第四章 统计学 数据的概括性度量PPT学习课件.ppt

1、第 4 章 数据的概括性度量,4.1 集中趋势的度量 4.2 离散程度的度量 4.3 偏态与峰态的度量,1,学习目标,1.集中趋势各测度值的计算方法 2.集中趋势各测度值的特点及应用场合 3.离散程度各测度值的计算方法 4.离散程度各测度值的特点及应用场合 5.偏态与峰态的测度方法 6.用Excel计算描述统计量并进行分析,2,重点 1.集中趋势、离散程度的各测度值的特点 2.集中趋势、离散程度的应用场合，计算方法 难点 利用Excel计算数据的描述统计量并进行分析,本章教学重点与难点,3,统计分析方法概述 (补充内容),4,统计分析方法一般根据统计数据的维度，可以分为单变量数据分析方法、双变

2、量数据分析方法和多变量变量数据分析方法。另外，截面数据和时序数据的分析方法也有所不同。根据以上综述，可将统计分析方法分为如下几种类型：,5,（一）单变量数据的描述性分析方法（本章） 1集中趋势的测度 2离散程度的测度 3偏态与峰态的测度 （二）单变量数据的统计推断方法（6、7章） 1参数估计方法 2假设检验方法,6,（三）双变量数据的相关性分析方法（第九、十章） 1数值型数据的相关性分析相关分析 2属性数据的相关性分析列联表分析 3数值型数据和属性数据的相关性分析方差分析 （四）双变量数据的因果关系分析方法（回归分析，第十一章） 1数值型数据的回归分析 2数值型数据和属性数据的回归分析,7,（

3、五）单变量时间序列数据的分析方法（第13章） 1时间序列的描述性分析 2时间序列的平稳性分析 3平稳性序列的预测 4有趋势序列的预测 5复合型序列的分析 （六）双变量时间序列数据的相关和回归方法 1平稳序列的的相关和回归 2非平稳序列的的相关和回归,8,（七）统计指数分析方法（第14章） （八）多变量数据分析方法 1判别分析 2因子分析 3聚类分析,9,单变量数据的描述性分析方法,10,统计学是关于数据收集、数据整理和展示、数据分析、数据推断的科学。 一组数据，可以通过数据的分组和频数分布，来展示数据的基本特征，可以通过统计图直观地了解数据的分布特征，但是，为了更好地发现数据的基本规律，必须将

4、数据的分布特征用详细的数值测度和描述。,11,统计学认为，数据的分布特征，可以从三个方面进行测度和描述： 一是数据的分布中心在哪里？越靠近中心数据越密集，我们把这种特征称谓集中趋势，中心值可以代表数据的一般水平； 二是一般数据偏离其中心程度有多大？我们把数据分布偏远离其中心值的程度称谓离中趋势，离散值可以代表数据的变异程度； 三是分布的偏态和峰度，她们也反映数据分布形状的差异。,12,数据分布的特征,13,数据分布特征的测度,14,补充：指标的类型 总量指标,反映现象在一定时间、地点、条件下的总体规模或水平的综合指标，即数量指标，也称为绝对数。,一、概念,是认识社会经济现象的起点； 是实现宏观

5、经济调控和企业经营管理的基本指标； 是计算其他统计指标的基础。,二、作用,15,总体标志总量,总体单位总数,1、按反映的总体内容不同分为：,三、总量指标的基本分类,2、按反映的时间状况不同分为：,时期指标,时点指标,3、按计量单位不同分为：,实物指标,价值指标,劳动指标,16,总体标志总量,总体单位总数,注意：一个总体中只有一个单位总数，但可以有多个标志总量，它们由总体单位的数量标志值汇总而来。,总体各单位某一数量标志的标志值总和,总体所包含的总体单位的数量,1、按反映的基本内容不同,17,时期指标,时点指标,表明现象总体在一段时期内发展过程的总量，如在某一段时期内的出生人数、死亡人数,表明现

6、象总体在某一时刻（瞬间）的数量状况，如在某一时点的总人口数,2、按反映的时间状况不同,18,出生人数,人口总数,死亡人数,关于一个人口总体的总量指标,时期指标,时点指标,19,实物单位,价值单位,劳动单位,四、总量指标的计量单位,多个单位的结合运用：,（如：人次、吨公里）,（如：人/平方公里）,（如：艘/吨/千瓦）,如：台、件,如：米、平方米,如：标准吨,如：工日、工时,如：元,20,公顷,人,辆,计量单位,单一单位,复合单位：工时、吨公里等,自然单位：个、台等 度量衡单位：吨等,21,比较两厂经济效益,不可比,不可比,可比,22,指标的类型：相对指标,指应用对比的方法来反映相关事物之间数量联

