概率论与数理统计密度函数

1、密度函数的几何意义,岳卫芬 概率论与数理统计 广东金融学院 2016.10.11-13第六周,密度函数的性质,1.,2.,（非负性）,（归一性）,3.,连续型随机变量的充要条件,岳卫芬 概率论与数理统计 广东金融学院 2016.10.11-13第六周,称A为几乎不可能事件，B为几乎必然事件.,由P(A)=0, 不能推出,由P(B)=1, 不能推出 B = ,而 “ ” 并非不可能事件,“ ” 并非必然事件,于是，,岳卫芬 概率论与数理统计 广东金融学院 2016.10.11-13第六周,4.,若x是 f(x)的连续点，则：,若忽略高阶无穷小，有：,它表示随机变量 取值于 的概率近似等于 .,在

2、连续型随机变量理论中所起的作用与,在离散型随机变量理论中所起的,作用相类似.,岳卫芬 概率论与数理统计 广东金融学院 2016.10.11-13第六周,均匀分布,岳卫芬 概率论与数理统计 广东金融学院 2016.10.11-13第六周,对任意实数c, d (acdb)，有,岳卫芬 概率论与数理统计 广东金融学院 2016.10.11-13第六周,指数分布,岳卫芬 概率论与数理统计 广东金融学院 2016.10.11-13第六周,岳卫芬 概率论与数理统计 广东金融学院 2016.10.11-13第六周,例6 电子元件的寿命 (年)服从参数为3的指数分布，求该电子元件寿命超过2年的概率.,解：,岳

3、卫芬 概率论与数理统计 广东金融学院 2016.10.11-13第六周,正态分布,岳卫芬 概率论与数理统计 广东金融学院 2016.10.11-13第六周,(1) 单峰对称, 决定了图形的中心位置,正态分布有两个特性：,密度曲线关于直线x= 对称,岳卫芬 概率论与数理统计 广东金融学院 2016.10.11-13第六周,(2) 决定了图形中峰的陡峭程度.,越大，曲线越平坦， 越小，曲线越陡峻。,岳卫芬 概率论与数理统计 广东金融学院 2016.10.11-13第六周,密度函数为,一般正态分布可以通过变换化为标准正态分布：,岳卫芬 概率论与数理统计 广东金融学院 2016.10.11-13第六周

4、,标准正态分布的性质,(3)图象,特点是“两头小，中间大，左右对称”.,岳卫芬 概率论与数理统计 广东金融学院 2016.10.11-13第六周,设 是一个 r.v.，称,为 的分布函数. 记作 F(x) 或 F (x).,分布函数,岳卫芬 概率论与数理统计 广东金融学院 2016.10.11-13第六周,对任意实数 x1 x2, 落在区间 (x1 , x2 上的概率为：,P( x1 x2 ) = P( x2 ) P( x1 ) = F(x2) F(x1),分布函数是一个普通的函数，正是通过它， 我们可以用数学分析的工具来研究随机变量.,岳卫芬 概率论与数理统计 广东金融学院 2016.10.

5、11-13第六周,(1) F(x) 非降，即若 x1 x2，则F(x1) F(x2),(3) F( ) = F(x) = 0,(4) F(x) 右连续，即,如果一个函数具有上述性质，则一定是某个r.v. 的分布函数. 也就是说，性质(1)(4)是鉴别一个函数是否是某r.v.的分布函数的充分必要条件.,F( ) = F(x) = 1,分布函数的性质,(2),岳卫芬 概率论与数理统计 广东金融学院 2016.10.11-13第六周,1.已知分布列(律)求分布函数,例7已知,，求 F(x).,离散型随机变量的分布函数,当 x0 时，F(x) =,当 0 x 1 时， F(x) =,P() =0,P(

6、=0),岳卫芬 概率论与数理统计 广东金融学院 2016.10.11-13第六周,当 1 x 2 时， F(x) = P(=0) + P(=1) = + =,当 x 2 时， F(x) = P(=0) + P(=1) + P(=2) = 1,岳卫芬 概率论与数理统计 广东金融学院 2016.10.11-13第六周,故,岳卫芬 概率论与数理统计 广东金融学院 2016.10.11-13第六周,设离散型 r.v. 的分布律是：,P(=xk )= pk , k =1,2,3,则 F(x) = P( x) =,方法归纳:(已知分布列(律)求分布函数),岳卫芬 概率论与数理统计 广东金融学院 2016.

7、10.11-13第六周,分布函数图,岳卫芬 概率论与数理统计 广东金融学院 2016.10.11-13第六周,2.已知分布函数求分布列(律),例8已知离散型随机变量的分布函数如下:,求的分布列.,岳卫芬 概率论与数理统计 广东金融学院 2016.10.11-13第六周,指数分布的分布函数,当 x0 时，,当 x0 时，,岳卫芬 概率论与数理统计 广东金融学院 2016.10.11-13第六周,其密度函数和分布函数常用 和 表示：,书末附有标准正态分布函数数值表，可以解决其概率计算.,表中给的是x0时, (x)的值.,当x0时，,若 N(0,1),则,岳卫芬 概率论与数理统计 广东金融学院 20

8、16.10.11-13第六周,例9,解：,岳卫芬 概率论与数理统计 广东金融学院 2016.10.11-13第六周,随机变量函数,定义 设 是定义在随机变量 的一切 可能值 的集合上，若对于 的每一可能 值 ，有随机变量 的一个值 与之 对应，则称 为 的函数，记为,岳卫芬 概率论与数理统计 广东金融学院 2016.10.11-13第六周,离散型随机变量函数的分布,例11,求 的分布列.,已知随机变量 的分布列如下表，,岳卫芬 概率论与数理统计 广东金融学院 2016.10.11-13第六周,岳卫芬 概率论与数理统计 广东金融学院 2016.10.11-13第六周,练习1,已知随机变量 的分布

9、列如下表，,求 的分布列.,岳卫芬 概率论与数理统计 广东金融学院 2016.10.11-13第六周,总结,且 的分布列如下表，,若 是离散型 r.v.，,如果 中有一些是相同的，把它们作适当 并项即可.,岳卫芬 概率论与数理统计 广东金融学院 2016.10.11-13第六周,连续型随机变量函数的分布,单调,递增,岳卫芬 概率论与数理统计 广东金融学院 2016.10.11-13第六周,岳卫芬 概率论与数理统计 广东金融学院 2016.10.11-13第六周,例12,设 ,求 的概率密度.,解：设 的密度函数为 ,分布函数为 ，则,岳卫芬 概率论与数理统计 广东金融学院 2016.10.11-13第六周,故,岳卫芬 概率论与数理统计 广东金融学院 2016.10.11-13第六周,练习2,已知 ,求 的密度函数 .,解：,岳卫芬 概率论与数理统计 广东金融学院 2016.10.11-13第六周,设 具有概率密度 ,求 的概率密度.,例13,解：设 的密度函数为 ,分布函数为 ，则,当 y 0时，,当 y0 时,求导可得,岳卫芬 概率论与数理统计 广东金融学院 2016.10.11-13第六周,N(0,1),(1)若 N(0,1),岳卫芬 概率论与数理统计 广东金融学