高考数学理全国通用大一轮复习课件第四篇平面向量必修4第3节平面向量的数量积及平面向量的应用

1、第3节平面向量的数量积及平面向量的应用,最新考纲,考点专项突破,知识链条完善,经典考题研析,知识链条完善 把散落的知识连起来,【教材导读】,2.对于非零向量a,b,c. (1)若ac=bc,则a=b吗? (2)(ab)c=a(bc)恒成立吗? 提示:(1)不一定有a=b,因为ac=bcc(a-b)=0,即c与a-b垂直,但不一定有a=b.因此向量数量积不满足消去律. (2)因为(ab)c与向量c共线,(bc)a与向量a共线.所以(ab)c与a(bc)不一定相等,即向量的数量积不满足结合律.,知识梳理,1.向量的夹角 (1)定义,(2)范围 向量夹角的范围是 ,a与b同向时,夹角= ;a与b反向

2、时,夹角= . (3)垂直关系 如果非零向量a与b的夹角是 ,我们说a与b垂直,记作 .,0,0,90,ab,2.平面向量的数量积 (1)数量积的定义 已知两个非零向量a和b,它们的夹角为,则向量a与b的数量积是数量 ,记作ab,即ab= . (2)向量的投影 设为a与b的夹角,则向量a在b方向上的投影是 ;向量b在a方向上的投影是 . (3)数量积的几何意义 数量积ab等于a的长度|a|与 的乘积.,|a|b|cos ,|a|b|cos ,|a|cos ,|b|cos ,b在a的方向上的投影|b|cos ,3.平面向量数量积的性质及其坐标表示 已知非零向量a=(x1,y1),b=(x2,y2

3、),为向量a,b的夹角.,4.平面向量数量积的运算律 已知向量a,b,c和实数,则: (1)交换律:ab= ; (2)结合律:(a)b=(ab)= ; (3)分配律:(a+b)c= . 5.向量在平面几何中的应用 平面向量在平面几何中的应用主要是用向量的线性运算及数量积解决平面几何中的平行、垂直、全等、相似、长度、夹角等问题. 6.平面向量在物理中的应用 (1)由于物理学中的力、速度、位移都是矢量,它们的分解与合成与向量的加法和减法相似,可以用向量的知识来解决. (2)物理学中的功是一个标量,这是力F与位移s的数量积.即W=Fs=|F| |s|cos (为F与s的夹角).,ba,a(b),ac

4、+bc,1.(2016山东师大附中模拟)已知向量a=(-1,2),b=(-1,1),c=(-3,1),则c(a+b)等于( ) (A)6(B)-6(C)-3(D)9,解析:因为a=(-1,2),b=(-1,1),c=(-3,1), 所以a+b=(-2,3), 所以c(a+b)=(-3)(-2)+13=9. 故选D.,D,对点自测,C,B,4.一质点受到平面上的三个力F1,F2,F3(单位:牛顿)的作用而处于平衡状态.已知F1,F2成60角,且F1,F2的大小分别为2和4,则F3的大小为.,5.下列命题中,假命题有(填序号). 两个向量的数量积是一个向量; b在a方向上的投影是向量; 若ab0,

5、则a和b的夹角为锐角;若ab0,则a和b的夹角为钝角;,解析:两向量的数量积是个实数,为假命题;b在a方向上的投影是个数量,为假命题;ab0,则a,b夹角可能为0,ab0,则a,b夹角可能为,为假命题;两向量夹角范围是0,为假命题;ab=0时,可能ab,不为零向量,为假命题. 答案:,考点专项突破 在讲练中理解知识,考点一,平面向量数量积,【例1】 (1)(2016全国卷)已知向量a=(1,m),b=(3,-2),且(a+b)b,则m等于() (A)-8(B)-6(C)6(D)8,解析:(1)a+b=(4,m-2),由(a+b)b得(a+b)b=(4,m-2)(3,-2)=12-2m+4=0,

6、m=8.故选D.,求向量数量积的方法 (1)定义法;(2)坐标法.,反思归纳,答案:10,考点二,平面向量的夹角与模,答案: (1)A,答案:(2)B,(3)(2016全国卷)设向量a=(m,1),b=(1,2),且|a+b|2=|a|2+|b|2,则m=.,解析:(3)|a|2=m2+1,|b|2=1+4=5, a+b=(m+1,3), |a+b|2=(m+1)2+32, 因为|a+b|2=|a|2+|b|2, 所以(m+1)2+9=m2+1+5, 解得m=-2. 答案:(3)-2,(1)利用数量积求解长度的处理方法 |a|2=a2=aa; |ab|2=a22ab+b2; 若a=(x,y),

7、则|a|= . (2)求两个非零向量的夹角时要注意 向量的数量积不满足结合律; 数量积大于0说明不共线的两个向量的夹角为锐角;数量积等于0说明两个向量的夹角为直角;数量积小于0且两个向量不共线时两个向量的夹角就是钝角. 解有关向量夹角问题或两向量垂直问题的思路是直接运用夹角公式cos= 或向量垂直的充要条件求解.,反思归纳,答案:(1)D,考点三,平面向量的应用,答案:(1)B,(1)运用向量处理几何问题是把线段表示成向量,然后利用向量运算处理所求问题. (2)运用向量处理物理问题是把物理学中有大小、方向的量抽象为向量. (3)平面向量与三角函数的综合问题,运用向量共线或垂直或等式成立等,得到三角函数的关系式然后求解.,反思归纳,备选例题,【例2】 (2016衡水中学调研)已知A,B,C分别为ABC的三边a,b,c所对的角,向量m=(sin A,sin B),n=(cos B,cos A),且mn=sin 2C. (1)求角C的大小;