7、系程度的指标，也称为相对数。,一、概念,使不能直接对比的现象找到共同的比较基础； 用来进行宏观经济管理和评价经济活动的状况。,二、作用,23,用倍数、系数、成数、等表示,用双重计量单位表示的复名数,三、相对指标的基本表现形式,倍数与成数应当用整数的形式来表述 5倍、3成、近7成 3.25倍、8.6成,24,总人数30人 男生人数20人 女生人数10人 男生比重为2/3 女生比重为1/3 男女比例为2:1,总量指标,非总量指标,相对指标,25,四、相对指标的种类,结构相对数,比例相对数,比较相对数,计划完成程度 相对数,强度相对数,动态相对数,26,例：我国某年国民收入使用额为19715亿元，其

8、中消费额为12945亿元，积累额为6770亿元。则,说 明,为无名数； 同一总体各组的结构相对数之和为1； 用来分析现象总体的内部构成状况。,1、结构相对数,27,例：我国某年国民收入使用额为19715亿元，其中消费额为12945亿元，积累额为6770亿元。则,为无名数，可用百分数或一比几或几比几表示； 用来反映组与组之间的联系程度或比例关系。,说 明,2、比例相对数,28,例：某年某地区甲、乙两个公司商品销售额分别为5.4亿元和3.6亿元。则,为无名数，一般用倍数、百分数表示； 用来说明现象发展的不均衡程度。,说 明,3、比较相对数（横向静态对比）,是同类指标数值在不同空间上的对比,比较相对

9、数,29,是同类指标数值在不同时间上的对比,动态相对数,为无名数； 用来反映现象的数量在时间上的变动程度。,说 明,4、动态相对数（纵向对比）,30,例：某年某地区年平均人口数为100万人，在该年度内出生的人口数为8600人。则该地区,一般用、表示。,（1）无名数的强度相对数,5、强度相对数,31,例：某地区某年末现有总人口为100万人，医院床位总数为24700张。则该地区,为用双重计量单位表示的复名数，反映的是一种依存性的比例关系或协调关系，可用来反映经济效益、经济实力、现象的密集程度等。,（2）有名数的强度相对数,32,注意：强度相对数虽有“平均”的含 义，但它不是同质总体的标志总量与总体

10、单位数之比，所以不是平均数。,强度：人均GDP、人均粮食产量、资金利润率密度：人口密度、商业网点密度、医疗网密度普遍程度：电话普及率（2005年全国电话普及率57部/百人）、私人汽车普及率,33,直接应用上述公式:,A.计划任务数表现为绝对数（平均数）时,6、计划完成程度相对数,例1：己知某厂2000年的计划产品产量为10万吨，实际产量为12万吨。则：,正指标：1，完成或超额完成计划； 逆指标：1，完成或超额完成计划；,34,B. 计划任务数表现为相对数时,例2：己知某厂2000年的计划规定产品产量要比上年实际提高5，而实际提高了7。则,例3：己知某厂2000年的计划规定产品成本比上年降低5%

11、，实际降低6。则,即实际比计划单位成本下降了1.05%.,35,4.1 集中趋势的度量,4.1.1 分类数据：众数 4.1.2 顺序数据：中位数和分位数 4.1.3 数值型数据：平均数 4.1.4 众数、中位数和平均数的比较,36,集中趋势(central tendency),一组数据向其中心值靠拢的倾向和程度 测度集中趋势就是寻找数据水平的代表值或中心值 不同类型的数据用不同的集中趋势测度值 低层次数据的测度值适用于高层次的测量数据，但高层次数据的测度值并不适用于低层次的测量数据,37,分类数据：众数,38,众数(mode),一组数据中出现次数最多的变量值 适合于数据量较多时使用 不受极端值

12、的影响 一组数据可能没有众数或有几个众数 主要用于分类数据，也可用于顺序数据和数值型数据,39,众数(不惟一性),无众数原始数据: 10 5 9 12 6 8,一个众数原始数据: 6 5 9 8 5 5,多于一个众数原始数据: 25 28 28 36 42 42,40,分类数据的众数 (例题分析),解：这里的变量为“饮料品牌”，这是个分类变量，不同类型的饮料就是变量值 所调查的50人中，购买碳酸饮料的人数最多，为15人，占总被调查人数的30%，因此众数为“可口可乐”这一品牌，即 Mo碳酸饮料,41,顺序数据的众数 (例题分析),解：这里的数据为顺序数据。变量为“回答类别” 甲城市中对住房表示不

