中学数学建模思想及方法应用

1、中学数学建模思想及方法应用摘 要 数学建模作为一种解决问题的思想方法，是实际问题与抽象的数学知识间的一个转化过程，在教学与实际生活中都具有非常重要的地位. 针对数学模型的概念进行了准确 的诠释，就如何在中学数学教学中让学生领悟到建模思想并实施应用进行了讨论，指出了教师在这一过程中起到的作用，对于利用数学建模解题的方法加以阐述并给出具体实例.通过建模活动，学生的综合素质可以得到提高. 因此，数学建模进入中学课堂有很大的必要性和重要性，对此作了系统分析. 关键词：中学数学教学；数学建模；素质教育 I Abstract Mathematic modeling as the a kind of thi

2、nking method of solving questions. It is the conversion process of the actual problem and the abstract mathematics knowledge. It has an important role in the teaching and the practical life. This article has analyzed and explain the concept of the mathematical model, and then discuss how to ask the

3、student to understand and apply in the modeling architecture, it is point out that the teacher has play an important roles in this process, and explaining the way of use the mathematic modeling resolve the problem and give some examples. According to this activity, it can improve the quality of the

4、students. Therefore, this article has made the system analysis about the necessary and importance for the mathematic modeling enter to the classroom of the middle school.Key words: mathematics teaching in middle school; mathematic modeling; the quality education II 目 录 摘要? Abstract? 第1章 中学数学建模思想?1 第

5、1节 数学建模概念的叙述?1 第2节 探讨中学数学建模教育?2 第2章 数学建模在中学数学中的应用?5 第1节 建模解题的基本步骤?5 第2节 建模解题的基本思想?5 第 3节 建模解题的基本题型?9 第3章 开展中学数学建模教育的意义?14 引导学生树立建模思想 利用建模思想解决问题与普通的课堂解题思维有明显的不同，这就需要学生能够转变思考角度，灵活地将数学知识应用到实际问题中去，而这个过程，教师的引导是必不可少的. 1、创设生动的问题情境，激发学生情感 要发挥多媒体技术手段的优势，根据具体教学内容、学生的认识水平，设计和应用多媒体课件创设生动的问题情境，为学生提供主动发现、主动发展的机会，

6、激励学生积极参与建模活动. 2、重视知识产生和发展过程 于知识产生和发展过程本身就蕴含着丰富的数学建模思想，例如数学概念的建立，数学公式的推导，因此老师既要重视实际问题背景的分析、参数的简化、假设的约定，还要重视分析数学模型建立的原理、过程，数学知识、方法的转化、应用，不能仅仅讲授数学建模结果，而忽略数学建模的建立过程. 3、采用启发式和讨论式教学法 教学时应当采用启发式和讨论式教学法，通过多种途径、多种方式渗透数学建模方法，努力推广学生自主发展的空间，让学生独立思考，让学生动脑、动手、动口，将有效地提高学生运用数学解决实际问题的能力. 建模教学过程遵循的原则 建立数学模型是一个从实际到抽象、

7、再从抽象到实际的转换过程，要让学生接受这样一个复杂的过程，教学者就应对建模教学有一个清晰透彻的认识.对于中学来说： 1、要突出学生主体地位 建模的教学环节是将实际问题抽象简化成数学模型，求得数学模型的解，检验解释数学模型的解，并将其还原成实际问题的解，从而最终解决实际问题.课程特点决定每一个环节的教学都要把突出学生主体地位置于首位，教师要激励学生大胆尝试，鼓励学生不怕挫折失败， 鼓励学生动口表述、动手操作、动脑思考，鼓励学生要多想、多读、多议、多讲、多练、多听，让学生始终处于主动参与，主动探索的积极状态. 3 2、要分别要求，分层次推进 建模方法是解决应用问题的重要方法，但因为长期传统应试教育

8、的影响，造成学生动手操作能力差，应用意识薄弱.在建模教学中，根据素质教育面向全体学生，促进学生全面发展的目标，教师要重视学生的个性差异，对学生分别要求、个别指导、分层次教学，对每个学生确定不同的数学建模教学要求和素质发展目标.帮助学生增强信心，提高自信，进而克服困难，取得建模成功.调动学生的积极性和主动性，让学生在建模教学中体会到学习的收获与进步. 3、要全方位渗透数学思想方法 于建模教学面对的是千变万化的灵活的实际问题，建模过程应该是渗透数学思想方法的过程，首先是数学建模化归思想方法，还可根据不同的实际问题渗透函数的思想、方程的思想、数形结合的思想、逻辑划分的思想、等价转化思想、类比归纳思想

