顿量）= 独立简谐振子能量之和。,3.3.1 简正(正则)坐标(normal coordinate),简谐振子的总能量E为：,因为：,但实际上A与q有关，A用Aq表示，则有：,故,显然，第n个原胞的总位移为：,晶体系统的动能：,晶体系统的势能：,晶体系统的总能量E和总哈密顿量(Hamilton算符=动能算符+势能)：,但该表示式中的势能项有(xn-1xn)交叉项存在，即反映了原子振动的相互耦合。这给建立物理模型和数学处理带来困难，故引入简正坐标Qq(t)来消除交叉项，即将本来存在相互耦

18、合的原子振动转换成在另一表象中相互独立的谐振子。 简正坐标Qq(t)是粒子所有质量加权坐标的线性组合，每个质量加权坐标表征的是构成粒子的一个原子在一个坐标方向上的振动特性。因此每个简正坐标表征的是一套粒子内部运动的组合，而这种组合一定是符合粒子所属的对称性群的一个对称类的。,对N个原子组成的体系的动能：,势能为：,其原子的位置为： Rn (t) =Rn+ un (t) 其中：Rn为平衡位置；un为偏离平衡位置的位移矢量。,一般设:,，并略去高阶项，故势能为：,引入简正坐标：Q1、Q2、Q3、Q3N，且简正坐标与位移坐标有关系：,因此有：,因此动能函数与势能函数都是正定的。 系统的拉格朗日函数为

19、：L=T-U。 正则动量为：,其中：,系统的总能量：,系统的哈密顿量：,应用正则方程：,一般解为：,其中：,简正坐标与位移坐标之间关系为：,当只考察某一个Qi的振动时：,即简正振动并不是一个原子的振动，而是表示整个晶体所有原子都参与的振动，且振动频率相同。,3.3.2 能量量子化,由简正坐标所代表的、体系中所有原子一起参加的共同振动，称为一个振动模。 按照简正坐标的思想可以把晶格振动用简正坐标的形式写出来：,其中：,与式,相比得：,Q(q)是否能将,先证明下列两式子成立：,变换为平方和的形式，需要验证。,又对左上式两端取复共轭，则有：,因为原子的位移xn是实变量，所以 xn=xn，比较上两式得：,式(1)得证。,对第二式：,由此可知等式(2)成立。,当q=q时，等式左端=1，等式右端=1； 当q q时，令q - q = s，注意到 q= 2l/(Na)，l为整数，有,利用这两式来化简系统动能和势能：,动能项：,注意:q=2l/(na),势能项：,即Q(q)是系统的复数形式的简正坐标。 所以：,等式右端的每一个单项就代表一个简谐振子的能量。,根据量子力学的结果：频率为i的谐振子的能量是量子化的：,系统总能量也是量子化的：,这表明谐振子处