13、满意的户数最多，为108户，因此众数为“不满意”这一类别，即 Mo不满意,42,某种商品的价格情况,众数M0=3.00(元),数值型数据的众数 (例题分析),43,表中70-80，即众数所在组。,44,计算众数的近似值：,下限公式：,上限公式：,45,数值型分组数据的众数(要点及计算公式),1. 众数的值与相邻两组频数的分布有关,4. 该公式假定众数组的频数在众数组内均匀分布,2. 相邻两组的频数相等时，众数组的组中值即为众数,3. 相邻两组的频数不相等时，众数采用下列近似公式计算,46,顺序数据：中位数和分位数,47,中位数(median),排序后处于中间位置上的值,不受极端值的影响 主要用

14、于顺序数据，也可用数值型数据，但不能用于分类数据 各变量值与中位数的离差绝对值之和最小，即,48,中位数(位置和数值的确定),位置确定,数值确定,49,顺序数据的中位数 (例题分析),解：中位数的位置为 (300+1)/2150.5 从累计频数看，中位数在“一般”这一组别中 中位数为 Me=一般,50,数值型数据的中位数 (9个数据的算例),【例】 9个家庭的人均月收入数据 原始数据: 1500 750 780 1080 850 960 2000 1250 1630 排 序: 750 780 850 960 1080 1250 1500 1630 2000 位 置: 1 2 3 4 5 6 7

15、 8 9,中位数 1080,51,数值型数据的中位数 (10个数据的算例),【例】：10个家庭的人均月收入数据 排 序: 660 750 780 850 960 1080 1250 1500 1630 2000 位 置: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10,52,根据组距数列确定中位数, 利用比例分配法推算中位数的近似值。, 由二分之一次数来确定中位数所在组；,53,由组距数列确定中位数,54,下限公式（较小制累计时用）：,该公式假定中位数组的频数在该组内均匀分布,55,四分位数(quartile),排序后处于25%和75%位置上的值,不受极端值的影响 计算公式,56,顺序数据的四分位数

16、 (例题分析),解：QL位置= (300)/4 =75 QU位置 =(3300)/4 =225 从累计频数看， QL在“不 满意”这一组别中； QU在 “一般”这一组别中 四分位数为 QL = 不满意 QU = 一般,57,数值型数据的四分位数 (9个数据的算例),【例】：9个家庭的人均月收入数据(4种方法计算) 原始数据: 1500 750 780 1080 850 960 2000 1250 1630 排 序: 750 780 850 960 1080 1250 1500 1630 2000 位 置: 1 2 3 4 5 6 7 8 9,58,数值型数据：平均数,59,平均数(mean),

17、也称为均值 集中趋势的最常用测度值 一组数据的均衡点所在 体现了数据的必然性特征 易受极端值的影响 有简单平均数和加权平均数之分 根据总体数据计算的，称为平均数，记为；根据样本数据计算的，称为样本平均数，记为x,60,简单平均数(Simple mean),设一组数据为：x1 ，x2 ， ，xn (总体数据xN),样本平均数,总体平均数,61,加权平均数(Weighted mean),设各组的组中值为：M1 ，M2 ， ，Mk 相应的频数为： f1 ， f2 ， ，fk,样本加权平均,总体加权平均,62,加权平均数 (例题分析),63,比值的平均数的计算方法,由于比值（平均数或相对数）不能直接相

18、加，求解比值的平均数时，需将其还原为构成比值的分子、分母原值总计进行对比,设比值,则有：,64,【例A】某季度某工业公司18个工业企业产值计划完成情况如下：,计算该公司该季度的平均计划完成程度。,比值的平均数的计算方法,65,【例A】某季度某工业公司18个工业企业产值计划完成情况如下：,计算该公司该季度的平均计划完成程度。,应采用加权算术平均数公式计算,比值的平均数的计算方法,66,【例B】某季度某工业公司18个工业企业产值计划完成情况如下（按计划完成程度分组）：,计算该公司该季度的平均计划完成程度。,比值的平均数的计算方法,67,【例B】某季度某工业公司18个工业企业产值计划完成情况如下（按

19、计划完成程度分组）：,计算该公司该季度的平均计划完成程度。,求解比值的平均数的方法,应采用平均数的基本公式计算,68,几何平均数(geometric mean),n 个变量值乘积的 n 次方根 适用于对比率数据的平均 主要用于计算平均增长率 计算公式为,5. 可看作是平均数的一种变形,69,几何平均数 (例题分析),【例】一位投资者购持有一种股票，在2000、2001、2002和2003年收益率分别为4.5%、2.1%、25.5%、1.9%。计算该投资者在这四年内的平均收益率,算术平均：,几何平均：,70,【例】某流水生产线有前后衔接的五道工序。某日各工序产品的合格率分别为95、92、90、8

