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文档简介

1、4 二重积分的变量变换,一、二重积分的变量变换公式,返回,三、二重积分的广义极坐标变换,二、二重积分的极坐标变换,一、二重积分的变量变换公式,在定积分的计算中, 我们得到了如下结论: 设,利用这些记号, 公式(1)又可,写成,统一写成如下的形式:,下面要把公式(4)推广到二重积分的场合. 为此先给,出下面的引理.,内分别具有一阶连续偏导数且它们的函数行列式,则区域 D 的面积,(5),下的一般证明,将在本章9 中给出. ),也变换为 D 的按段光滑边界曲线 .,去有限个第一类间断点外, 在其他的点上都连续. 又,另一方面, 在 uv 平面上,的正方向或负方向所决定. 由(6)及(7)式得到,面

2、上对上式应用格林公式, 得到,将 uv 平面由按段光滑封,一阶连续偏导数且它们的函数行列式,则有,则,加强条件下,由引理及二重积分中值定理, 有,这个和式是可积函数,因此得到,在 上的积分和. 又由变换 T 的连续性可知, 当,D是由,解 为了简化被积函数, 令,所围的区域(图21-23).,即作变换,它的函数行列式为,在 T 的作用下, 区域 D 的,所以,所围区域 D 的面积,21-25 )对应到 uv 平面上的矩形,所围成的区域在第一象限中的部分. 证明:,因此,二、二重积分的极坐标变换,当积分区域是圆域或圆域的一部分, 或者被积函数,(8),往往能达到简化积分区域或被积函数的目的. 此

3、时,变换 T 的函数行列式为,此对应不是一对一的, 例如,xy 平面上原点,但是仍然有下面的结论.,证 若,于是由,同理又有,因此由前述得到,的定义, (9) 式对一般的 D 也成立.,由定理21.14 看到, 用极坐标变换计算二重积分时,成,下面介绍二重积分在极坐标系下如何化为累次积分,来计算.,于是有,(ii) 若原点为 D 的内点(图21-28(a), D 的边界的极坐,于是有,于是有,(1) 令,穿出. 则有,于是,其中,例5 计算,其中 D 为圆域:,解 由于原点为 D 的内点, 故由 (12) 式, 有,所割下部分的体积 ( 称为维维安尼 (Viviani) 体 ).,解 由所求立体的对称性(图21-31),只要求出在第,一卦限内的部分体积,再乘以4,即得所求立体的体,后, 由 (13) 式便可求得,积. 在第一卦限内的立体是一个曲顶柱体, 其底为,解 利用极坐标变换, 由公式 (12), 容易求得,若不用极坐标变换, 而直接在直角坐标系下化为累,三、二重积分的广义极坐标变换,当积分区域为椭圆或椭圆的一部分时, 可考虑用如,下的广义极坐标变换:,并计算得,对广义极坐标变换也有与定理21.1

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