概率论内容小结

1、概率论内容小结,随机试验E,所有可 能结果,样本空间,子集,概率P(A),事件A、B,统计 定义,频率f(A),伯努利 大数定律,定义实值函数 X=X(),随机变量X,分布,离散,连续,分布律,密度函数f(x),两点、二项、泊松、几何分布,正态、均匀、 指数分布,F(x)=P(Xx),数字 特征,期望、方差、各阶矩,n维随机变量,联合概率分布,分布,关 系,独立性,特 例,二维随机变量,数字 特征,协方差、相关系数,中心极限定理,事件的概率：统计定义 公理化定义,1) 非负性公理：P(A)0; 2) 正则性公理：P()=1; 3) 可列可加性公理：若A1, A2, , An 互不相容，则,P(

2、A)为事件A 的概率,满足,若事件A与B独立，则 A 与 独立、 与 B独立、 与 独立.,事件的独立性,若P(AB)=P(A)P(B),则称A与B相互独立.,若 P(AB)=P(A)P(B), P(AC)=P(A)P(C), P(BC)=P(B)P(C) P(ABC)=P(A)P(B)P(C) 则A、B、C三个事件相互独立.,若A、B、C 相互独立，则AB与 C 、 AB与 C 、 AB与 C 都相互独立。,随机变量X的概率分布函数F(x) 1）定义：设X为一个随机变量，对任意实数 x， 称 F(x)=P( X x) 为 X 的分布函数.,2）基本性质： a) 单调不降； b) 有界；0F(

3、x)1，F()=0，F(+)=1； c) 右连续.,连续随机变量X 及其概率密度：,X f (x),(非负性),(正则性),（1） 连续随机变量： 密度函数基本性质：,P(X=x) = F(x)F(x0) = 0;,P(aXb) = P(aXb) = P(aXb)= P(aXb) = F(b)F(a),（2）计算公式：,当F(x) 在x点可导时, f (x) =,（1）数学期望定义：,2) E(aX+b) = aE(X)+b,3) E(g1(X)+g2(X) = E(g1(X)+E(g2(X),性质：,一维随机变量的数字特征,D(X ) = E ( X E(X) )2,（2）方差定义：,性质：

4、,1) D(c)=0.,2) D(aX+b) = a2 D(X).,3) D(X)=E(X 2)E(X )2.,分布列或密度函数,期望,方差,常用分布,二项分布B(n, p),0-1分布,泊松分布P(),几何分布,1/p,(1p)/p2,均匀分布,指数分布,正态N(, 2),标准正态N(0, 1),0,1,p(x),x,0,x,x,标准正态分布N(0, 1),密度函数记为 (x),分布函数记为 (x),一般正态分布的标准化,定理2.5.1 设 X N(, 2),则 Y N(0, 1).,推论:,若 X N(, 2), 则,P(X a) =,定理2.6.2 设 X N ( , 2)，则当a 0

5、时， Y = a X + b N ( a +b, a2 2).,大数定律：伯努利大数定律、切比雪夫大数定律、 马尔可夫大数定律、辛钦大数定律. 讨论 “概率是频率的稳定值”的确切含义；,伯努利大数定律：,设 Sn 是n重伯努利试验中事件A出现的次数，每次试验中 P(A) = p, 则对任意的 0，有,林德贝格莱维中心极限定理：,设 Xn 为独立同分布随机变量序列，数学期望为, 方差为 2 0，则当 n 充分大时，有,中心极限定理：,棣莫弗拉普拉斯中心极限定理：,设Xn 为服从二项分布 b(n, p) 的随机变量，则当 n 充分大时，有,是林德贝格勒维中心极限定理的特例.,二项分布的正态近似,若

6、满足以下之一: i) F(x, y) = FX(x) FY(y) ii) pij = pi pj iii) f (x, y) = f X(x) f Y(y) 则称 X 与Y 是相互独立的。,随机变量间的独立性,X 与Y 是独立的，则g(X)与h(Y)也是独立的.,1) 设 (X, Y ) 是二维随机变量, Z = g (X, Y )，则,E (Z ) = E g(X, Y ) =,2) Cov(X, Y)=EXE(X )YE(Y )=E(X Y)-E(X )E(Y ) 为X 与Y的协方差(相关矩).,为 X 与 Y 的相关系数.,二维随机变量的特征数,X与Y是否具有线性关系.,设X 为随机变量，k为正整数，如果以下的数学期望都存在，则称E ( X k )