9、和类比联想思想，还可向学生介绍消元法、换元法、待定系数法、配方法、反证法、解析法、归纳法等数学方法，让学生从本质上理解数学建模的思想. 4、要实行推迟判断为特征的教学结构 所谓“推迟判断”就是延缓结果出现的时间，其实质是教师不要过早地把“结果”抛给学生，于建模教学活动性强，教学成功的关键是教师要调动所有学生的探索欲望，积极参与教学过程.学生通过步步深入的积极思考探索，激发了思维，真正唤起主动参与的意识.教师通过启发诱导学生积极思考，组织学生进行热烈或紧张的讨论，问题就会逐渐明朗化，最终获得满意的建模方案. 数学建模是一种主动的活动，要在现实中提取数学模型.在建模过程中，学生所面临的主要问题是如

10、何从杂乱无章的现象中抽象出数学问题，并确定出问题的答案，这就要善于在其中分解与目标相关联的最主要元素，常常先从建立简单模型入手，逐步考虑各种建模要素，使模型按预定的目标逐渐完善. 4 第2章 数学建模在中学数学中的应用 在数学建模过程中，不仅要使学生掌握数学模型的概念及建模的方法和技能，而且要培养学生把客观事物的原型与抽象的数学模型相联系的能力.那么，如何运用数学知识来构建模型呢？ 第1节 建模解题的基本步骤 数学建模是一个数学解题过程，大致分为以下四个步骤： 1、审题：现在的高中数学应用题的题目较长，要求学生具有较强的数学阅读能力.通过仔细阅读题目，理解问题的实际背景，分析处理有关数据，把握

11、已知量和未知量的内在联系. 审题时要准确理解关键语句的数学意义，如“至少”、“不大于”、“总共”、“增加”、“减少”等，明确变量和参数，合理设元. 2、建立数学模型：将实际问题抽象为数学问题，建模的直接准备就是审题的最后阶段从各种关系中找出最关键的数量关系，将此关系用有关的量及数学符号表示出来，即可得到解决问题的数学模型. 3、求解数学模型：根据建立的数学模型，选择合适的数学方法，设计合理简捷的运算途径，求出数学问题的解，其中特别注意实际问题中对变量范围的限制及其他约束条件.4、检验：既要检验所得结果是否适合数学模型，又要评判所得结果是否符合实际问题的要求，从而对原问题做出合乎实际意义的回答.

12、 第2节 建模解题的基本思想 数学建模作为一种解题方法，有其特有的解题思想. 1、关系分析法：即通过寻找关键词和关键量之间的数量关系来建立问题的数学模型的方法. 例1 森林失火了，火势正以每分钟100平方米的速度顺风蔓延，消防站接到警报立即派消防队员前去，在失火后五分钟到达现场救火，已知消防队员在现场每人每分钟可灭火50万平方米，所消耗的灭火材料、劳务津贴等费用为每人每分钟125元，另附加每次救火所损耗的车辆、器械和装备等费用平均每人100元，而每烧毁一平方5 米森林的损失费为60元，问应该派多少名消防队员前去救火，才能使得总损失最小. 分析 建立数学模型： 总损失费=森林损失费+灭火材料费+

13、车辆器械费， 森林损失费=每平方米损失费?面积 =每平方米损失费?每分钟平方米?时间 =60?100?5?t?， 灭火材料费=每单位时间人均费用?人数?时间=125?x?t ， 车辆器械费=人均车辆器械费?人数=100?x， 灭火面积=新增过火面积+原有过火面积 即50?x?t?100t?500. 解 设需要x名消防员，t分钟救火时间，题意可知50?x?t?100t?500， 即 t=10， x?2条件列出森林损失费与救火费用的总损失费用的目标函数为 y?60?100?5?t?125xt?100x， 不等式的性质 y?36450， 当 t=即 10时， x?2x=27时， 总损失最小. 6 2