20、5、80，求整个流水生产线产品的平均合格率。,分析：,设最初投产100A个单位 ，则 第一道工序的合格品为100A0.95； 第二道工序的合格品为（100A0.95）0.92； 第五道工序的合格品为 （100A0.950.920.900.85）0.80；,71,因该流水线的最终合格品即为第五道工序的合格品， 故该流水线总的合格品应为 100A0.950.920.900.850.80； 则该流水线产品总的合格率为：,即该流水线总的合格率等于各工序合格率的连乘积，符合几何平均数的适用条件，故需采用几何平均法计算。,72,因该流水线的最终合格品即为第五道工序的合格品， 故该流水线总的合格品应为 10

21、0A0.950.920.900.850.80； 则该流水线产品总的合格率为：,即该流水线总的合格率等于各工序合格率的连乘积，符合几何平均数的适用条件，故需采用几何平均法计算。,73,思考,若上题中不是由五道连续作业的工序组成的流水生产线，而是五个独立作业的车间，且各车间的合格率同前，又假定各车间的产量相等均为100件，求该企业的平均合格率。,几何平均数的计算方法,74,因各车间彼此独立作业，所以有 第一车间的合格品为：1000.95； 第二车间的合格品为：1000.92； 第五车间的合格品为：1000.80。 则该企业全部合格品应为各车间合格品的总和，即 总合格品=1000.95+1000.8

22、0,几何平均数的计算方法,分析：,75,不再符合几何平均数的适用条件，需按照求解比值的平均数的方法计算。又因为,应采用加权算术平均数公式计算，即,76,【例】某金融机构以复利计息。近12年来的年利率有4年为3，2年为5，2年为8，3年为10，1年为15。求平均年利率。,设本金为V，则至各年末的本利和应为：,第1年末的本利和为：,第2年末的本利和为：, ,第12年末的本利和为：,分析：,77,则该笔本金12年总的本利率为：,即12年总本利率等于各年本利率的连乘积，符合几何平均数的适用条件，故计算平均年本利率应采用几何平均法。,解：,78,几何平均数的计算方法,分析,第1年末的应得利息为：,第2年

23、末的应得利息为：,第12年末的应得利息为：, ,79,则该笔本金12年应得的利息总和为： =V（0.034+0.052+0.151）,这里的利息率或本利率不再符合几何平均数的适用条件，需按照求解比值的平均数的方法计算。因为,假定本金为V,80,所以，应采用加权算术平均数公式计算平均年利息率，即：,解：,（比较：按复利计息时的平均年利率为6.85）,81,是否为比率 或速度,各个比率或速 度的连乘积是否等于总比 率或总速度,是否为 其他比值,算术平均法,求解比值的平均数的方法,数值平均数计算公式的选用顺序,指标,82,众数、中位数和平均数的比较,83,众数、中位数和平均数的关系,84,众数、中位

24、数、平均数的特点和应用,众数 不受极端值影响 具有不惟一性 数据分布偏斜程度较大且有明显峰值时应用 中位数 不受极端值影响 数据分布偏斜程度较大时应用 平均数 易受极端值影响 数学性质优良 数据对称分布或接近对称分布时应用,85,4.2 离散程度的度量,4.2.1 分类数据：异众比率 4.2.2 顺序数据：四分位差 4.2.3 数值型数据：方差和标准差 4.2.4 相对离散程度：离散系数,86,离中趋势,数据分布的另一个重要特征 反映各变量值远离其中心值的程度(离散程度) 从另一个侧面说明了集中趋势测度值的代表程度 不同类型的数据有不同的离散程度测度值,87,分类数据：异众比率,88,异众比率

25、(variation ratio),1.对分类数据离散程度的测度 2.非众数组的频数占总频数的比例 3.计算公式为,4. 用于衡量众数的代表性,89,异众比率 (例题分析),解： 在所调查的50人当中，购买其他品牌饮料的人数占70%，异众比率比较大。因此，用“碳酸饮料”代表消费者购买饮料品牌的状况，其代表性不是很好,90,顺序数据：四分位差,91,四分位差(quartile deviation),对顺序数据离散程度的测度 也称为内距或四分间距 上四分位数与下四分位数之差 Qd = QU QL 反映了中间50%数据的离散程度 不受极端值的影响 用于衡量中位数的代表性,92,四分位差 (例题分析)

