应用数学-课件-第9章-2幂级数解法-本征值问题

1、9.2 二阶常微分方程的幂级数解法,一、基本概念,在球坐标系和柱坐标系中对拉普拉斯方程、波动方程、输运方程进行变量分离，就出现连带勒让德方程、勒让德方程、贝塞尔方程、球贝塞尔方程等特殊函数方程用其他坐标系对其他数学物理偏微分方程进行分离变量，还会出现各种各样的特殊函数方程它们大多是二阶线性常微分方程这向我们提出求解带初始条件的线性二阶常微分方程定解问题.,不失一般性，我们讨论复变函数,的线性二阶常微分方程,（9.2.1）,其中,为复变数，,为选定的点， ，,为复常数,这些线性二阶常微分方程常常不能用通常的解法解出，,但可用幂级数解法解出所谓幂级数解法，就是在某个任,意点,的邻域上，把待求的解表

2、为系数待定的幂级数，,代入方程以逐个确定系数,幂级数解法是一个比较普遍的方法，适用范围较广，,可借助于解析函数的理论进行讨论,求得的解既然是级数，就有是否收敛以及收敛范围的问题,尽管幂级数解法较为繁琐，但它可广泛应用于微分方程的 求解问题中,定义 9.2.1 常点 、奇点,如果方程（9.2.1）的系数函数,和,在选定的点,的邻域,中是解析的，则点,方程（9.2.1）的常点.,如果选定的点,是,或,的奇点，则点,叫作方程（9.2.1）的奇点,叫作,1方程的常点和奇点概念,为常点。,为奇点。,例如：,中，,中，,2. 常点邻域上的幂级数解定理：,定理9.2.1 若方程的系数,关于线性二阶常微分方程

3、在常点邻域上的级数解，有 下面的定理,和,为点,的邻域,中的解析函数，,则方程在这圆中存在唯一的解析解,满足,初始条件,，其中,是任意给定的复常数,故可以把它表示为此邻域上的泰勒级数.,既然线性二阶常微分方程在常点,的邻域,上存在唯一的解析解，,（9.2.2）,其中，,为待定系数。,为了确定级数解（9.2.2）中的系数，具体的做法是以,（9.2.2）代入方程（9.2.1），合并同幂项，令合并后的系数,分别为零，找出系数,之间的递推关系，,最后用已给的初值,，,来确定各个系数,从而求得确定的级数解,下面以简单的方程为例，具体说明级数解法的步骤。,代入原方程有,例,从而得到递推关系,用上述方法解勒

4、让德方程结果如下：,收敛半径,用上述方法解贝塞尔方程，结果如下：,收敛半径,9.3 施图姆刘维尔本征值问题,从数学物理方程中的偏微分方程由分离变量法引出的常微分方程往往还附有边界条件，这些边界条件可以是明确写出来的，也可以是没有写出来的所谓自然边界条件满足这些边界条件的非零解使得方程的分离常数取某些特定值这些特定值叫做本征值（或特征值、或固有值），相应的非零解叫做本征函数（特征函数、固有函数）求本征值和本征函数的问题叫做本征值问题.,常见的本征值问题都可以归结为施图姆(J.C.F. Sturm)刘维尔(J.Liouville)本征值问题。 本节就讨论具有普遍意义的施图姆刘维尔本征值问题,一、施图姆刘维尔本征值问题,定义 9.3.1 施图姆刘维尔型方程,的二阶常微分方程叫做施图姆刘维尔型方程，简称施刘方程,对于一般的二阶常微分方程,两边乘以,有,施图姆刘维尔型方程附加以齐次的第一类、 第二类或第三类边界条件，或自然边界条件，就构成 施图姆刘维尔本征值问题 .,讨论,(1),再加上自然边界条件：,有界.就构成了勒让德,方程本征值问题。,或,(2),连带勒让德方程本征值问题,或,(3)