14、、列表分析法：即通过列表的方式探索问题的数学模型方法. 例2 某种服装原来以高于成本价的40%出售，根据市场调查，原价每降低1个百分点，月销售件数将增加10个百分点，为使月毛利润比原来增加幅度不小于30%，问降价至多多少个百分点？ 分析 从整体上看，这是一个服装销售过程中计算毛利润问题，涉及服装的成本价、原价、月销售件数、月销售总额、月成本总额、降价等概念，从局部来看，关键是处理好上述各量之间的关系，在选准基准量后，应分析降价前后的服装销售毛利润. 解 设原价为a，销售件数为b，价格降低的百分比为x，列表分析如下： 表2-1 降价前 降价后 成本 5a 75a 7价格 销售量 b 销售额 ab

15、 毛利润 ab?5ab?2ab 77a a?1?x? b?1?10x? ab?1?x?1?10x? ab?1?x?1?10x? ?5ab?1?10x?7 数量关系式为 ab(1?10x)(1?x)?5ab(1?10x)/7?2ab7?3000， 2ab/7公式化简得 -70x2+?0， 解得 x?， 答：降价至多个百分点. 3、图象分析法：即通过对图像中的数量关系分析来建立问题的数学模型的方法. 例3 甲、乙两人连续6年对某县农村养鸡业规模进行调查，提供两个不同的信息图 7 甲 乙 92000 图2-1 甲调查表明：从第1年每个养鸡场出产1万只鸡上升到第6年平均每个鸡场出产2万只鸡； 乙调查表

16、明：第1年养鸡场个数30个减少到第6年10个. 请您根据提供的信息说明： 第2年养鸡场的个数及全县出产鸡的总只数. 到第6年这个县的养鸡业比第1年扩大了还是缩小了？ 哪一年的规模最大？ 分析 总只数=平均只数养鸡场个数. 观察图像得出平均只数成等差数列上升，养鸡场个数成等差数列下降. 解 图2-1可知: 第2年养鸡场的个数是26个，那么全县出产鸡的总只数S?26? 第一年总共出产鸡的只数S1=30?1=30，第六年总共出产鸡的只数 8 S6=2?10=20， 得 S1-S6=30-20=10， 这证明规模减少了. 图2-1甲满足数列：an?1?n?1?1?n?6?； 图2-1乙满足数列：bn?

17、30?4?n?1?4n?34?1?n?6?， 每年出产鸡只数满足数列 Sn?an?bn?-+ ?1?n?6?， 当n?2时，S2最大，即第2年规模最大且S2= 第3节 建模解题的基本题型 基于对中学数学应用问题的分析，通常建立如下一些数学模型来解应用问题： 一、建立方程或不等式模型，通过建立相应的目标函数，确定变量的限制条件，运用数学知识和方法去解决问题. 例4 我国是水源比较贫乏的国家之一，各地采取价格调控手段来达到节约用水的目的，某市用水收费的方法是：水费=基本费+超额费+损耗费. 若每月用水量不超过最低限量am3时，只付基本费8元和每户每月的定额损耗费c元；若每月用水量超过最低限量am3

18、时，除了付同上的基本费和损耗费外，超过部分每m3付b元的超额费，已知每户每月定额损耗费不超过5元. 该市一家庭今年第一季度的用水量和支付费用如下表所示: 表2-2 月份 一 二 三用水量 9 15 22 水费 9 19 33 根据上面表格中的数据，求a、b、c. 9 解 设每月用水量为xm3，支付费用为y元，则 y?8?c?0?c?5?，y?x?a?b?8?c?x?a?，题意知 0?c?5，所以8?c?13，表知第二、三月份的费用均大于13元，故 用水量15m3、22m3均大于最低限量am3， 将x=15，x=22分别代入式，得 b?2， 所以 2a?c?19.再分析一月份的用水量是否超过最低

19、限量，不防设9?a，将x=9代入式得9?8?2?9?a?c，2a?c?17， 与式矛盾，所以9?a， 故一月份的付款方式应选式，则 8?c?9，c?1， 因此a?10，b?2，c?1. 二、建立数列模型，现实世界的经济活动中，诸如增长率、降低率、复利、分期付款等与年份有关的实际问题常常归结为数列问题，通过建立数列模型来解决. 例5 某房地产开发公司因有大量住房闲置，为盘活资金，促进住房销售，提出了两种优惠售房方案: 第一种方案是分期付款，2000年元月要求购房者先付12万元，然后从第二年起每年元月付款2万元，连续付5年；第二种方案是2000年元月一次性付款万元，如果购房者都从银行取款购房，试问

