复变函数教学大纲

1、复变函数教学大纲（含自主学习内容的课程）课程编号：学时与学习时间：48（其中理论32学时，自主学习16学时）学 分：2+1课程类别：专业平台课面向对象：数学与应用数学专业本科学生课程英文名称：Function of Complex Variable一、课程的任务和目的任务：教师的课堂教学帮助学生理解和掌握复变函数理论的基础知识、基本理论和主要方法，提高学生在函数论方面的理论水平和应用能力，培养学生对该领域学习和研究的兴趣，初步了解国内外研究的动态，为学生学习后续课程打下扎实基础。自主学习的形式将充分调动学生的主观能动性，有效激发学生的求知欲望，挖掘学习潜力，帮助学生学会学习。 目的：通过以教师

2、课堂讲授为主，学生自主学习为辅的形式，在向学生传授复变函数知识和方法的同时，培养学生独立思考，自由探索的兴趣，提高分析和解决问题的能力。二、课程内容与基本要求1复数与复变函数授课内容：理解复数域、复平面、复数的模与辐角，熟练掌握复数的各种表示、运算与性质、共轭复数，理解并掌握复数在几何上的应用，理解平面点集的基本概念，理解复变函数的极限与连续的概念。 自主学习内容：了解复数的几何意义、约当曲线、复球面、扩充复平面，熟练掌握复数的各种运算。重点：复数的表示与运算，复数在几何上的应用。难点：复球面、扩充复平面。2解析函数授课内容：理解复变函数的导数与微分的概念，理解和掌握解析函数的定义及其性质，掌

3、握CauchyRiemann条件，能熟练判别函数的解析性，掌握初等解析函数（如指数函数、正弦函数和余弦函数）的性质，掌握根式函数的变换特性，了解对数函数的多值性。自主学习内容：了解正切、余切、正割、余割函数及双曲函数，了解一般幂函数和一般指数函数及反三角函数和反双曲函数。重点：解析函数的定义及其判别，CauchyRiemann条件，根式函数和对数函数。难点：初等解析函数的变换性质，多值函数。3复变函数的积分授课内容：理解复变函数积分的定义及性质，熟练掌握复积分的各种计算方法，理解Cauchy积分定理及其证明、不定积分，牢固掌握Cauchy积分公式和解析函数的高阶导数公式，理解解析函数的无穷可微

4、性，掌握Cauchy不等式与Liouville定理，掌握解析函数与调和函数的关系。自主学习内容： 理解Cauchy积分定理的推广形式，了解摩勒拉定理。重点：复变函数积分的各种计算，Cauchy积分定理，Cauchy积分公式，高阶导数公式，Cauchy不等式，Liouville定理，解析函数与调和函数的关系。难点：Cauchy积分定理的证明，证明Cauchy积分公式时所用的思想方法与技巧。4解析函数的幂级数表示法授课内容：理解复函数项级数的一致收敛、解析函数项级数、幂级数的敛散性及性质、Taylor定理，牢固掌握基本初等函数的Taylor展式，能熟练地将函数在指定点的邻域内展开成Taylor 级

5、数，理解解析函数零点的孤立性、唯一性定理，掌握最大模原理。自主学习内容：理解复级数的定义及其性质。重点：基本初等函数的Taylor展开，Taylor定理，唯一性定理，最大模原理。难点：理解解析函数零点的孤立性、最大模原理及其证明。5解析函数的洛朗展式与孤立奇点授课内容：理解解析函数的Laurent展式、Laurent级数与Taylor级数的关系，能熟练地将函数在指定点的邻域内展开成Laurent 级数，掌握孤立奇点的分类方法并能对奇点的类型进行判别，理解解析函数在无穷远点的性质。自主学习内容：了解Schwartz引理、Picard定理、整函数与亚纯函数的定义及其简单性质。重点：将函数展成Lau

6、rent 级数，奇点判定与分类，Laurent级数与Taylor级数的关系。难点：解析函数在无穷远点的性质，Schwartz引理、Picard定理，亚纯函数及其性质。6留数理论及其应用授课内容：正确理解留数定义、对数留数，熟练掌握留数的各种计算方法；掌握留数定理及其在复积分和三种特殊类型的实积分计算中的应用，理解辐角原理、儒歇定理，并能作简单应用。自主学习内容： 了解积分路径上有奇点的积分。重点：留数的定义与计算，留数定理在复积分和几种特殊类型的实积分计算中的应用，辐角原理、儒歇定理及其应用。难点：留数定理用于计算实（复）积分时的路径选择，辐角原理的应用。7共形映射自主学习内容：理解共形映射的

7、概念及其各种特性、导数模和幅角的几何意义、单叶解析变换的共形性等；掌握分式线性变换及其性质，了解一些初等函数所构成的映射性质。能利用分式线性变换和一些初等函数进行典型区域之间的共形映射。重点：共形映射的概念，导数的几何意义，单叶解析函数，分式线性变换及其性质，典型区域之间实现共形映射的方法。难点：导数模和幅角的几何意义，分式线性变换的性质。三、对学生能力培养的要求通过本课程的学习，进一步提高学生的逻辑思维能力，论证推理能力，计算能力，解决实际问题的能力等，提高学生在分析数学方面的综合素质。 四、学时分配总学时48学时，其中授课32学时，自主学习16学时，分配如下：教学内容授课学时自主学习学时合

8、计复数与复变函数336解析函数516复变函数的积分617解析函数的幂级数表示法527解析函数的洛朗展式与孤立奇点628留数理论及其应用718共形映射066合计321648五、与各课程的联系先修课程：数学分析、解析几何。后续课程：复分析、拟共形映照、代数体函数、线性微分方程与复振荡理论、多复变函数论、复动力系统等。 六、考核方式考核方式：采用闭卷考试，平时成绩占30%，期末考试占70%。自主学习内容与课堂授课内容一并考核。七、教材与参考书教 材：钟玉泉编.复变函数论（第三版）.北京：高等教育出版社.2004.参考书：1 L. V. Ahlfors. Complex Analysis. New York: McGraw-Hill Book Company.19792 M. A. 拉夫连季耶