26、,解：设非常不满意为1,不满意为2, 一般为3, 满意为 4, 非常满意为5 。 已知 QL = 不满意 = 2 QU = 一般 = 3 四分位差为 Qd = QU - QL = 3 2 = 1,93,数值型数据：方差和标准差,94,极差(range),一组数据的最大值与最小值之差 离散程度的最简单测度值 易受极端值影响 未考虑数据的分布,R = max(xi) - min(xi),计算公式为,95,平均差(mean deviation),各变量值与其平均数离差绝对值的平均数 能全面反映一组数据的离散程度 数学性质较差，实际中应用较少,计算公式为,未分组数据,组距分组数据,96,平均差 (例题

27、分析),97,平均差 (例题分析),含义：每一天的销售量平均数相比， 平均相差17台,98,方差和标准差(variance and standard deviation),数据离散程度的最常用测度值 反映了各变量值与均值的平均差异 根据总体数据计算的，称为总体方差(标准差)，记为2()；根据样本数据计算的，称为样本方差(标准差)，记为s2(s),99,样本方差和标准差 (sample variance and standard deviation),未分组数据,组距分组数据,未分组数据,组距分组数据,方差的计算公式,标准差的计算公式,100,自由度 (degree of freedom),自由

28、度是指数据个数与附加给独立的观测值的约束或限制的个数之差 从字面涵义来看，自由度是指一组数据中可以自由取值的个数 当样本数据的个数为n时，若样本平均数确定后，则附加给n个观测值的约束个数就是1个，因此只有n-1个数据可以自由取值，其中必有一个数据不能自由取值 按着这一逻辑，如果对n个观测值附加的约束个数为k个，自由度则为n-k,101,自由度 (degree of freedom),样本有3个数值，即x1=2，x2=4，x3=9，则 x = 5。当 x = 5 确定后，x1，x2和x3有两个数据可以自由取值，另一个则不能自由取值，比如x1=6，x2=7，那么x3则必然取2，而不能取其他值 为什

29、么样本方差的自由度为什么是n-1呢？因为在计算离差平方和时，必须先求出样本均值x ，而x则是附件给离差平方和的一个约束，因此，计算离差平方和时只有n-1个独立的观测值，而不是n个 样本方差用自由度去除，其原因可从多方面解释，从实际应用角度看，在抽样估计中，当用样本方差s2去估计总体方差2时，它是2的无偏估计量,102,样本标准差 (例题分析),103,样本标准差 (例题分析),含义：每一天的销售量与平均数相比， 平均相差21.58台,104,总体方差和标准差 (Population variance and Standard deviation),未分组数据,组距分组数据,未分组数据,组距分组

30、数据,方差的计算公式,标准差的计算公式,105,相对位置的度量：标准分数,106,标准分数(standard score),1. 也称标准化值 2.对某一个值在一组数据中相对位置的度量 3.可用于判断一组数据是否有离群点(outlier) 4.用于对变量的标准化处理 5. 计算公式为,107,标准分数(性质),z分数只是将原始数据进行了线性变换，它并没有改变一个数据在该组数据中的位置，也没有改变该组数分布的形状，而只是使该组数据均值为0，标准差为1,108,标准分数 (例题分析),109,经验法则,经验法则表明：当一组数据对称分布时 约有68%的数据在平均数加减1个标准差的范围之内 约有95%

31、的数据在平均数加减2个标准差的范围之内 约有99%的数据在平均数加减3个标准差的范围之内,110,切比雪夫不等式(Chebyshevs inequality ),如果一组数据不是对称分布，经验法则就不再适用，这时可使用切比雪夫不等式，它对任何分布形状的数据都适用 切比雪夫不等式提供的是“下界”，也就是“所占比例至少是多少” 对于任意分布形态的数据，根据切比雪夫不等式，至少有1-1/k2的数据落在平均数加减k个标准差之内。其中k是大于1的任意值，但不一定是整数,111,切比雪夫不等式(Chebyshevs inequality ),对于k=2，3，4，该不等式的含义是 至少有75%的数据落在平均数加减2个标准差的范围之内 至少有89%的数据落在平均数加减3个标准差的范围之内 至少有94%的数据落在平均数加减4个标准差的范围之内,112,相对离散程度：离散系数,113,离散系数(coefficient of variation),1.标准差与其相应的均值之比 2.对数据相对离散程度的测度 3.消除了数据水平高低和计量单位的影响 4.用于对不同组别数据离散程度的比较 5.计算公式为,114,离散系数 (例题分析),【 例 】某管理局抽查了所属的8家企业，其产品销售数据如表。试比较产品销售额与销售利润的离散程度,115,离散系数 (例