20、: 他们采用哪一种方案付款合算，请加以说明. . 10 解 终值比较法，选择比较的时点是2005年元月 分期付款模型 200020012002200320042005 12 12?1?200? ?12(1+2%)52 2?1?200? ?2?1?200?4 2 ? ?2?1?200?3 2?2?1?200?2 22?1?200? 2 经分析得 S分=12(1+2%)5+2(1+2%)4+?+2(1+2%)+2?万元， S合= ? ?万元， 可见第一种方案比较合算. 三、建立三角函数模型 例6 通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近船坞，落潮时离开，某港口水深y与时间t的函数记作y?f?x?，下面

21、是该港口在某季节每时水深的数据: 表2-3 t y 136912 15 18 2124 经长期观察，y?f?x?的曲线可以近似看作函数y?Asin?t?k的图像. 问 一般情况下，船舶航行时船底到海底的距离在5米或5米以上是安全的，某船吃水深度为米，如果该船想在同一天进出港，问至多能停留多久？ 11 解 根据数据得 y?3sin?6?10， 船出港时水深不小于5?米，即3sin?6?10?， 得2k?6?6t?2k?5?， 6同一天内取k?1或0，得 1?t?5 或 13?t?17， 所以最早凌晨1点进港，最迟下午17点出港. 四、建立计数模型，这一模型在日常生活中也是常常遇到的，在教材中这一

22、模型的应用题较多 例7 A、B、C、D、E五个人排一个五天的值日表，每天一人值日，每人可以值多天或不值，但相邻两天不能同一人值，那么值日的表排法种数有多少种? 解 此题若从人选位置角度去分类考虑比较繁琐，转换角度，从位置选人去思考，将五天看作五个位置，首位五个人都有可能，第二位只有四个人有可能，第三位也是四个人有可能，第四位和第五位也是四个人有可能，如下图所示值日表排法种类共有54444=1280种. 表2-4 5 五、建立增长模型 4 4 4 4 例8 某地现有耕地1万公顷，规划10年后，粮食单产比现在增加22%，人均粮食占有量比现在提高10%，如果人口年增加率为1%，那么耕地平均每年至多只

23、能减少多少公顷？ 解 建立数学模型：找出题中所涉及对象并用符号表示如下： 12 现有土地数量M1 十年后土地数量M2 现有单产量N1 十年后单产量为N2 现有人口数P1十年后人口数P2 现人均占有量A1十年后人均占有量A2 这些量之间具有如下关系： A1?M1?N1P1 A2?M2?N2P2 A2?A1?1?1000?， P2?P1?1?100?10 N2?N1?1?2200?， 此可得 M1?N1?1?1000?/P1= M2?N1?1?2200?/P1?1?100?10. 若设平均每年耕地减少量为x公顷，则有如下关系 M2= M110x， 对式化简整理，并代入M1?104，得 104 ?1

24、?1000?=?1?2200?/?1?100?10. 关于x的上述方程即可作为原题的数学模型，注意到x增大时，方程右端的值单调减少， 所以根据这一模型的解x?4来给出原题的答案时，应是x至多为4，即x?4，也即平均每年减少至多4公顷. 中学里的应用题都可转化为我们所熟悉的代数式、方程、不等式、函数以及几何图形、几何关系等数学模型来进行解决. 于问题的多样性、灵活性，为了构建数学模型，就要求学生对有关数学知识充分理解，有时还涉及其他自然科学知识，要求学生具备敏锐的观察力，良好的想象力以及灵感和顿悟，较强的抽象思维和创新意识，要求学生具备较强知识应用能力和实践能力. 13 第3章 开展中学数学建模教育的意义 数学建模是一门综合多门学科知识，集应用与能力培养为一体有利于培养学生的创造意识和应用实践能力的科学.因此，开展数学建模教学是非常重要的，尤其是在中学数学中，具有突出的意义 一、从知识教育的角度而言 1、数学社会实践，无论是数学的概念